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La Théorème central limite - Cours 7 pdf

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Texte intégral

(1)

Cours 3: Une introduction aux Théorémes

limite en probabilités

(2)

Loi des grands nombres Théorème central limite Quelques applications

1 Loi des grands nombres Point de départ

Un premier pas : la loi faible des grands nombres Loi forte des grands nombres

Quelques idées d’applications immédiates de LGN

2 Théorème central limite

3 Quelques applications Marcheur dansZ

Intervalles de confiance lors d’élections Introduction aux tests statistiques

Introduction

(3)

1 Loi des grands nombres Point de départ

Un premier pas : la loi faible des grands nombres Loi forte des grands nombres

Quelques idées d’applications immédiates de LGN

2 Théorème central limite

3 Quelques applications Marcheur dansZ

Intervalles de confiance lors d’élections Introduction aux tests statistiques

Introduction

(4)

Loi des grands nombres Théorème central limite Quelques applications

Point de départ

Un premier pas : la loi faible des grands nombres Loi forte des grands nombres

Quelques idées d’applications immédiates de LGN

Un point de départ

Supposons que l’on lance un « grand » nombre de fois une pièce (équilibrée) en l’air, il y aura en moyenne 50%de piles (et donc aussi 50%de face).

Précisons les choses...

(5)

Un point de départ

Supposons que l’on lance un « grand » nombre de fois une pièce (équilibrée) en l’air, il y aura en moyenne 50%de piles (et donc aussi 50%de face).

Précisons les choses...

(6)

Loi des grands nombres Théorème central limite Quelques applications

Point de départ

Un premier pas : la loi faible des grands nombres Loi forte des grands nombres

Quelques idées d’applications immédiates de LGN

Un point de départ

On joue n fois au pile ou face, avecprobapde tomber sur pile.

Pour 1≤i≤non pose Xi =1{pile}=

1 si on obtient pile,

0 sinon

Alors :

P

i=1..nXi

n = nb de piles

n .

Et il semble assez naturel que lorsquenest grand le rapport nb de piles/n tend vers la proba de tomber sur pile, c’est à dire précisémentp=E(X1). Ainsi dans ce cas particulier, il semble que lorsquengrand,

(7)

Un point de départ

On joue n fois au pile ou face, avecprobapde tomber sur pile.

Pour 1≤i≤non pose Xi =1{pile}=

1 si on obtient pile,

0 sinon

Alors :

P

i=1..nXi

n = nb de piles

n .

Et il semble assez naturel que lorsquenest grand le rapport nb de piles/n tend vers la proba de tomber sur pile, c’est à dire précisémentp=E(X1). Ainsi dans ce cas particulier, il semble que lorsquengrand,

(8)

Loi des grands nombres Théorème central limite Quelques applications

Point de départ

Un premier pas : la loi faible des grands nombres Loi forte des grands nombres

Quelques idées d’applications immédiates de LGN

Un point de départ

On joue n fois au pile ou face, avecprobapde tomber sur pile.

Pour 1≤i≤non pose Xi =1{pile}=

1 si on obtient pile,

0 sinon

Alors :

P

i=1..nXi

n = nb de piles

n .

Et il semble assez naturel que lorsquenest grand le rapport nb de piles/n tend vers la proba de tomber sur pile, c’est à dire précisémentp=E(X1). Ainsi dans ce cas particulier, il semble que lorsquengrand,

(9)

Un point de départ

On joue n fois au pile ou face, avecprobapde tomber sur pile.

Pour 1≤i≤non pose Xi =1{pile}=

1 si on obtient pile,

0 sinon

Alors :

P

i=1..nXi

n = nb de piles

n .

Et il semble assez naturel que lorsquenest grand le rapport nb de piles/n tend vers la proba de tomber sur pile,c’est à dire précisémentp=E(X1). Ainsi dans ce cas particulier, il semble que lorsquengrand,

(10)

Loi des grands nombres Théorème central limite Quelques applications

Point de départ

Un premier pas : la loi faible des grands nombres Loi forte des grands nombres

Quelques idées d’applications immédiates de LGN

Un point de départ

On joue n fois au pile ou face, avecprobapde tomber sur pile.

Pour 1≤i≤non pose Xi =1{pile}=

1 si on obtient pile,

0 sinon

Alors :

P

i=1..nXi

n = nb de piles

n .

Et il semble assez naturel que lorsquenest grand le rapport nb de piles/n tend vers la proba de tomber sur pile, c’est à dire précisémentp=E(X1).Ainsi dans ce cas particulier, il semble que lorsquengrand,

(11)

Un point de départ

On joue n fois au pile ou face, avecprobapde tomber sur pile.

Pour 1≤i≤non pose Xi =1{pile}=

1 si on obtient pile,

0 sinon

Alors :

P

i=1..nXi

n = nb de piles

n .

