2 Quelques exemples d’applications du th´ eor` eme de Bo- rel Cantelli

L3 MAPI3 2014–2015

TD 1. Convergences stochastiques

1 Bernoulli Poisson

On consid` ere une suite de variables al´ eatoires (X <sub>n</sub> ) telle que X <sub>n</sub> suit la loi binomiale de param` etres n ∈ N et θ n ∈]0, 1[. On suppose que la suite (nθ n ) converge, quand n tend vers ∞, vers λ > 0. Montrer que la suite (X _n ) converge en loi vers la loi de Poisson de param` etre λ.

2 Quelques exemples d’applications du th´ eor` eme de Bo- rel Cantelli

Soit (A _n ) une suite d’´ ev` enements. On d´ efinit :

lim n→∞ A _n = {ω : ω ∈ une infinit´ e de A _n } = (

ω :

∞

X

n=1

1 _A

(ω) = +∞

) .

Th´ eor` eme 1 (Borel-Cantelli) 1. Si P

n≥1 P (A _n ) < +∞ alors P lim n→∞ A _n

= 0.

2. Si les (A _n ) sont ind´ ependants et si P

n≥1 P (A _n ) = +∞ alors P lim n→∞ A _n

= 1.

1. Soit (X _n ) une suite de variables al´ eatoires telle que P

n≥1 P (X _n+1 6= X _n ) < +∞. Montrer que la suite (X _n ) converge presque sˆ urement vers une variable al´ eatoire X, c’est-` a-dire qu’il existe une variable al´ eatoire X telle que :

P n

ω : lim

n→∞ X _n (ω) = X(ω) o

= 1.

2. Soit (X _n ) une suite de variables al´ eatoires ind´ ependantes d´ efinie par : P (X _n = 1) = 1 − P (X _n = 0) = 1

n ^α (n ≥ 1, α > 0).

Montrer que (X n ) converge en probabilit´ e vers 0 mais ne converge pas toujours presque sˆ urement.

3 Convergence en probabilit´ e

1. Soit (X _n ) une suite de variables born´ ees, |X _n | ≤ C. Montrer que X _n tend vers 0 en probabilit´ e si, et seulement si lim n→∞ E(|X n |) = 0.

2. Soit (X _n ) une suite de variables telle que X _n tend vers C en probabilit´ e. Soit f une application r´ eelle mesurable born´ ee et continue au point C. Montrer que

n→∞ lim E(f (X _n )) = f(C).

4 In´ egalit´ e exponentielle

Soit X ₁ , . . . , X _n une suite de variables ind´ ependantes et de mˆ eme loi d´ efinie par : P (X _j = 1) = P (X _j = −1) = 1

2 . On pose : S _n = P n

i=1 X _i . 1. Montrer que

P (S _n ≥ a) ≤ exp −axE (exp xS _n ), ∀a, x ≥ 0.

2. D´ emontrer l’in´ egalit´ e chx ≤ exp ^x ₂

et d´ eduire de la question pr´ ec´ edente que :

P (S _n ≥ a) ≤ exp −a ² 2n . 3. En d´ eduire que presque sˆ urement lim _n→∞ (2n log n) ⁻

S _n ≤ 1.

5 Autoregressif

Soit (G _k ) k∈Z une suite de variables ind´ ependantes, de mˆ eme loi gaussienne N (0, 1). Soit (c _i ) une suite de r´ eels tels que

∞

X

i=1

c ² _i = 1.

On pose

X _m,n =

n

X

i=0

c _i G m−i , n ≥ 0, m ∈ Z.

1. Montrer que, lorsque n → ∞, X _m,n converge vers une variable X _m , dans L ² . 2. Montrer que X _m , est de loi gaussienne et calculer son esp´ erance et sa variance.

3. Montrer que le coefficient de corr´ elation entre X _n et X _n

ne d´ epend que de |n − n ⁰ |.

6 Fonctions caract´ eristiques

1. Calculer la fonction caract´ eristique de la loi de Cauchy de densit´ e f(x) = 1

π(1 + x ² ) .

2. Soit (X _n ) une suite de variables i.i.d. de densit´ e f , calculer la fonction caract´ eristique

de S _n = ^X

^+...+X _n

et sa limite quand n tend vers l’infini. Conclusion.