2 Th´ eor` eme de Cauchy (sur un convexe)

Memento sur les fonctions holomorphes

Il s’agit simplement ici d’´enoncer les r´esultats que l’on utilisera par la suite. Les preuves, tr`es classiques, se trouvent dans tout manuel d’analyse complexe `a une variable (par exemple : Rudin, Analyse r´eelle et complexe; Cartan, Th´eorie ´el´ementaire des fonctions analytiques; Amar, Matheron, Analyse complexe).

1 Fonctions C -d´ erivables, fonctions analytiques

1.1 Fonctions C-d´erivables

D ´EFINITION

Soit z0 ∈ C et U un ouvert au voisinage de z0. On dit qu’une fonction f :U → C est R-diff´erentiable(resp. C-d´erivable) au pointz0 si :

f(z0+w) =f(z0) +l(w) +|w|ε(w), o`uε(w)−−−→

w→0 0 etlestR-lin´eaire (resp.C-lin´eaire). L’applicationlest ladiff´erentielle de f en z0, not´eedfz0 (resp. lad´eriv´ee complexe de f en z0, not´eef⁰(z0)).

REMARQUE 1 LaC-d´erivabilit´e implique la R-diff´erentiabilit´e, qui implique la continuit´e.

Les deux r´eciproques sont fausses (pour la premi`ere, voir z7→z).¯ Sif estR-diff´erentiable en z0 :

dfz0(w) = ∂f

∂x(z0)×Rew+∂f

∂y(z0)×Imw

= 1

2 ∂f

∂x(z0)−i∂f

∂y(z0)

| {z }

=:^∂f_∂z(z0)

×w+1 2

∂f

∂x(z0) +i∂f

∂y(z0)

| {z }

=:^∂f_∂¯z(z0)

×w.¯

Ainsi,f estC-d´erivable enz₀ si et seulement s’il n’y a pas de terme anti-lin´eaire dansdf_z0, c’est-`a-dire si ^∂f_∂¯z(z0) = 0. Dans ce cas :

df_z0(w) =f⁰(z₀)×w Jac_Rf(z₀) := det(df_z0) =|f⁰(z₀)|²

En posant z₀ =x₀+iy₀ et u= Re_,f,v = Imf, on obtient les conditions de Cauchy- Riemann :

f estC-d´erivable enz₀ si et seulement siu etvsontR-diff´erentiables en (x₀, y₀) et ( _∂u

∂x(x₀, y₀) = ^∂v_∂y(x₀, y₀)

∂u

∂y(x0, y0) =−^∂v_∂x(x0, y0) .

D ´EFINITION

Soit U ⊂ C un ouvert. Une fonction f : U → C est dite holomorphe lorsqu’elle est C-d´erivable en tout point deU.

1.2 Fonctions analytiques

D ´EFINITION

Soit U ⊂Cun ouvert et f :U →C. On dit quef estanalytique si elle est localement d´eveloppable en s´erie enti`ere, i.e.: pour tout a∈U, il existe un voisinageUa de a dans U tel quef<sub>|Ua</sub> soit la somme d’une s´erie enti`ere autour dea.

En particulier, analytique implique holomorphe. De plus, toute somme de s´erie enti`ere sur un disque ∆(a, R) est analytique sur ce disque (faire un changement d’origine).

Les z´eros d’une fonction analytique non nulle sur un ouvert connexe sont isol´es (principe des z´eros isol´es).

REMARQUE 2 La connexit´e permet d’obtenir une propri´et´e globale.

2 Th´ eor` eme de Cauchy (sur un convexe)

2.1 Int´egrale curviligne

D ´EFINITION

Un chemin est une application γ continue, de classe C¹ par morceaux, d’un intervalle ferm´e [a;b]⊂R dansC. On dit queγ est unchemin ferm´esi γ(a) =γ(b).

Sif :γ([a;b])→C est continue, on note : Z

γ

f(z)dz:=

Z b a

f(γ(t))γ⁰(t)dt

l’int´egrale de f le long de γ (elle est ind´ependante du param´etrage choisi).