Et il semble assez naturel que lorsquenest grand le rapport nb de piles/n tend vers la proba de tomber sur pile, c’est à dire précisémentp=E(X1). Ainsi dans ce cas particulier, il semble que lorsquengrand,

(12)

Loi des grands nombres Théorème central limite Quelques applications

Point de départ

Un premier pas : la loi faible des grands nombres Loi forte des grands nombres

Quelques idées d’applications immédiates de LGN

Un point de départ

Même constatation, en lancant un dé et en regardant la proportion du nombre d’apparitions d’une face.

(13)

Loi faible des grands nombres

A l’aide d’outils simples (inégalité de Bienaymé Tcebychev, voir TD), on peut montrer que :

Théorème

Soit(Xn)n∈N? une suite de v.a. réelles deux à deux indépendantes et de même loi tel queE(X12)<∞. Alors,

∀ >0 lim

n P(|1 n

X

i=1..n

Xi−E(X1)|> ) =0

Ce type de convergence s’appelle la convergence en probabilité.

(14)

Loi des grands nombres Théorème central limite Quelques applications

Point de départ

Un premier pas : la loi faible des grands nombres Loi forte des grands nombres

Quelques idées d’applications immédiates de LGN

Loi faible des grands nombres

A l’aide d’outils simples (inégalité de Bienaymé Tcebychev, voir TD), on peut montrer que :

Théorème

Soit(Xn)n∈N? une suite de v.a. réelles deux à deux indépendantes et de même loi tel queE(X12)<∞. Alors,

∀ >0 lim

n P(|1 n

X

i=1..n

Xi−E(X1)|> ) =0 Ce type de convergence s’appelle la convergence en probabilité.

(15)

Loi faible des grands nombres

A l’aide d’outils simples (inégalité de Bienaymé Tcebychev, voir TD), on peut montrer que :

Théorème

Soit(Xn)n∈N? une suite de v.a. réelles deux à deux indépendantes et de même loi tel queE(X12)<∞. Alors,

∀ >0 lim

n P(|1 n

X

i=1..n

Xi−E(X1)|> ) =0 Ce type de convergence s’appelle la convergence en probabilité.

(16)

Loi des grands nombres Théorème central limite Quelques applications

Point de départ

Un premier pas : la loi faible des grands nombres Loi forte des grands nombres

Quelques idées d’applications immédiates de LGN

Loi forte des grands nombres

Théorème

Soit(Xn)n∈N? une suite de v.a. réelles deux à deux

indépendantes et de même loi tel queE(|X1|)<∞. Alors, pour presque tout ω, lim

n

1 n

X

i=1..n

Xi =E(X1).

On parle de convergence presque sûre (p.s en abrégé). Cela signifie que pour presque chaque réalisationω, la quantité moyenne arithmétiquedesXi converge versE(X1).

Attention, la "vitesse" de convergence dépend duω. On admet

(17)

Loi forte des grands nombres

Théorème

Soit(Xn)n∈N? une suite de v.a. réelles deux à deux

indépendantes et de même loi tel queE(|X1|)<∞. Alors, pour presque tout ω, lim

n

1 n

X

i=1..n

Xi =E(X1).

On parle de convergence presque sûre (p.s en abrégé). Cela signifie que pour presque chaque réalisationω, la quantité moyenne arithmétiquedesXi converge versE(X1).

Attention, la "vitesse" de convergence dépend duω. On admet

(18)

Loi des grands nombres Théorème central limite Quelques applications

Point de départ

Un premier pas : la loi faible des grands nombres Loi forte des grands nombres

Quelques idées d’applications immédiates de LGN

Loi forte des grands nombres

Théorème

Soit(Xn)n∈N? une suite de v.a. réelles deux à deux

indépendantes et de même loi tel queE(|X1|)<∞. Alors, pour presque tout ω, lim

n

1 n

X

i=1..n

Xi =E(X1).

On parle de convergence presque sûre (p.s en abrégé). Cela signifie que pour presque chaque réalisationω, la quantité moyenne arithmétiquedesXi converge versE(X1).

Attention, la "vitesse" de convergence dépend duω. On admet

(19)

Quelques idées d’applications immédiates de LGN

Estimer la proba de tomber sur face d’une pièce. (Vérifier si la pièce est équilibrée)

Estimer la proportion d’électeurs votant pour un candidat.

Rapidement, on tombe sur le probléme suivant :combien de lancers de pièces (ou combien de personnes doit on interroger), pour que le résultat que l’on avance soit correct

avec grosse probabilité...

La section suivante permet de répondre à ce genre de questions.

(20)

Loi des grands nombres Théorème central limite Quelques applications

Point de départ

Un premier pas : la loi faible des grands nombres Loi forte des grands nombres

Quelques idées d’applications immédiates de LGN

Quelques idées d’applications immédiates de LGN

Estimer la proba de tomber sur face d’une pièce. (Vérifier si la pièce est équilibrée)

Estimer la proportion d’électeurs votant pour un candidat.

Rapidement, on tombe sur le probléme suivant :combien de lancers de pièces (ou combien de personnes doit on interroger), pour que le résultat que l’on avance soit correct

avec grosse probabilité...

