Int´egration et probabilit´es
ENS Paris, 2012-2013TD
() – Lois des grands nombres, th´eor`eme central limite.
1 – Lois des grands nombres
E
xercice 1. (Calculer en cent lec¸ons) D´eterminer les limites suivantes :. lim
n→∞
Z
[,]n
f
x+. . .+xn n
dx. . . dxnpourf une fonion continue sur [,],
. lim
n→∞
Xn k=
n k
!
pk(−p)n−kf k n
!
pourf une fonion continue sur [,] etp∈[,],
. lim
n→∞
∞
X
k=
e−λn(λn)k k! f k
n
!
pourf une fonion continue et born´ee surR+etλ >.
E
xercice 2. (Une loi faible avec fonions cara´eriiques) SoitX, .., Xn, ...une suite de v.a.i.i.d d´efinies sur un espace probabilis´e. On suppose queE[|X|]<∞. Montrer alors (sans utiliser la loi forte des grands nombres) `a l’aide des fonions cara´eriiques queX+...+Xn n
−→(P) E[X].
E
xercice 3. (Th´eor`eme de Bernein-Weierrass) Soit f une fonion continue de [,] dansC. Len- i`eme polynˆome de Bernein def,Bn, ed´efini parBn(x) = Xn
k=
n k
!
xk(−x)n−kf k n
!
, x∈R.
. Soit Sn(x) la variable al´eatoire ´etant d´efinie par Sn(x) = Bin(n, x)/n, o `u Bin(n, x) e une variable al´eatoire. de loi binomiale de param`etrenetx. Montrer queBn(x) =E[f(Sn(x))].
. En d´eduire le Th´eor`eme de Berein-Weierrass kBn−fk∞ −→
n→∞ .
Pour des queions, demande de pr´ecisions ou explications, n’h´esitez pas `a m’envoyer un mail `a [email protected] , ou bien `a venir me voir au bureau V.
E
xercice 4. (Loi faible, non forte) Soit (Xn)n≥une suite de variables al´eatoires ind´ependantes de loi PXn=
ln(n+)n(δn+δ−n) + − nln(n+)
! δ.
. Montrer queYn:=X+...+Xn n converge en probabilit´e vers.
. Montrer que presque s ˆurement,Ynne converge pas.
2 – Th´eor`eme central limite
E
xercice 5. (Un dernier calcul et on s’en va) D´eterminer la limite suivante :nlim→∞e−n
n
X
k=
nk k!.
E
xercice 6. (Convergence en loi mais pas en proba) Soit (Xn)n≥une suite de variables al´eatoires r´eelles ind´ependantes et de mˆeme loi telle queE(X) =etE(X) =. On poseSn=X+. . .+Xnpour toutn≥.. Montrer que pour toutA >, on a
P lim sup
n→∞
Sn
√ n≥A
!
=,
et en d´eduire que
P lim sup
n→∞
Sn
√
n = +∞
!
=.
. Juifier que si (Snk)k≥eune suite extraite de (Sn)n≥, alors on a :
P lim sup
k→∞
Snk
√nk = +∞
!
=.
. En d´eduire que la suite (n−/Sn)n≥ne converge pas en probabilit´e.
3 – Vecteurs gaussiens
E
xercice 7. (Personne n’ejamais assez fort pour ce calcul) Soit (Xn)n≥une suite de variables al´eatoires`a valeurs dansRind´ependantes et indentiquement diribu´ees. ´Etudier le comportement asymptotique de la suite
X+. . .+Xn−nE(X)
√ n
!
n≥
dans les cas suivants :
. Xede loi δ(−,−)+δ(,),
. Xede loi δ(−,−)+δ(,−)+δ(,).
E
xercice 8. (Suite r´ecurrente al´eatoire) Soient (Uk)k≥une suite de variables al´eatoires r´eelles ind´ependantes et de loi normaleN(, σ) etθ∈R. On d´efinit la suite (Xk)k≥parX=UetXk=θUk−+Uk. Montrer que pour tout n≥, le veeur (X, . . . , Xn) eun veeur gaussien non d´eg´en´er´e dont on pr´ecisera la densit´e, l’esp´erance et la matrice de covariance.4 – ` A chercher pour la prochaine fois
E
xercice 9. (Sommes al´eatoires) Soit (Xn)n≥) une suite de variables al´eatoires r´eelles ind´ependantes de mˆeme loi, centr´ees, de varianceσ. On poseSn=Pnm=Xm. Soit (Nk)k≥une suite de v.a. `a valeurs dans N∗, toutes ind´ependantes de la suite (Xn)n≥. On pose finalement
Zk=
√ NkSNk.
On suppose queNk→ ∞p.s. lorsquek→ ∞. Montrer queZkconverge en loi vers une variable al´eatoire que l’on d´eterminera.
– Compl´ements (hors TD)
E
xercice 10. (Formule de Stirling)Queion pr ´eliminaire :SoitXune variable al´eatoire r´eelle de carr´e int´egrable d´efinie sur (Ω,A,P). Mon- trer que, pour touta >, on a :
E(|X−inf(X, a)|)≤(E(X)P(X≥a))/.
Soit (Xn, n≥) une suite de variables al´eatoires ind´ependantes d´efinies sur (Ω,A,P), de mˆeme loi de Poisson de param`etre. On pose, pour tout entiern≥,
Sn=
n
X
i=
Xi et Yn=Sn−n
√ n .
On notex−= sup(−x,) pour toutx∈R.
. Pour toutn≥, v´erifier queSn suit la loi de Poisson de param`etren, calculerE(Yn) et en d´eduire que pour touta >,
P(Yn−≥a)≤ a.
. SoitY une variable al´eatoire de loi normaleN(,). Montrer que la suite (Yn−)n≥converge en loi versY−.
. Montrer `a l’aide de la queion pr´eliminaire que E(Yn−) −→
n→∞E(Y−).
. En d´eduire la formule de Stirling
n! ∼
n→∞
n e
n√
πn.
E
xercice 11. (Une LGN avec un go ˆut de TCL) On rappelle que la loi de Cauchy `a pour densit´e par rapport `a la mesure de Lebesguef(x) =π(+x), et pour fonion cara´eriiqueφ(ξ) = exp(−|ξ|).
. SiXetY sont deux variables de Cauchy ind´ependantes.Quelles ela loi de X+Y ?
. SiX, ..., Xnsont des vaiid de loi de Cauchy.Quelle ela loi de X+...+Xn
n ?
Qu’en pensez-vous ?
. Retrouver la forme de la fonion cara´eriique `a partir de la densit´e de la loi de Cauchy.
E
xercice 12. (´Equation al´eatoire – ) SoientXetY deux variables al´eatoires ind´ependantes de mˆeme loi, de variance finieσ. On suppose que (X+Y)/√ede mˆeme loi queXetY.Que dire de cette loi commune ?
Fin Bonne ann´ee !