Attention n´eanmoins `a l’orientation : si le chemin est parcouru en sens inverse, c’est-

`

a-dire si l’on consid`ereγ−(t) =γ(a+b−t), alors Z

γ−

f(z)dz=− Z

γ

f(z)dz.

D ´EFINITION

Soit γ un chemin ferm´e, Ω =C\Imγ etz∈Ω. L’indice de z par rapport `a γ est Ind_γ(z) := 1

2πi Z

γ

dw w−z.

L’indice dezpar rapport `a γ correspond en fait au “nombre de tours” faits autour du point z lorsque l’on parcourtγ.

PROPOSITION 1 La fonctionInd_γprend des valeurs enti`eres. Elle est constante sur chaque composante connexe de Ω, et vaut 0 sur la composante infinie de Ω.

Remarquons que puisque Imγ est compact, il est inclus dans un disque D, et puisque C\D est connexe,C\D est inclus dans une composante connexe de C\Imγ : on peut donc bien parler de lacomposante infinie de Ω.

2.2 Th´eor`eme de Cauchy

(sur un convexe, mais il existe des versions plus g´en´erales sur un ouvert ´etoil´e, un ouvert simplement connexe...)

TH ´EOR `EME 1 SoitΩ un ouvert convexe deC,p∈Ωet f continue surΩ, holomorphe sur Ω\ {p}. Alors il existe F ∈ Hol(Ω) telle que f =F⁰. Par cons´equent, pour tout chemin ferm´e γ dansΩ :

Z

γ

f(z) dz= 0.

REMARQUE 3 Mˆeme si par la suite on montrera que, sous ces hypoth`eses,f est n´ecessaire- ment holomorphe surΩentier, on a pour l’instant besoin de pouvoir supposer uniquement la continuit´e enp de fa¸con `a montrer la formule de Cauchy (en appliquant le th´eor`eme de Cauchy `a une fonction de la forme ^f(z)−f(w)_z−w ).

Soit Ω un ouvert convexe deC,γ un chemin ferm´e dans Ω etf ∈Hol(Ω) :

∀z∈Ω\Imγ, f(z)×Indγ(z) = 1 2πi

Z

γ

f(w) w−zdw (formule de Cauchypour un convexe).

A l’aide du d´eveloppement en s´erie enti`ere de 1/(w−z), on obtient le corollaire suivant :

Soit Ω⊂Cun ouvert.

• f ∈Hol(Ω)⇐⇒ f est d´eveloppable en s´erie enti`ere sur tout disque inclus dans Ω⇐⇒ f est analytique sur Ω (sens de d´emonstration : i)⇒ii)⇒iii)⇒i)).

• Sif est holomorphe, elle est de classeC^∞ et ses d´eriv´ees sont holomorphes.

• Sur ∆(a, R) ⊂ Ω, les coefficients du d´eveloppement en s´erie enti`ere de f sont donn´es par

∀0< r < R, a_n= 1 2πi

Z

∂∆(a,r)

f(w)

(w−a)ⁿ⁺¹dw.

On en d´eduit, pour tout 0< r < R :







|a_n| ≤ _r¹nMax

θ

f(a+re^iθ) ;

rⁿan est le ni`eme coefficient de Fourier de θ7→f(a+re^iθ);

P+∞

n=0|a_n|²r²ⁿ= _2π¹ R_2π

0

f(a+re^iθ)

2dθ.

En particulier, les fonctions holomorphes (sur un ouvert connexe) v´erifient le principe des z´eros isol´es : si Ω est connexe, Hol(Ω) est un anneau int`egre.

2.3 Applications

Sif =P

n≥0a_n(z−a)ⁿ est holomorphe dans ∆(a, R) :

∀0≤r < R, f(a) =a₀ = 1 2π

Z 2π 0

f(a+re^iθ) dθ (propri´et´e de la moyenne).

Soit Ω un ouvert connexe, ∆(a, R)⊂Ω etf ∈Hol(Ω). Alors

|f(a)| ≤Max

θ

f(a+re^iθ) ,

avec ´egalit´e si et seulement sif est constante sur Ω (principe du maximum).

Th´eor`eme de Liouville : si f est enti`ere (c’est-`a-dire holomorphe sur C) et born´ee, elle est constante.