La section suivante permet de répondre à ce genre de questions.

(21)

Quelques idées d’applications immédiates de LGN

Estimer la proba de tomber sur face d’une pièce. (Vérifier si la pièce est équilibrée)

Estimer la proportion d’électeurs votant pour un candidat.

Rapidement, on tombe sur le probléme suivant :combien de lancersde pièces (oucombien de personnes doit on interroger), pour que le résultat que l’on avance soit correct

avec grosse probabilité...

La section suivante permet de répondre à ce genre de questions.

(22)

Loi des grands nombres Théorème central limite Quelques applications

Point de départ

Un premier pas : la loi faible des grands nombres Loi forte des grands nombres

Quelques idées d’applications immédiates de LGN

Quelques idées d’applications immédiates de LGN

Estimer la proba de tomber sur face d’une pièce. (Vérifier si la pièce est équilibrée)

Estimer la proportion d’électeurs votant pour un candidat.

Rapidement, on tombe sur le probléme suivant :combien de lancersde pièces (oucombien de personnes doit on interroger), pour que le résultat que l’on avance soit correct

avec grosse probabilité...

La section suivante permet de répondre à ce genre de questions.

(23)
(24)

Loi des grands nombres Théorème central limite Quelques applications

1 Loi des grands nombres Point de départ

Un premier pas : la loi faible des grands nombres Loi forte des grands nombres

Quelques idées d’applications immédiates de LGN

2 Théorème central limite

3 Quelques applications Marcheur dansZ

Intervalles de confiance lors d’élections Introduction aux tests statistiques

Introduction

(25)

TCL

Posons

n= P

iXi n .

Sous certaines conditions, on sait donc queX¯n−E(X1)tend vers 0. Cette quantité représente les écarts, les fluctuations entre la moyenne que l’on observeX¯net la "vraie" moyenne E(X1).

On aimerait aller à l’ordre supérieur et connaitre "la vitesse" de convergence vers 0.

Le Theoreme central limite (TCL) indique "grosso modo" que si l’on multiplie les écartsX¯n−E(X1)par√

n, on obtient une v.a

(26)

Loi des grands nombres Théorème central limite Quelques applications

TCL

Posons

n= P

iXi n .

Sous certaines conditions, on sait donc queX¯n−E(X1)tend vers 0. Cette quantité représente les écarts, les fluctuations entre la moyenne que l’on observeX¯net la "vraie" moyenne E(X1).

On aimerait aller à l’ordre supérieur et connaitre "la vitesse" de convergence vers 0.

Le Theoreme central limite (TCL) indique "grosso modo" que si l’on multiplie les écartsX¯n−E(X1)par√

n, on obtient une v.a

(27)

TCL

Posons

n= P

iXi n .

Sous certaines conditions, on sait donc queX¯n−E(X1)tend vers 0. Cette quantité représente les écarts, les fluctuations entre la moyenne que l’on observeX¯net la "vraie" moyenne E(X1).

On aimerait aller à l’ordre supérieur et connaitre "la vitesse" de convergence vers 0.

Le Theoreme central limite (TCL) indique "grosso modo" que si l’on multiplie les écartsX¯n−E(X1)par√

n, on obtient une v.a

(28)

Loi des grands nombres Théorème central limite Quelques applications

TCL

Posons

n= P

iXi n .

Sous certaines conditions, on sait donc queX¯n−E(X1)tend vers 0. Cette quantité représente les écarts, les fluctuations entre la moyenne que l’on observeX¯net la "vraie" moyenne E(X1).

On aimerait aller à l’ordre supérieur et connaitre "la vitesse" de convergence vers 0.

Le Theoreme central limite (TCL) indique "grosso modo" que si l’on multiplie les écartsX¯n−E(X1)par√

n, on obtient une v.a

(29)

TCL

Posons

n= P

iXi n .

Sous certaines conditions, on sait donc queX¯n−E(X1)tend vers 0. Cette quantité représente les écarts, les fluctuations entre la moyenne que l’on observeX¯net la "vraie" moyenne E(X1).

On aimerait aller à l’ordre supérieur et connaitre "la vitesse" de convergence vers 0.

Le Theoreme central limite (TCL) indique "grosso modo" que si l’on multiplie les écartsX¯n−E(X1)par√

n, on obtient une v.a

(30)

Loi des grands nombres Théorème central limite Quelques applications

Théorème (TCL)

Soit(Xn)n≥1une suite de v.a. réelles indépendantes et de même loi, de moyenne m et d’écart typeσ. Notons

n= X1+...+Xn

n

et Znles v.a. associées centrées réduites : Zn=

√n( ¯Xn−m)

σ .

Alors pour tout intervalle[a;b], on a :

1 Z b

(31)

On dit que la loi de la v.a.Zn =

n( ¯Xn−m)

σ converge en loi vers une normale centreé réduiteN(0;1).

On peut retenir le Théorème ainsi, pourngrand, on a :

√n( ¯Xn−m) σ

−→L

n→∞ N(0;1),

pour desXi indépendants et identiquement distribués.

