Viscosit´e
I Ecoulement autour d’une sph` ´ ere
Dans cette partie, nous allons ´etudier l’influence du nombre de Reynolds sur l’allure de l’´ecoulement autour d’une sph`ere.
I.1 Train´ee
Un objet est plong´e dans un fluide en ´ecoulement uniforme loin de l’objet ~v0 “ v0~ex. La force de train´eeF~dest la composante suivant~v0 exerc´ee par le fluide sur l’objet. On d´efinit le coefficient de train´ee Cx (ouCd) sans dimension par la relation
Fd“Cx1 2µv20S
o`u S repr´esente le maitre couple de l’objet. Lemaitre couplede l’objet est la projection de l’objet sur une surface perpendiculaire `a l’´ecoulement (on peut penser `a l’ombre port´ee d’un objet). Il vautπR2 pour une sph`ere de rayonR.
I.2 R´esultats exp´erimentaux
Si on trace le coefficient de train´ee en fonction d’une nombre de Reynolds, on obtient la figure suivante On y distingue 4 zones
– pour Re ă 1, on est dans la zone des faibles nombres de Reynolds. La courbe est une droite de pente ´1 en ´echelle log-log (qui permet de repr´esenter plusieurs ordres de grandeurs). On a donc logCx “logk´logRe, soit
Cx“ k Re
On peut alors obtenir l’expression de la force de train´ee, en remarquant que l’´echelle caract´eristique est le rayon de la sph`ere
Fd“ k Re
1
2µv02S“ 1 2k ν
v0Rµv02πR2 “ 1
2kπ ηv0R
On retrouve une expression de la loi de Stokes pour la chute d’une sph`ere dans un fluide, qui donne pour force de frottements Fd“6πηRv avec la valeur k“24, ce qui est approximativement le cas dans la premi`ere partie de la courbe (valeur de Cx pour logRe“0),
– pour 1ăReă103, on peut mod´eliser la courbe par l’´equation d’Abraham Cx“A
ˆ
1` a
?Re
˙2
– pour 103 ăReă105 on observe un coefficient de train´ee qui reste constant, de l’ordre de 0,5, la train´ee est alors proportionnelle au carr´e de la vitesse
Fd“0.51
2µv02S «Kv20
– autour de Re«105, on observe le ph´enom`ene decrise de train´ee : la train´ee chute brutalement pour se stabiliser ensuite `a une valeur inf´erieure `a la valeur pr´ec´edente.
I.3 Allure et typologie des ´ecoulements
L’allure des diff´erents r´egimes est r´esum´ee dans le tableau suivant
Re ă 1 l’´ecoulement est dit rampant, et il est laminaire. On peut ´evidemment rencontrer ce genre d’´ecoulement pour d’autres objets
1 ăReă103 L’´ecoulement subit une transition entre le r´egime rampant et un r´egime laminaire dans lequel apparaissent des tourbillons derri`ere l’obstacle. Cette zone de recirculation entraine une baisse de la train´ee.
103 ă Re ă 105 L’´ecoulement devient turbulent, la couche limite se d´ecolle de l’objet au niveau du maitre couple et il se forme un sillage `a l’arri`ere. La couche limite est encore laminaire
105 ă Re L’´ecoulement est turbulent, la couche limite se d´ecolle de l’objet au niveau en arri`ere du maitre couple et le sillage est r´eduit, entrainant la crise de train´ee. La couche limite devient elle mˆeme turbulente.
