loi des grands nombres, th´ eor` eme de la limite centrale

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Universit´e Paris Diderot - Paris 7 L3 Maths Fondamentales

Int´egration et Probabilit´es 2010-2011

Travaux dirig´ es, feuille 9 : probabilit´ es - 2

loi des grands nombres, th´ eor` eme de la limite centrale

Loi des grands nombres, convergence p.s. et en probabilit´e

Exercice 1

Soit f : [0,1] → R continue et (X_n)n∈N une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées de loi uniforme sur [0,1], de densité 1[0,1] par rapport à la mesure de Lebesgue. Trouver limn→∞ 1

n

Pn

i=1f(Xi).

Exercice 2

Soit f :R→Rcontinue born´ee.

1) On suppose que (Xn)n∈N est une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées de loi uniforme sur [0,1], de densité 1[0,1] par rapport à la mesure de Lebesgue. Trouver lim

n→∞f 1 n

n

X

i=1

X_i

!

puis lim

n→∞E

"

f 1 n

n

X

i=1

Xi

!#

. En d´eduire

n→∞lim Z

[0,1]ⁿ

f

x₁+· · ·+x_n n

dx₁· · ·dx_n.

2) On suppose que (Xn)n∈N est une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées de loi de Poisson de paramètreα- i.e., pour toutk∈N,P(X₁ =k) =e^−αα^k/k!. Trouver lim

n→∞f 1 n

n

X

i=1

X_i

!

puis lim

n→∞E

"

f 1 n

n

X

i=1

Xi

!#

. En d´eduire

n→∞lim X

k≥0

e^−αn(αn)^k k! f

k n

.

Exercice 3 : th´eor`eme de Weierstrass

On considère tout au long de l’exercice une fonctionf : [0,1]→Rcontinue. On définit sur [0,1] le polynôme Q_n (pourn≥1) par

Qn(x) =

n

X

k=0

f k

n

C_n^kx^k(1−x)^n−k,

oùC_n^k désigne lenombre de combinaison de k éléments parmin, ou encore le nombre de tirages simultanés de kéléments parmin, et vaut C_n^k= n!

k!(n−k)!.

1

(2)

1) Montrer `a l’aide de la loi des grands nombres que

∀x∈[0,1], lim

n→∞Q_n(x) =f(x).

Indication : on pourra introduire une suite (Xi)i≥1 de v.a. i.i.d. de loi de Bernoulli de param`etre x, i.e.

P(X₁ = 1) =x et P(X₁= 0) = 1−x, et exprimer Q_n(x) en fonction de S_n=X₁+· · ·+X_n. 2) Montrer que Qn converge versf uniform´ement sur [0,1].

Indication : majorerE(|f(^S_nⁿ)−f(x)|)en découpant selon l’événement{|^S_nⁿ−x|> δ}et son complémentaire, pour δ >0.

Exercice 4

Soit n ≥ 1. Soit (Xk(n))k≥1 une suite de v.a. i.i.d. de loi uniforme sur {1,2, . . . , n}, i.e., pour tout i∈ {1, ..., n} on aP(X_k(n) =i) = 1/n. Soit

Tn= inf{m≥1| {X₁(n), . . . , Xm(n)}={1, . . . , n}}

le premier instant où toutes les valeurs possibles ont été observées.

1) Soit τ_kⁿ = inf{m ≥ 1|#{X₁(n), . . . , X_m(n)} = k}, pour k ∈ {1. . . n}. Montrer que les variables (τ_kⁿ−τ_k−1ⁿ )2≤k≤n sont ind´ependantes, et d´eterminer leur loi respective.

2) a) Calculer E(T_n), et montrer que Var(T_n)≤Cn² o`u C est une constante.

b) En déduire que _nln^Tⁿ_n converge vers 1 en probabilité, c’est-à-dire que

∀ε >0, lim

n→∞P

T_n nlnn−1

> ε

= 0.

Indication : on pensera à utiliser l’inégalité de Tchebychev.

Exercice 5

Soient (X_n)n≥1 une suite de v.a. réelles etX une v.a. réelle définies sur (Ω,F,P). On suppose que X_n→X en probabilité sous P, i.e.,

∀ε >0, lim

n→∞P(|X_n−X|> ε) = 0. Soit Qune mesure de probabilit´e absolument continue par rapport `aP, i.e.,

∀A∈ F, P(A) = 0⇒Q(A) = 0. 1) Montrer que pour tout ε >0, il existe δ >0 tel que

∀A∈ F, P(A)≤δ⇒ Q(A)≤ε . Indication : on pourra raisonner par l’absurde.

2) Montrer que X_n→X en probabilit´e sous Q.

Convergence en loi, fonction caractéristique et théorème de la limite centrale

Exercice 6

Soient (X_n)n≥1 une suite de v.a. réelles etX une v.a. réelle définies sur (Ω,F,P). On suppose que X_n→X en loi. Montrer que f(Xn)→f(X) en loi, pour toute fonctionf :R→Rcontinue et bornée.

2

(3)

Exercice 7

On dit qu’une variable aléatoire Y suit une loi de Poisson de paramètre lsiY est à valeurs dansN et pour tout k∈N,P(Y =k) =l^ke^−l/k!.