Ce qui peut aussi se retenir ainsi : ( ¯Xn−m)

qσ2

−→L

n→∞ N(0;1),

(32)

Loi des grands nombres Théorème central limite Quelques applications

On dit que la loi de la v.a.Zn =

n( ¯Xn−m)

σ converge en loi vers une normale centreé réduiteN(0;1).

On peut retenir le Théorème ainsi, pourngrand, on a :

√n( ¯Xn−m) σ

−→L

n→∞ N(0;1),

pour desXi indépendants et identiquement distribués.

Ce qui peut aussi se retenir ainsi : ( ¯Xn−m)

qσ2

−→L

n→∞ N(0;1),

(33)

On dit que la loi de la v.a.Zn =

n( ¯Xn−m)

σ converge en loi vers une normale centreé réduiteN(0;1).

On peut retenir le Théorème ainsi, pourngrand, on a :

√n( ¯Xn−m) σ

−→L

n→∞ N(0;1),

pour desXi indépendants et identiquement distribués.

Ce qui peut aussi se retenir ainsi : ( ¯Xn−m)

qσ2

−→L

n→∞ N(0;1),

(34)

Loi des grands nombres Théorème central limite Quelques applications

TCL

Autrement dit, l’écart entre les moyennes arithmétiques et l’espérance (écart qui tend vers 0 par la LGN) se comporte aprés normalisation comme la loi normale (ou bien encore en notant queX¯n−m= 1nP

i=1..n(Xi−m), la moyenne des écarts (renormalisée) "tend" vers une Gaussienne.)

Connaissant la densité de la loi normale, on peut le "lire"

intuitivement comme suit. Si n est assez grand alorsZn est très probablement compris entre -3 et 3 (la probabilité est 0.9973). Soit encore :

X1+...+Xn

−E(X1)∈[−3σ

√ ; 3σ

√ ],

(35)

TCL

Autrement dit, l’écart entre les moyennes arithmétiques et l’espérance (écart qui tend vers 0 par la LGN) se comporte aprés normalisation comme la loi normale (ou bien encore en notant queX¯n−m= 1nP

i=1..n(Xi−m), la moyenne des écarts (renormalisée) "tend" vers une Gaussienne.)

Connaissant la densité de la loi normale, on peut le "lire"

intuitivement comme suit. Si n est assez grand alorsZn est très probablement compris entre -3 et 3 (la probabilité est 0.9973). Soit encore :

X1+...+Xn

−E(X1)∈[−3σ

√ ; 3σ

√ ],

(36)

Loi des grands nombres Théorème central limite Quelques applications

Remarques sur le TCL

Quelque soit la loi desXi (moment d’ordre 1 fini), les sommes renormalisées convergent vers une meme loi limite, la loi Normale, ce qui explique le nom de cette loi et son caractèreuniversel.

Le√

nest nécessaire ! PrendreXi ∼ N(0;1)et regarder les variances des 2 termes.

En pratique, lorsque l’on considère un grand nombre de v.a. indépendantes et de même loiX1, ...,Xn, on approxime leur sommeSnou leur moyenneX¯npar des variables normales suivantes :

∼ N √

¯ ∼ N √

(37)

Remarques sur le TCL

Quelque soit la loi desXi (moment d’ordre 1 fini), les sommes renormalisées convergent vers une meme loi limite, la loi Normale, ce qui explique le nom de cette loi et son caractèreuniversel.

Le√

nest nécessaire ! PrendreXi ∼ N(0;1)et regarder les variances des 2 termes.

En pratique, lorsque l’on considère un grand nombre de v.a. indépendantes et de même loiX1, ...,Xn, on approxime leur sommeSnou leur moyenneX¯npar des variables normales suivantes :

∼ N √

¯ ∼ N √

(38)

Loi des grands nombres Théorème central limite Quelques applications

Remarques sur le TCL

Quelque soit la loi desXi (moment d’ordre 1 fini), les sommes renormalisées convergent vers une meme loi limite, la loi Normale, ce qui explique le nom de cette loi et son caractèreuniversel.

Le√

nest nécessaire ! PrendreXi ∼ N(0;1)et regarder les variances des 2 termes.

En pratique, lorsque l’on considère un grand nombre de v.a. indépendantes et de même loiX1, ...,Xn, on approxime leur sommeSnou leur moyenneX¯npar des variables normales suivantes :

∼ N √

¯ ∼ N √

(39)

Suite remarques

Importance capitale de ce Théorème en statistique...

Si l’on prendXi ∼Bernoulli(p), on retrouve qu’une Binomiale approche une Normale.

On a donc deux approximations possibles pour les lois binomialesB(n;p): celle par une loi de PoissonP(np) lorsquenest grand,ppetit etnpde l’ordre de quelques unités et celle parN(np;p

np(1−p))lorsquenest grand.

Seule la pratique permet de décider laquelle des deux est la meilleure approximation.

