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 – Lois des grands nombres, th´eor`eme central limite.

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Academic year: 2022

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(1)

Int´egration et probabilit´es

ENS Paris, 2012-2013

TD

()

 – Lois des grands nombres, th´eor`eme central limite.

1 – Lois des grands nombres

E

xercice 1. (Calculer en cent lec¸ons) D´eterminer les limites suivantes :

. lim

n→∞

Z

[,]n

f

x+. . .+xn n

dx. . . dxnpourf une fonion continue sur [,],

. lim

n→∞

Xn k=

n k

!

pk(−p)nkf k n

!

pourf une fonion continue sur [,] etp∈[,],

. lim

n→∞

X

k=

eλn(λn)k k! f k

n

!

pourf une fonion continue et born´ee surR+etλ >.

E

xercice 2. (Une loi faible avec fonions cara´eriiques) SoitX, .., Xn, ...une suite de v.a.i.i.d d´efinies sur un espace probabilis´e. On suppose queE[|X|]<∞. Montrer alors (sans utiliser la loi forte des grands nombres) `a l’aide des fonions cara´eriiques que

X+...+Xn n

−→(P) E[X].

E

xercice 3. (Th´eor`eme de Bernein-Weierrass) Soit f une fonion continue de [,] dansC. Len- i`eme polynˆome de Bernein def,Bn, ed´efini par

Bn(x) = Xn

k=

n k

!

xk(−x)nkf k n

!

, x∈R.

. Soit Sn(x) la variable al´eatoire ´etant d´efinie par Sn(x) = Bin(n, x)/n, o `u Bin(n, x) e une variable al´eatoire. de loi binomiale de param`etrenetx. Montrer queBn(x) =E[f(Sn(x))].

. En d´eduire le Th´eor`eme de Berein-Weierrass kBnfk −→

n→∞ .

Pour des queions, demande de pr´ecisions ou explications, n’h´esitez pas `a m’envoyer un mail `a igor.kortchemski@ens.fr , ou bien `a venir me voir au bureau V.

(2)

E

xercice 4. (Loi faible, non forte) Soit (Xn)nune suite de variables al´eatoires ind´ependantes de loi PX

n= 

ln(n+)n(δn+δn) + −  nln(n+)

! δ.

. Montrer queYn:=X+...+Xn n converge en probabilit´e vers.

. Montrer que presque s ˆurement,Ynne converge pas.

2 – Th´eor`eme central limite

E

xercice 5. (Un dernier calcul et on s’en va) D´eterminer la limite suivante :

nlim→∞en

n

X

k=

nk k!.

E

xercice 6. (Convergence en loi mais pas en proba) Soit (Xn)nune suite de variables al´eatoires r´eelles ind´ependantes et de mˆeme loi telle queE(X) =etE(X) =. On poseSn=X+. . .+Xnpour toutn≥.

. Montrer que pour toutA >, on a

P lim sup

n→∞

Sn

nA

!

=,

et en d´eduire que

P lim sup

n→∞

Sn

n = +∞

!

=.

. Juifier que si (Snk)keune suite extraite de (Sn)n, alors on a :

P lim sup

k→∞

Snk

nk = +∞

!

=.

. En d´eduire que la suite (n/Sn)nne converge pas en probabilit´e.

3 – Vecteurs gaussiens

E

xercice 7. (Personne n’ejamais assez fort pour ce calcul) Soit (Xn)nune suite de variables al´eatoires

`a valeurs dansRind´ependantes et indentiquement diribu´ees. ´Etudier le comportement asymptotique de la suite

X+. . .+XnnE(X)

n

!

n

dans les cas suivants :

(3)

. Xede loi δ(,)+δ(,),

. Xede loi δ(,)+δ(,)+δ(,).

E

xercice 8. (Suite r´ecurrente al´eatoire) Soient (Uk)kune suite de variables al´eatoires r´eelles ind´ependantes et de loi normaleN(, σ) etθ∈R. On d´efinit la suite (Xk)kparX=UetXk=θUk+Uk. Montrer que pour tout n≥, le veeur (X, . . . , Xn) eun veeur gaussien non d´eg´en´er´e dont on pr´ecisera la densit´e, l’esp´erance et la matrice de covariance.

4 – ` A chercher pour la prochaine fois

E

xercice 9. (Sommes al´eatoires) Soit (Xn)n) une suite de variables al´eatoires r´eelles ind´ependantes de mˆeme loi, centr´ees, de varianceσ. On poseSn=Pn

m=Xm. Soit (Nk)kune suite de v.a. `a valeurs dans N, toutes ind´ependantes de la suite (Xn)n. On pose finalement

Zk= 

NkSNk.

On suppose queNk→ ∞p.s. lorsquek→ ∞. Montrer queZkconverge en loi vers une variable al´eatoire que l’on d´eterminera.

 – Compl´ements (hors TD)

E

xercice 10. (Formule de Stirling)

Queion pr ´eliminaire :SoitXune variable al´eatoire r´eelle de carr´e int´egrable d´efinie sur (Ω,A,P). Mon- trer que, pour touta >, on a :

E(|X−inf(X, a)|)≤(E(X)P(X≥a))/.

Soit (Xn, n≥) une suite de variables al´eatoires ind´ependantes d´efinies sur (Ω,A,P), de mˆeme loi de Poisson de param`etre. On pose, pour tout entiern≥,

Sn=

n

X

i=

Xi et Yn=Snn

n .

On notex= sup(−x,) pour toutx∈R.

. Pour toutn≥, v´erifier queSn suit la loi de Poisson de param`etren, calculerE(Yn) et en d´eduire que pour touta >,

P(Yna)≤  a.

. SoitY une variable al´eatoire de loi normaleN(,). Montrer que la suite (Yn)nconverge en loi versY.

(4)

. Montrer `a l’aide de la queion pr´eliminaire que E(Yn) −→

n→∞E(Y).

. En d´eduire la formule de Stirling

n!

n→∞

n e

n

πn.

E

xercice 11. (Une LGN avec un go ˆut de TCL) On rappelle que la loi de Cauchy `a pour densit´e par rapport `a la mesure de Lebesguef(x) =π(+x), et pour fonion cara´eriique

φ(ξ) = exp(−|ξ|).

. SiXetY sont deux variables de Cauchy ind´ependantes.Quelles ela loi de X+Y ?

. SiX, ..., Xnsont des vaiid de loi de Cauchy.Quelle ela loi de X+...+Xn

n ?

Qu’en pensez-vous ?

. Retrouver la forme de la fonion cara´eriique `a partir de la densit´e de la loi de Cauchy.

E

xercice 12. (´Equation al´eatoire – ) SoientXetY deux variables al´eatoires ind´ependantes de mˆeme loi, de variance finieσ. On suppose que (X+Y)/√

ede mˆeme loi queXetY.Que dire de cette loi commune ?

Fin Bonne ann´ee !

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