Th´eor`eme de Weierstrass :soit Ω⊂Cun ouvert. On suppose que (f_n)_nest une suite de fonctions holomorphes sur Ω, qui converge uniform´ement sur tout compact de Ω vers f. Alors f ∈Hol(Ω) et pour tout j ∈ N, (fn^(j))_n converge uniform´ement sur tout compact de Ω versf^(j).

REMARQUE 4 C’est ´evidemment faux si les fonctions ne sont pas holomorphes ! C’est

´

egalement faux si les fonctions sont des s´eries enti`eres d’une variable r´eelle et non pas complexe : en effet, d’apr`es le th´eor`eme de Stone-Weierstrass, toute fonction continue d’une variable r´eelle sur un compact est limite uniforme de polynˆomes.

A partir du principe du maximum, on obtient lelemme de Schwarz :

Soitf holomorphe sur le disque unit´e ∆⊂C, telle que f(0) = 0

∀z∈∆, |f(z)| ≤1 .

Alors pour tout z∈∆, |f(z)| ≤ |z|, et |f⁰(0)| ≤1. De plus, s’il existe z0 ∈∆\ {0}

tel que|f(z₀)|=|z₀|, ou si|f⁰(0)|= 1, alors il existe λ∈C de module 1 tel que

∀z∈∆, f(z) =λz.

Autrement dit, f est une rotation.

Preuve

Puisque f(0) = 0 et quef est d´eveloppable en s´erie enti`ere, la fonctiong:z7→f(z)/z est aussi holomorphe sur ∆.

Soit 0 < r <1 : le principe du maximum appliqu´e `a g sur ∆(0, r) montre que si |z| ≤ r, alors|f(z)| ≤ |z|/r. On en d´eduit, avecz→0, que|f<sup>0</sup>(0)| ≤1/r. Il ne reste plus qu’`a faire tendrer vers 1 pour obtenir les deux in´egalit´es voulues.

De plus, si |f⁰(0)| = 1, on a |g(0)| = 1 et la fonction g atteint son maximum en 0. De mˆeme, s’il existez₀ ∈∆\ {0} tel que |f(z₀)|=|z₀|, cela signifie que la fonctiong atteint son maximum enz0. Dans les deux cas,gest constante d’apr`es le principe du maximum.

Holomorphie et int´egration

PROPOSITION 2 Soit Ω un ouvert de C et f : [a;b]×Ω → C continue avec f(t,·) holo- morphe. Alors

F :z7→

Z b a

f(t, z) dt est holomorphe sur Ω, et pour tout k∈N, F^(k)(z) =

Z b a

∂^kf

∂z^k(t, z) dt.

Th´eor`eme de Leibniz :soit Ω un ouvert deC,Iun intervalle deRetf :I×Ω→C telle que

• pour toutz∈Ω, f(·, z) est mesurable ;

• pour toutt∈I,f(t,·) est holomorphe ;

• toutz0∈Ω admet un voisinageV tel qu’il existe g∈L¹(I) v´erifiant

∀t∈I, ∀z∈V, |f(t, z)| ≤g(t).

Alorsf(·, z)∈L¹(I) pour tout z∈Ω et z7→

Z

I

f(t, z) dz

est holomorphe sur Ω. Ses d´eriv´ees s’obtiennent en d´erivant sous l’int´egrale.

REMARQUE 5 On ne fait aucune hypoth`ese (autre que l’existence) sur f<sup>0</sup>. La majoration n´ecessaire dans le th´eor`eme habituel de d´erivation sous l’int´egrale d´ecoule ici automati- quement de la majoration def par les formules de Cauchy : en effet, si φest holomorphe,

φ⁰(z) = 1 2πi

Z

∂D(z,ε)

φ(w) (w−z)² dw.