(40)

Loi des grands nombres Théorème central limite Quelques applications

Suite remarques

Importance capitale de ce Théorème en statistique...

Si l’on prendXi ∼Bernoulli(p), on retrouve qu’une Binomiale approche une Normale.

On a donc deux approximations possibles pour les lois binomialesB(n;p): celle par une loi de PoissonP(np) lorsquenest grand,ppetit etnpde l’ordre de quelques unités et celle parN(np;p

np(1−p))lorsquenest grand.

Seule la pratique permet de décider laquelle des deux est la meilleure approximation.

(41)

Suite remarques

Importance capitale de ce Théorème en statistique...

Si l’on prendXi ∼Bernoulli(p), on retrouve qu’une Binomiale approche une Normale.

On a donc deux approximations possibles pour les lois binomialesB(n;p): celle par une loi de PoissonP(np) lorsquenest grand,ppetit etnpde l’ordre de quelques unités et celle parN(np;p

np(1−p))lorsquenest grand.

Seule la pratique permet de décider laquelle des deux est la meilleure approximation.

(42)

Loi des grands nombres Théorème central limite Quelques applications

Marcheur dansZ

Intervalles de confiance lors d’élections Introduction aux tests statistiques

1 Loi des grands nombres Point de départ

Un premier pas : la loi faible des grands nombres Loi forte des grands nombres

Quelques idées d’applications immédiates de LGN

2 Théorème central limite

3 Quelques applications Marcheur dansZ

Intervalles de confiance lors d’élections Introduction aux tests statistiques

Introduction

(43)

La trajectoire de l’ivrogne

Soit un marcheur aléatoire (imaginez un bonhomme ivrogne) qui se déplace sur l’axeZen sautant aléatoirement à chaque unité de temps (à chaque seconde par exemple) sur un de ces 2 voisins (droite ou gauche).

(44)

Loi des grands nombres Théorème central limite Quelques applications

Marcheur dansZ

Intervalles de confiance lors d’élections Introduction aux tests statistiques

La trajectoire de l’ivrogne

Soit un marcheur aléatoire (imaginez un bonhomme ivrogne) qui se déplace sur l’axeZen sautant aléatoirement à chaque unité de temps (à chaque seconde par exemple) sur un de ces 2 voisins (droite ou gauche).

(45)

La trajectoire de l’ivrogne

Soit un marcheur aléatoire (imaginez un bonhomme ivrogne) qui se déplace sur l’axeZen sautant aléatoirement à chaque unité de temps (à chaque seconde par exemple) sur un de ces 2 voisins (droite ou gauche).

(46)

Loi des grands nombres Théorème central limite Quelques applications

Marcheur dansZ

Intervalles de confiance lors d’élections Introduction aux tests statistiques

La trajectoire de l’ivrogne

Soit un marcheur aléatoire (imaginez un bonhomme ivrogne) qui se déplace sur l’axeZen sautant aléatoirement à chaque unité de temps (à chaque seconde par exemple) sur un de ces 2 voisins (droite ou gauche).

(47)

La trajectoire de l’ivrogne

Soit un marcheur aléatoire (imaginez un bonhomme ivrogne) qui se déplace sur l’axeZen sautant aléatoirement à chaque unité de temps (à chaque seconde par exemple) sur un de ces 2 voisins (droite ou gauche).

(48)

Loi des grands nombres Théorème central limite Quelques applications

Marcheur dansZ

Intervalles de confiance lors d’élections Introduction aux tests statistiques

La trajectoire de l’ivrogne

On a les relations suivantes : pour touti≥0, Xi+1=Xi+i,

où lesi ∈ {−1,+1}avecP(=−1) =P(= +1) =1/2.

On applique le TCL auxi (qui sont indépendants, de même lois). On a :

E(i) =0et var(i) =1.

On obtient que,

pourngrand, la loi de Xnn s’approxime par uneN(0;1).

Ainsi, connaissant la forme de la densité de la normale, on

(49)

La trajectoire de l’ivrogne

On a les relations suivantes : pour touti≥0, Xi+1=Xi+i,

où lesi ∈ {−1,+1}avecP(=−1) =P(= +1) =1/2.

On applique le TCL auxi (qui sont indépendants, de même lois).On a :

E(i) =0et var(i) =1.

On obtient que,

pourngrand, la loi de Xnn s’approxime par uneN(0;1).

Ainsi, connaissant la forme de la densité de la normale, on

(50)

Loi des grands nombres Théorème central limite Quelques applications

Marcheur dansZ

Intervalles de confiance lors d’élections Introduction aux tests statistiques

La trajectoire de l’ivrogne

On a les relations suivantes : pour touti≥0, Xi+1=Xi+i,

où lesi ∈ {−1,+1}avecP(=−1) =P(= +1) =1/2.

On applique le TCL auxi (qui sont indépendants, de même lois). On a :

E(i) =0et var(i) =1.

On obtient que,

pourngrand, la loi de Xnn s’approxime par uneN(0;1).

