Master Math. Fonda. et appliqu´ees Orsay 2007–2008 U4 : Analyse 1er semestre
Feuille d’exercices no6
Comportement des s´eries enti`eres sur le bord du disque de convergence
Les r´esultats d´emontr´es dans les exercices ci-dessous, en particulier le th´eor`eme d’Abel non- tangentiel, sont classiques et importants. Consid´erez-les comme faisant partie int´egrante du cours.
1 - Th´eor`eme d’Abel non tangentiel.
On consid`ere une s´erie enti`ereP
n≥0anzn de rayon de convergenceR >0. On suppose qu’il existe un point z0 sur le cercle C(0, R) tel que la s´erie P
n≥0anzn0 converge. On note f(z) =P
n≥0anzn en tout point o`u cette s´erie converge. Pour C≥1, on note
DC ={z∈D(0, R) tel que|z0−z| ≤C.(R− |z|)}.
1. Montrer que, pour toutC ≥1, la s´erie P
n≥0anzn converge uniform´ement sur le domaineDC. Indication. On pourra commencer par se ramener au cas o`u R = 1 et z0 = 1, puis utiliser une transformation d’Abel pour majorer P
n≥panzn. 2. Pourθ∈[0, π/2[, on consid`ere le secteur angulaire
Aθ =
z∈C tel que
Arg
z−z0 z0
≤θ
.
(autrement dit, Aθ est le secteur angulaire de sommetz0, de bissectrice la demi-droite issue dez0 passant par 0, et de demi-angle au sommet θ).
Montrer que, pour tout θ ∈]−π/2, π/2[ fix´e, le domaine DC contient l’intersection du secteur angulaire Aθ avec un voisinage dez0 dansC.
3. En d´eduire le th´eor`eme d’Abel non tangentiel : si γ : [0,1]→ D(0, R) est une courbe differen- tiable, telle que γ(1) =z0, et telle que le vecteur γ0(1) n’est pas tangent au cercle C(0, R), alors
t→1limf(γ(t)) =f(γ(1)) =f(z0).
En particulier, on a le th´eor`eme d’Abel radial : lim
t→1f(tz0) =f(z0).
2 - S´eries enti`eres convergeant uniform´ement sur leur disque de convergence On consid`ere une s´erie enti`ereP
n≥0anzn de rayon de convergenceR >0.
1. Montrer que les trois conditions suivantes sont ´equivalentes :
• La s´erie P
n≥0anznconverge uniform´ement sur le disque ouvert D(0, R).
• La s´erie P
n≥0anznconverge uniform´ement sur le disque ferm´e D(0, R).
• La s´erie P
n≥0anznconverge uniform´ement sur le cercle C(0, R).
Indication. Utiliser le crit`ere de Cauchy uniforme et le principe du maximum.
2. Montrer que, si le s´erie X
n≥0
anznconverge uniform´ement sur le disque ouvertD(0, R), alors on a
X
n≥0
|an|2R2n<+∞.
Montrer, par un contre-exemple, que la r´eciproque de cette implication est fausse.
Remarque. Il existe des s´eries enti`eres qui convergent uniform´ement sur leur disque de convergence, mais qui ne converge pas normalement sur ce disque.
3 - Points singuliers et r´eguliers sur le bord du disque de convergence On consid`ere une s´erie enti`ere P
n≥0anzn de rayon de convergence R >0. Pour tout z∈D(0, R), on notef(z) =P
n≥0anzn. On dit qu’un point adu cercleC(0, R) estr´egulier s’il existe un disque Da centr´e ena(de rayon non-nul) tel que f admet un prolongement analytique surD(0, R)∪Da. Les points du cercle C(0, R) qui ne sont pas r´eguliers sont dit singuliers.
1. D´eterminer quels points du cercleC(0,1) sont r´eguliers (resp. singuliers) pour les s´eries enti`eres suivantes :
X
n≥0
xn , X
n≥1
xn
n , X
n≥0
(−x)n , X
n≥1
(−x)n n .
2. Justifier le fait que l’ensemble des points r´eguliers est un ouvert du cercle C(0, R).
3. Montrer qu’il existe au moins un point singulier surC(0, R).
4. Montrer qu’un point adu cercle C(0, R) est r´egulier si et seulement si il existe un voisinage V de adansC(0, R) et des r´eelsρ > 12 etC >0 tels que, pour tout b∈V, on a
sup
k≥0
f(k) 2b
k! ρk≤C.
5. On suppose que tous les termes de la suite (an)n≥0 sont r´eels et positifs. Montrer que le point R∈Cest singulier.