1) On suppose que (Xn)n∈N est une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées de loi de Poisson de paramètre 1. On poseS_n=X₁+· · ·+X_n.

a) Montrer que Sn suit une loi de Poisson de param`etre n.

Indication : penser à la caractérisation de la loi par la fonction caractéristique.

b) Exprimer e⁻ⁿP_n

k=0n^k

k! en fonction de la loi de S_n. c) Montrer en utilisant le th´eor`eme de la limite centrale que

n→∞lim e⁻ⁿ

n

X

k=0

n^k k! = 1

2.

2) On suppose que (X_n)n∈N est une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées de carré intégrable. Pour toutα∈R calculer limn→∞P(X1+· · ·+Xn≤nα).

Exercice 8

On suppose que (Xn)n∈N est une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées de loi µ. On suppose que Var(X_n)<∞. Soient

Y₁ = X₁

2 , Y₂ = 1

2(Y₁+X₂), ... , Y_n= 1

2(Yn−1+X_n). 1) Calculer E(Yn) et Var(Yn).

2) On suppose queXnsuit une loi gaussienneN(m, σ²), de densit´ex7→exp[−(x−m)²/2]/

√

2πσ²par rapport

`

a la mesure de Lebesgue. Montrer que Yn suit aussi une loi gaussienne, dont on donnera les param`etres.

Montrer que Y_n converge en loi vers une variable al´eatoire Y que l’on pr´ecisera.

Indication : penser aux fonctions caract´eristiques.

Exercice 9

Soient (Xn)n≥1 une suite de v.a. constantes, c’est-`a-dire que pour tout n, il existe xn∈R tel queXn =xn

p.s., et soit X une v.a. r´eelle. Montrer queX_n→ X en loi si et seulement si il existex ∈Rtel que X est de loi δ_x etx_n→x quandn tend vers l’infini.

Exercice 10 : formule de Stirling

0) Soit X une v.a. réelle de carré intégrable définie sur (Ω,F,P). Montrer que, pour touta >0, on a E(|X−inf(X, a)|)≤p

E(X²)P(X≥a).

Soit (Xn)n≥1 une suite de v.a. indépendantes définies sur (Ω,F,P), de même loi de Poisson de paramètre 1 - i.e., pour toutk∈N,P(X₁ =k) =e⁻¹/k!. On pose, pour toutn≥1,

S_n=

n

X

i=1

X_i et Y_n= S_n−n

√n .

On note x⁻ =sup(−x,0) pour toutx∈R.

3

(4)

1) Pour tout n≥1, vérifier que S_n suit une loi de Poisson de paramètre n, i.e. pour tout k ∈N, P(S_n = k) =n^ke⁻ⁿ/k!. Calculer E(Y_n²) et en déduire que pour touta >0,

P(Y_n⁻≥a)≤ 1 a². 2) SoitY une v.a. de loi normaleN(0,1), de densit´ey7→e^−y²^/2/√

2π par rapport `a la mesure de Lebesgue.

Montrer que la suite (Y_n⁻)n≥1 converge en loi versY⁻. 3) Montrer `a l’aide de la question 0) que

n→∞lim E(Y_n⁻) =E(Y⁻). 4) En d´eduire la formule de Stirling :

n!∼n e

n√

2πn quand n→ ∞.

Exercice 11

1) Soit m une mesure de probabilité sur (R,B(R)). Pour tout n≥1, on définit une mesure de probabilité mn sur (R,B(R)) par

m_n=X

k∈Z

m k

n,k+ 1 n

δ_k/n.

Montrer que (m_n)n≥1 converge ´etroitement vers m.

Indication : ´etudier le comportement de variables al´eatoires de loi m_n.

2) En déduire que si (X_n)n≥1 est une suite de v.a., avec X_n de loi géométrique de paramètre e^−1/n - i.e., pour tout k∈N,P(X_n=k) = (1−e^−1/n)e^−k/n - alors la suite (X_n/n)n≥1converge en loi vers une variable aléatoire exponentielle de paramètre 1.

Exercice 12

Soit (Xn)n≥0 une suite de variables aléatoires réelles définies sur (Ω,F,P). On suppose Xn ∼ N(mn, σ_n²) avec m_n∈Retσ_n∈R^+∗, i.e. la loi de X_n admet pour densitéx7→ 1

p2πσ_n² exp

−(x−m_n)² 2σ²_n

par rapport

`

a la mesure de Lebesgue. Montrer que cette suite converge en loi vers une variable r´eelleY si et seulement si les deux suites (m_n)n≥0 et (σ_n)n≥0 convergent dansR, et identifier la loi limite.

Exercice 13

Soit (X_n)n≥1 une suite de v.a. réelles définies sur (Ω,F,P), i.i.d. suivant la loi uniforme sur [0,1] (de densité 1[0,1] par rapport à la mesure de Lebesgue). On poseMn= max(X1, . . . , Xn). Montrer que la suite (n(1−Mn))n≥1 converge en loi quand n tend vers l’infini et expliciter la loi limite.

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