Ainsi, connaissant la forme de la densité de la normale, on

(51)

La trajectoire de l’ivrogne

On a les relations suivantes : pour touti≥0, Xi+1=Xi+i,

où lesi ∈ {−1,+1}avecP(=−1) =P(= +1) =1/2.

On applique le TCL auxi (qui sont indépendants, de même lois). On a :

E(i) =0et var(i) =1.

On obtient que,

pourngrand, la loi de Xnn s’approxime par uneN(0;1).

Ainsi, connaissant la forme de la densité de la normale, on

(52)

Loi des grands nombres Théorème central limite Quelques applications

Marcheur dansZ

Intervalles de confiance lors d’élections Introduction aux tests statistiques

La trajectoire de l’ivrogne

On a les relations suivantes : pour touti≥0, Xi+1=Xi+i,

où lesi ∈ {−1,+1}avecP(=−1) =P(= +1) =1/2.

On applique le TCL auxi (qui sont indépendants, de même lois). On a :

E(i) =0et var(i) =1.

On obtient que,

pourngrand, la loi de Xnn s’approxime par uneN(0;1).

Ainsi, connaissant la forme de la densité de la normale, on

(53)

Elections

(54)

Loi des grands nombres Théorème central limite Quelques applications

Marcheur dansZ

Intervalles de confiance lors d’élections Introduction aux tests statistiques

Intervalle de confiance lors d’élections

Deux candidats A et B sont en course pour une élection.

Soitpla probabilité de gens votant pour A.

A l’issue d’un sondage surnpersonnes, on se propose de donner un intervalle de confiance dans lequel p doit se trouver avec un certain pourcentageα.

Pour 1≤i ≤n,posons Xi =

1 si la personne i vote pour A

0 sinon.

LesXi sont indépendants et suivent des loi de Bernoulli de paramètrepinconnu. On a

(55)

Intervalle de confiance lors d’élections

Deux candidats A et B sont en course pour une élection.

Soitpla probabilité de gens votant pour A.

A l’issue d’un sondage surnpersonnes, on se propose de donner un intervalle de confiance dans lequel p doit se trouver avec un certain pourcentageα.

Pour 1≤i ≤n,posons Xi =

1 si la personne i vote pour A

0 sinon.

LesXi sont indépendants et suivent des loi de Bernoulli de paramètrepinconnu. On a

(56)

Loi des grands nombres Théorème central limite Quelques applications

Marcheur dansZ

Intervalles de confiance lors d’élections Introduction aux tests statistiques

Intervalle de confiance lors d’élections

Deux candidats A et B sont en course pour une élection.

Soitpla probabilité de gens votant pour A.

A l’issue d’un sondage surnpersonnes, on se propose de donner un intervalle de confiance dans lequel p doit se trouver avec un certain pourcentageα.

Pour 1≤i ≤n,posons Xi =

1 si la personne i vote pour A

0 sinon.

LesXi sont indépendants et suivent des loi de Bernoulli de paramètrepinconnu. On a

(57)

Intervalle de confiance lors d’élections

Deux candidats A et B sont en course pour une élection.

Soitpla probabilité de gens votant pour A.

A l’issue d’un sondage surnpersonnes, on se propose de donner un intervalle de confiance dans lequel p doit se trouver avec un certain pourcentageα.

Pour 1≤i ≤n,posons Xi =

1 si la personne i vote pour A

0 sinon.

LesXi sont indépendants et suivent des loi de Bernoulli de paramètrepinconnu. On a

(58)

Loi des grands nombres Théorème central limite Quelques applications

Marcheur dansZ

Intervalles de confiance lors d’élections Introduction aux tests statistiques

Intervalle de confiance lors d’élections

Deux candidats A et B sont en course pour une élection.

Soitpla probabilité de gens votant pour A.

A l’issue d’un sondage surnpersonnes, on se propose de donner un intervalle de confiance dans lequel p doit se trouver avec un certain pourcentageα.

Pour 1≤i ≤n,posons Xi =

1 si la personne i vote pour A

0 sinon.

LesXi sont indépendants et suivent des loi de Bernoulli de paramètrepinconnu. On a

(59)

Intervalle de confiance lors d’élections

Le TCL autorise l’approximation (en loi) suivante pour n grand :

r n p(1−p)(

P

iXi

n −p)∼ NL (0;1).

D’où, pour tout >0, on a : P(|

r n p(1−p)(

P

iXi

n −p)|< )≈P(|Y|< ), oùY ∼ N(0;1).

C’est à dire que l’on est certain avec le tauxα=P(|Y|< ) que ,

(60)

Loi des grands nombres Théorème central limite Quelques applications

Marcheur dansZ

Intervalles de confiance lors d’élections Introduction aux tests statistiques

Intervalle de confiance lors d’élections

Le TCL autorise l’approximation (en loi) suivante pour n grand :

r n p(1−p)(

P

iXi

n −p)∼ NL (0;1).

D’où, pour tout >0, on a : P(|

r n p(1−p)(

P

iXi

n −p)|< )≈P(|Y|< ), oùY ∼ N(0;1).

