I Limite du th´ eor` eme d’Amp` ere

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PSI Moissan 2013 TD ´ Equations de Maxwell Novembre 2013

TDC ´ Equations de Maxwell

I Limite du th´ eor` eme d’Amp` ere

1. La sym´ etrie des distributions de charges et de courant est sph´ erique, donc ρpM, tq “ ρpr, tq et

~j pM, tq “ jpr, tq~ u

_r

.

Le champ ´ electrique en un point M est contenu dans les plans de sym´ etrie passant par M , soit tous les plans obtenus par rotation autour de la droite OM. On a donc Ý Ñ

E pM, tq “ Epr, tq~ u

r

. On peut donc calculer le champ ´ electrique en appliquant le th´ eor` eme de Gauss ` a une sph` ere de rayon r, ce qui donne

Ý

Ñ E “ Qpr, tq 4π

0

r

²

~ u

r

Le champ magn´ etique est orthogonal aux plans de sym´ etrie de la distribution de courant, soit tout les plans obtenus par rotation autour de la droite OM. Le champ Ý Ñ

B est dont nul, tout comme le vecteur densit´ e de courant ~j , puisque Ý rot Ñ Ý Ñ

B “ µ

₀

~j.

2. Le vecteur densit´ e de courant est clairement non nul, puisque des particules se d´ eplacent, mais le champ Ý Ñ

B est nul. Le th´ eor` eme d’amp` ere est donc inadapt´ e ` a la description des r´ egimes d´ ependant du temps.

3. La conservation de la charge s’´ ecrit sous forme locale Bρ

Bt ` div~j “ 0 Hors div Ý Ñ

E “ ρ{

₀

, donc

B

Bt p

₀

div Ý Ñ

E q ` div~j “ 0 donc en inversant d´ eriv´ ee spatiale et d´ eriv´ ee temporelle

div

˜

0

B Ý Ñ

E Bt ` ~j

¸

“ 0 comme divp Ý rot Ñ Ý Ñ

A q “ 0, on peut en particulier ´ ecrire µ

₀

div

˜

₀

B Ý Ñ

E Bt ` ~j

¸

“ divp Ý rot Ñ Ý Ñ B q

et donc

Ý Ñ rot Ý Ñ

B “ µ

₀

˜

₀

B Ý Ñ

E Bt ` ~j

¸

en utilisant le fait qu’en r´ egime permanent on souhaite retrouver le th´ eor` eme d’Amp` ere Ý rot Ñ Ý Ñ

B “ µ

₀