3 Singularit´ es

3.1 Classification

Th´eor`eme de Casorati-Weierstrass : soit Ω un ouvert de C,α ∈Ω et f holo- morphe sur Ω\ {α}. Il n’y a que trois cas possibles :

• la singularit´e de f en α estfausse, c’est-`a-dire quef peut ˆetre prolong´ee en une fonction holomorphe sur Ω (cela ´equivaut `a (z−α)f(z)−−−→

z→α 0) ;

• il existe m∈N^∗ et a−1, . . . , a−m ∈C,a−m 6= 0, tels que la singularit´e de z7→f(z)− a−1

(z−α) −. . .− a−m

(z−α)^m soit fausse (on dit que α est unpˆole d’ordre m) ;

• la singularit´e de f en α est essentielle, c’est-`a-dire que pour tout ρ tel que

∆(α, ρ)⊂Ω,f(∆(α, ρ)\ {α}) est dense dansC.

REMARQUE 6 La fonctionf poss`ede un pˆole enα si et seulement si |f(z)| −−−→

z→α +∞.

Par exemple, la fonction z7→exp(1/z) v´erifie le troisi`eme cas.

3.2 Fonctions m´eromorphes

D ´EFINITION

Soit Ω ⊂C un ouvert. Une fonction h est m´eromorphe sur Ω s’il existe un ensemble S de points isol´es dans Ω tel queh∈Hol(Ω\S) et tel que les ´el´ements deS soient des pˆoles de h au sens suivant : toutα∈S poss`ede un voisinageU ouvert et connexe dans Ω tel que

∃f, g∈Hol(U)/∀z∈U\ {α}, h(z) = f(z) g(z).

REMARQUE 7 On peut montrer (Rudin p.353) que toute fonction m´eromorphe sur Ω est en fait globalementle quotient de deux fonctions holomorphes sur Ω.

REMARQUE 8 Les fonctions m´eromorphes sur un ouvert connexe Ω forment un corps.

Reprenons les notations de la d´efinition. Au voisinage de α∈S : f(z)

g(z) = (z−α)^k−k0h₁(z),

o`u h₁ est analytique au voisinage de α et h₁(α) 6= 0. Il y a deux possibilit´es : sik ≥k⁰, alors hse prolonge holomorphiquement en α (singularit´e ´eliminable). Sik < k⁰, alors

f(z) g(z) =

m

X

j=1

a−j

(z−α)^j +h2(z)

o`u h₂ est analytique au voisinage de α. Dans ce cas, on dit que a−1 =: Res_α(h) est le r´esidu de hen α.

Th´eor`eme des r´esidus (sur un convexe) : soit Ω ⊂ C un ouvert convexe, f m´eromorphe sur Ω etYf l’ensemble des pˆoles def dansΩ. Pour tout chemin ferm´e γ dans Ω tel que Imγ∩Y_f =∅,

1 2πi

Z

γ

f(z) dz= X

α∈Y_f

Res_α(f)×Ind_γ(α).

REMARQUE 9 La somme ci-dessus peut ˆetre infinie, mais {α ∈ Y_f/ Ind_γ(α) 6= 0} est toujours fini.

Donnons deux applications de ce th´eor`eme.

D´enombrement des z´eros et des pˆoles

Soit Ω⊂Cun ouvert et ∆(z₀, r)⊂Ω. Soitf m´eromorphe sur Ω, n’ayant ni z´ero ni pˆole sur∂∆(z₀, r). En notant Z (resp. P) le nombre de z´eros (resp. de pˆoles) def dans ∆(z0, r), on a :

1 2πi

Z

∂∆(z0,r)

f⁰(z)

f(z) dz=Z−P (les z´eros et les pˆoles sont compt´es avec multiplicit´es).

Remarquons que le membre de gauche vaut 1 2πi

Z

f(∂∆(z0,r))

dw

w = Ind_{f(∂∆(z0,r))}(0) qui est le nombre de tours que fait le chemin f(∂∆(z₀, r)) autour de 0.

Preuve

Le th´eor`eme des r´esidus appliqu´e `a la fonctionf⁰/f montre que 1

2πi Z

∂∆(z0,r)

f⁰(z)

f(z) dz= X

zi∈Y_f0/f

Res_zi f⁰

f

×1.

Siz_i est un z´ero de multiplicit´emdef, alorsf(z) = (z−z_i)^m×g(z) o`ugest m´eromorphe sans pˆole enzi etg(zi)6= 0, et

f⁰(z)

f(z) = m z−zi

+g⁰(z) g(z), o`ug⁰/g est holomorphe au voisinage dez_i. Ainsi Res_zi

f⁰ f

=m.