C’est à dire que l’on est certain avec le tauxα=P(|Y|< ) que ,

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Intervalle de confiance lors d’élections

Le TCL autorise l’approximation (en loi) suivante pour n grand :

r n p(1−p)(

P

iXi

n −p)∼ NL (0;1).

D’où, pour tout >0, on a : P(|

r n p(1−p)(

P

iXi

n −p)|< )≈P(|Y|< ), oùY ∼ N(0;1).

C’est à dire que l’on est certain avec le tauxα=P(|Y|< ) que ,

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Loi des grands nombres Théorème central limite Quelques applications

Marcheur dansZ

Intervalles de confiance lors d’élections Introduction aux tests statistiques

Intervalle de confiance lors d’élections

Si l’on veut par exemple donner une fourchette pour p avecun tauxα=0,95, on choisit=1,96( cf. table de la loi normale).

Ainsi avec 95%, on peut affirmer que, p∈[ ¯Xn− 1,96

2√

n; ¯Xn+ 1,96 2√

n].

(On a utilisé le fait que pourp∈[0;1], p(1−p)≤1/4 ) De cette dernière expression, on remarque que si l’on

augmente la taillende l’échantillon, l’intervalle (de confiance) se "resserre", ce qui permet de lever éventuellement un

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Intervalle de confiance lors d’élections

Si l’on veut par exemple donner une fourchette pour p avecun tauxα=0,95, on choisit=1,96( cf. table de la loi normale).

Ainsi avec 95%, on peut affirmer que, p∈[ ¯Xn− 1,96

2√

n; ¯Xn+ 1,96 2√

n].

(On a utilisé le fait que pourp∈[0;1], p(1−p)≤1/4 ) De cette dernière expression, on remarque que si l’on

augmente la taillende l’échantillon, l’intervalle (de confiance) se "resserre", ce qui permet de lever éventuellement un

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Loi des grands nombres Théorème central limite Quelques applications

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Intervalles de confiance lors d’élections Introduction aux tests statistiques

Intervalle de confiance lors d’élections

Si l’on veut par exemple donner une fourchette pour p avecun tauxα=0,95, on choisit=1,96( cf. table de la loi normale).

Ainsi avec 95%, on peut affirmer que, p∈[ ¯Xn− 1,96

2√

n; ¯Xn+ 1,96 2√

n].

(On a utilisé le fait que pourp∈[0;1], p(1−p)≤1/4 ) De cette dernière expression, on remarque que si l’on

augmente la taillende l’échantillon, l’intervalle (de confiance) se "resserre", ce qui permet de lever éventuellement un

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1 Loi des grands nombres Point de départ

Un premier pas : la loi faible des grands nombres Loi forte des grands nombres

Quelques idées d’applications immédiates de LGN

2 Théorème central limite

3 Quelques applications Marcheur dansZ

Intervalles de confiance lors d’élections Introduction aux tests statistiques

Introduction

(66)

Loi des grands nombres Théorème central limite Quelques applications

Marcheur dansZ

Intervalles de confiance lors d’élections Introduction aux tests statistiques

Introduction

L’une des fonctions des statistiques est de proposer, à partir d’observations d’un phénomène aléatoire, une estimation d’un des paramètres du phénomène.

Les statistiques servent aussi à prendre des décisions.

Peut on considérer qu’un médicament est plus efficace qu’un placebo ? Le nombre de consultations de Google par seconde suit il une loi de Poisson ? Les gènes pilotant la couleur des yeux et ceux des cheveux sont ils sur les mêmes chromosomes ?

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Introduction

L’une des fonctions des statistiques est de proposer, à partir d’observations d’un phénomène aléatoire, une estimation d’un des paramètres du phénomène.

Les statistiques servent aussi à prendre des décisions.

Peut on considérer qu’un médicament est plus efficace qu’un placebo ? Le nombre de consultations de Google par seconde suit il une loi de Poisson ? Les gènes pilotant la couleur des yeux et ceux des cheveux sont ils sur les mêmes chromosomes ?

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Loi des grands nombres Théorème central limite Quelques applications

Marcheur dansZ

Intervalles de confiance lors d’élections Introduction aux tests statistiques

Introduction

Il y a deux points communs (au moins) à toutes ces questions : leurs réponses sont des oui-non et le phénomène sous-jacent est aléatoire.

Les tests statistiques vont permettre d’apporter une réponse à des questions manichéennes en contrôlant l’aléa inhérent à la

situation.

En statistiques, les deux éventualités sont appelées des hypothèses et sont notées :

H0(hypothèse nulle) etH1(hypothèse alternative).

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Introduction

Il y a deux points communs (au moins) à toutes ces questions : leurs réponses sont des oui-non et le phénomène sous-jacent est aléatoire.

Les tests statistiques vont permettre d’apporter une réponse à des questions manichéennes en contrôlant l’aléa inhérent à la

situation.

En statistiques, les deux éventualités sont appelées des hypothèses et sont notées :

H0(hypothèse nulle) etH1(hypothèse alternative).

