Université Pierre et Marie Curie – Paris 6 Examen – 2 heures
LM216 première période Session de rattrapage – Juin 2013
Avertissements importants :
– Les appareils électroniques (téléphones compris) et les documents sont interdits.
– Les trois exercices sont indépendants, le barème (sur 25) est indicatif.
– Les réponses doivent être justifiées et rédigées de manière rigoureuse.
– Si un résultat du cours est utilisé, il doit être clairement énoncé.
Exercice I. (14 points)On considère la fonction f :R2 →R,(x, y)7→xyln(xy).
1. Déterminer le domaine de définitionDdef, puisD˚ etD¯. L’ensemble D˚ est-il connexe ? 2. La fonctionf est-elle C∞sur D?
3. (Question de cours) Soitg ∈C1(U), où U est un ouvert de Rn. Montrer que, si g admet un minimum local ena∈U, alors aest un point critique de g.
4. (a) Déterminer une équation cartésienne de l’ensembleE des points critiques def surD.
(b) Calculer la hessienne de f en tout point de E, ainsi que son déterminant. Peut-on en tirer une conclusion sur la nature des points critiques de f?
(c) Donner un développement limité à l’ordre2 def au voisinage du point(1/e,1).
5. (a) Montrer que f est prolongeable en une fonction continue sur D¯, encore notée f dans la suite de l’exercice. En particulier, on donnera les valeurs prises parf surD¯\D.
(b) La fonctionf est-elle alors bornée sur D¯ ∩B0(0,2)?
6. (a) Soitx0 ∈R∗. Calculer, si elles existent, les dérivées partielles premières de f en (x0,0).
(b) La fonctionf est-elle différentiable en (x0,0)?
7. (a) Comparer f(x, y) etf(y, x) pour tout (x, y) ∈ D, et en déduire une propriété géométrique de la courbe Cd’équationf(x, y) = 1.
(b) (Question de cours) Énoncer le théorème des fonctions implicites dansR2.
(c) En lesquels de ses pointsCpeut-elle être vue comme la courbe représentative d’une fonction dex? Exercice II. (4 points)
1. (Question de cours) Rappeler, sans démonstration, la forme générale des solutions v ∈ C1(R2) de l’équation aux dérivées partielles∂xv= 0 surR2.
2. Soit u ∈ C2(R2) vérifiant ∂xx2 u = 0 sur R2. Quelle équation aux dérivées partielles la fonction ∂xu vérifie-t-elle ? Que peut-on en déduire pouru?
3. En déduire la forme générale des solutions u ∈ C2(R2) du système d’équations aux dérivées partielles ∂xx2 u = 0
∂2yyu = 0 surR2.
Exercice III. (7 points)Soit la fonctionh:R2 →R,(x, y)7→ xy2 x2+y2.
1. Tracer l’ensembleQ={(x, y)∈R2 |x≥0, y≥0, x2+y2≤4}en orientant sa frontièreΓdans le sens direct. Est-il compact ?
2. CalculerI = Z Z
Q
h(x, y)dxdy.
3. Donner un paramétrage simple deΓ.
4. (Question de cours) Rappeler avec précision l’énoncé de la formule de Green-Riemann.
5. Calculer les intégrales curvilignes suivantes en utilisant la méthode de votre choix : (a) J =
Z
Γ
h(x, y)dx; (b) K=
Z
Γ
h(x, y)ds.