Siziest un pˆole de multiplicit´emdef, alorsf(z) = _(z−z¹

i)^m×g(z) o`ugest m´eromorphe sans pˆole enz_i etg(z_i)6= 0, et

f⁰(z)

f(z) = −m

z−z_i +g⁰(z) g(z), o`ug⁰/g est holomorphe au voisinage dez_i. Ainsi Res_zi

f⁰ f

=−m.

Th´eor`eme de l’image ouverte

Soit Ω⊂C un ouvert connexe, etf ∈Hol(Ω) non constante. Alors f est ouverte, c’est-`a-dire que l’image parf d’un ouvert est un ouvert.

Preuve

SoitU ⊂Ω un ouvert non vide, etw₀∈f(U) : il existez₀∈U tel quew₀ =f(z₀). On veut

montrer qu’il existe un voisinage V de w₀ tel que tout w∈V soit dansf(U), c’est-`a-dire que pour tout w∈U, la fonction

z7→f(z)−w admette un z´ero dans U. Or

1 2πi

Z

∂∆(z0,r)

f⁰(z)

f(z)−f(z₀)dz= 1 2πi

Z

f(∂∆(z0,r))

dz

z−f(z₀) = Ind_{f(∂∆(z0,r))}(f(z0)).

Puisque le premier membre est sup´erieur ou ´egal `a 1 (car z7→ f(z)−w₀ a un z´ero dans U), et que la fonction Ind_{f(∂∆(z0,r))} est localement constante, on en d´eduit

1≤Ind_{f(∂∆(z0,r))}(w) = 1 2πi

Z

∂∆(z0,r)

f⁰(z) f(z)−wdz

pour w assez proche dew₀, d’o`u la conclusion.

3.3 Un ´enonc´e plus complet du th´eor`eme de Cauchy

Soit Ω⊂C un ouvert, K ⊂Ω un compact `a bord r´egulier orient´e. Toute fonction f ∈ Hol(Ω) v´erifie

Z

∂K

f(z) dz = 0. Par ailleurs, si f est m´eromorphe sur Ω, et si

∂K ne contient aucun de ses pˆoles, alorsf n’a qu’un nombre fini de pˆoles dans K

et 1

2πi Z

∂K

f(z) dz= X

zi∈K pˆole de f

Res_zi(f).

Attention : il faut queK soitinclus dans Ω, et pas seulement ∂K!

4 Suites de fonctions holomorphes

On munit Hol(Ω) de latopologie de la convergence uniforme sur tout compact: O ⊂Hol(Ω) est ouvert si et seulement si pour toutf ∈ O, il existeδ >0 etK ⊂Ω compact tels que

{g∈Hol(Ω)/∀z∈K, |g(z)−f(z)|< δ} ⊂ O.

Autrement dit, on a une base de voisinages index´ee par (δ, K) : la famille des O_δ,K :={g/||g_|K−f_|K||_∞< δ}.

On a d´ej`a vu (th´eor`eme de Weirstrass) que Hol(Ω) est ferm´e pour cette topologie.

Th´eor`eme de Montel :soitF ⊂Hol(Ω). AlorsF est (s´equentiellement) compact si et seulement siF est uniform´ement born´ee sur tout compact de Ω.

Rappelons que “F s´equentiellement compact” signifie que toute suite d’´el´ements de F admet une sous-suite convergente, et que “F uniform´ement born´ee sur tout compact de Ω” signifie que pour tout compactK ⊂Ω, il existeM >0 tel que pour tout f ∈ F,||f_|K||_∞≤M.

Th´eor`eme d’Hurwitz : soit Ω ⊂ C un ouvert connexe, et (fn)n une suite de fonctions holomorphes injectives qui converge dans Hol(Ω) versf. Alors ou bien f est injective, ou bienf est constante.

5 Transformations conformes

5.1 D´efinition

D ´EFINITION

Soit U un ouvert de C et f : U → C une application diff´erentiable. On dit que f est conformesi ellepr´eserve infinit´esimalement les angles orient´es, c’est-`a-dire si pour tout z0 ∈U, l’application lin´eaire du plandfz0 pr´eserve les angles orient´es.