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Loi des grands nombres Théorème central limite Quelques applications

Marcheur dansZ

Intervalles de confiance lors d’élections Introduction aux tests statistiques

Introduction

Il y a deux points communs (au moins) à toutes ces questions : leurs réponses sont des oui-non et le phénomène sous-jacent est aléatoire.

Les tests statistiques vont permettre d’apporter une réponse à des questions manichéennes en contrôlant l’aléa inhérent à la

situation.

En statistiques, les deux éventualités sont appelées des hypothèses et sont notées :

H0(hypothèse nulle) etH1(hypothèse alternative).

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Introduction

Il y a deux points communs (au moins) à toutes ces questions : leurs réponses sont des oui-non et le phénomène sous-jacent est aléatoire.

Les tests statistiques vont permettre d’apporter une réponse à des questions manichéennes en contrôlant l’aléa inhérent à la

situation.

En statistiques, les deux éventualités sont appelées des hypothèses et sont notées :

H0(hypothèse nulle) etH1(hypothèse alternative).

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Loi des grands nombres Théorème central limite Quelques applications

Marcheur dansZ

Intervalles de confiance lors d’élections Introduction aux tests statistiques

Esquisse d’idée de la théorie des tests

Un test statistique est un algorithme qui conduit à ne pas rejetterH0ou rejetterH0à partir des observations du phénomène.

L’idée de base des tests, est de trouver une statistique (une fonction des observations) dont on connait la loi (ou qui s’approxime par une loi connue) siH0est vraie, et qui ne se comporte pas de la même manière selon queH0ou H1est vraie.

Le"qui s’approxime par une loi connue"dans la phrase précédente, est en général une conséquence du TCL. On

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Esquisse d’idée de la théorie des tests

Un test statistique est un algorithme qui conduit à ne pas rejetterH0ou rejetterH0à partir des observations du phénomène.

L’idée de base des tests, est de trouver une statistique (une fonction des observations) dont on connait la loi (ou qui s’approxime par une loi connue) siH0est vraie, et qui ne se comporte pas de la même manière selon queH0ou H1est vraie.

Le"qui s’approxime par une loi connue"dans la phrase précédente, est en général une conséquence du TCL. On

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Loi des grands nombres Théorème central limite Quelques applications

Marcheur dansZ

Intervalles de confiance lors d’élections Introduction aux tests statistiques

Esquisse d’idée de la théorie des tests

Un test statistique est un algorithme qui conduit à ne pas rejetterH0ou rejetterH0à partir des observations du phénomène.

L’idée de base des tests, est de trouver une statistique (une fonction des observations) dont on connait la loi (ou qui s’approxime par une loi connue) siH0est vraie, et qui ne se comporte pas de la même manière selon queH0ou H1est vraie.

Le"qui s’approxime par une loi connue"dans la phrase précédente, est en général une conséquence du TCL. On

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Exemple

On antirages de v.a indépendantes, notéesX1,X2, ...,Xn. On ignore leur lois, on connaitσ2=Var(X1)et on se demande siE(X1) =5 ?

Grace au TCL, on sait immédiatement que siE(X1)vaut 5 alors on a une fonctionnelle des observationsXi qui tend vers une loi connue (et cela ne sachant quasiment rien sur la loi desXi! ! !) à savoir :

√n( ¯Xn−5) σ

−→L

n→∞ N(0;1),

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Exemple

On antirages de v.a indépendantes, notéesX1,X2, ...,Xn. On ignore leur lois, on connaitσ2=Var(X1)et on se demande siE(X1) =5 ?

Grace au TCL, on sait immédiatement que siE(X1)vaut 5 alors on a une fonctionnelle des observationsXi qui tend vers une loi connue (et cela ne sachant quasiment rien sur la loi desXi! ! !) à savoir :

√n( ¯Xn−5) σ

−→L

n→∞ N(0;1),

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Exemple

On antirages de v.a indépendantes, notéesX1,X2, ...,Xn. On ignore leur lois, on connaitσ2=Var(X1)et on se demande siE(X1) =5 ?

Grace auTCL, on sait immédiatement que siE(X1)vaut 5 alors on a une fonctionnelle des observationsXi qui tend vers une loi connue (et cela ne sachant quasiment rien sur la loi desXi! ! !) à savoir :

√n( ¯Xn−5) σ

−→L

n→∞ N(0;1),

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Exemple

On antirages de v.a indépendantes, notéesX1,X2, ...,Xn. On ignore leur lois, on connaitσ2=Var(X1)et on se demande siE(X1) =5 ?

Grace auTCL, on sait immédiatement que siE(X1)vaut 5 alors on a une fonctionnelle des observationsXi qui tend vers une loi connue (et cela ne sachant quasiment rien sur la loi desXi! ! !) à savoir :

√n( ¯Xn−5) σ

−→L

n→∞ N(0;1),

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A suivre...

Dans le cours suivant, on developpera un exemple de test classique : le test duχ2.

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