Les seules applications lin´eaires du plan qui pr´eservent les angles orient´es sont les similitudes directes, autrement dit les applications de la forme w 7→ λw avec λ ∈ C^∗. Ainsi, les applications conformes sur U sont exactement les applications holomorphes sur U dont la d´eriv´ee ne s’annule pas.

Lorsque f⁰(z₀) 6= 0, on peut appliquer le th´eor`eme d’inversion locale, qui donne un voisinage V de z0 et un voisinage W de ω0 = f(z0) tels que f|V : V → W soit un diff´eomorphisme, et on montre facilement que la r´eciproque locale g:W →V v´erifie

g(ω)−g(ω₀) ω−ω0

−−−−→

ω→ω0

1 f⁰(z0). En particulier :

Sif :U →V est une application bijective holomorphe sur un ouvert deC, alors sa r´eciproque est holomorphe. Autrement dit :

bijective + holomorphe = biholomorphe.

5.2 Exemples

Dans le cadre de l’analyse complexe, un automorphisme est une auto-application bijective holomorphe.

Aut(∆) := {f : ∆→∆ bijective holomorphe}

=

z7→e^iθ z−a

1−¯az / θ∈R, a∈∆

On constate que les automorphismes du disque sont d’une forme particuli`ere : z7→ az+b

cz+d,

c’est-`a-dire que ce sont des homographies. Les automorphismes du disque envoient le disque sur lui-mˆeme, et le cercle unit´e sur lui-mˆeme. Plus g´en´eralement :

Les homographies pr´eservent les cercles-droites, c’est-`a-dire transforment bijective- ment tout cercle (resp. toute droite) en un cercle ou une droite.

Par un argument de connexit´e, on en d´eduit qu’une homographie transforme bijectivement tout disque (resp. tout demi-plan) ou bien en un disque, ou bien en le compl´ementaire d’un disque, ou bien en un demi-plan.

5.3 Th´eor`eme de repr´esentation conforme de Riemann

D ´EFINITION

Un domaine est un ouvert de Cconnexe non vide.

Th´eor`eme de repr´esentation conforme

Tout domaine simplement connexe distinct deC est biholomorphe au disque unit´e ouvert ∆.

REMARQUE 10 C n’est pas biholomorphe `a ∆ puisque toute fonction enti`ere born´ee est constante.

L’id´ee de la preuve est la suivante. Soit D le domaine, a ∈ D fix´e, et supposons que φ : D → ∆ soit un biholomorphisme v´erifiant φ(a) = 0. Alors pour toute fonction f :D→∆ v´erifiant f(a) = 0, la fonctionf◦φ⁻¹ est holomorphe de ∆ dans lui-mˆeme, et le lemme de Schwarz montre que |(f◦φ⁻¹)⁰(0)| ≤1, c’est-`a-dire

|f⁰(a)| ≤ |φ⁰(a)|.

Le biholomorphisme cherch´e doit donc maximiser les valeurs des d´eriv´ees enades ´el´ements de F_a := {f ∈ Hol(D,∆)/ f injective et f(a) = 0}. La preuve consiste donc `a montrer que Sup{|f⁰(a)|/ f ∈ F_a} est atteint.

On obtient quepour touta∈D, il existe un unique biholomorphismeφ:D→∆tel que φ(a) = 0etφ⁰(a)∈R^+∗. L’existence vient du fait qu’on peut multiplier le biholomorphisme φ trouv´e pr´ec´edemment par un complexe de module 1 de fa¸con `a obtenirφ⁰(a)>0. Pour l’unicit´e, supposons queφ₁etφ₂ conviennent : alorsF :=φ₁◦φ⁻¹₂ est un biholomorphisme de ∆ dans lui-mˆeme fixant 0, et

F⁰(0) =φ⁰₁(a)/φ⁰₂(a) = 1.

D’apr`es le lemme de Schwarz, F est de la forme λId<sub>∆</sub>, o`u |λ| = 1, donc φ₁ = λφ₂, et n´ecessairement λ= 1.