Universit´e des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Math´ematiques
Licence (S 6)
M 310 : CALCUL DIFF ´ERENTIEL juin 2010
Dur´ee 3 heures
Les documents et les calculatrices ne sont pas autoris´es. On aura soin d’´enoncer pr´ecis´ement les th´eor`emes utilis´es.
Le bar`eme est indicatif
Question de cours (2 points)
1. Enoncer le th´eor`eme des fonctions implicites.
2. Enoncer le lemme de Schwarz.
Exercice 1 (5 points)
On consid`ere la fonctionF:R3→R2d´efinie parF(x, y, z) = (u(x, y, z), v(x, y, z)) o`uu(x, y, z) =x+y+zetv(x, y, z) =x2+y2+z2−1 et une fonctiong:R3→R de classeC1. SoitM ={(x, y, z)∈R3;F(x, y, z) = (0,0)}.
1. Montrer que F est de classe C1, queF est une submersion au voisinage de tout point de M et que M est une sous-vari´et´e de R3. D´ecrire M g´eom´etriquement.
2. Montrer par un argument topologique que g admet un minimum global et un maximum global surM. Montrer qu’en un point (x, y, z)∈M o`u g admet un extremum,
det
∂u
∂x
∂u
∂y
∂u
∂z
∂v
∂x
∂v
∂y
∂v
∂z
∂g
∂x
∂g
∂y
∂g
∂z
= 0
3. On suppose ici queg(x, y, z) = 5x+y−3z. D´eterminer les valeurs de g aux points critiques et en d´eduire ses extrema globaux et les points deM o`u ils sont atteints.
4. Mˆeme question avecg(x, y, z) =xyz.
1
Exercice 2 (3 points)
Soitn≥1 un entier naturel. On noteMn(R) l’alg`ebre des matrices carr´ees
`
a n lignes et n colonnes. Pour A ∈ Mn(R), on cherche `a r´esoudre l’´equation matricielle
(?) X3+X2−X=A
o`uX ∈Mn(R). On se fixe une norme||.||sur l’espaceMn(R) qu’on suppose multiplicative, i.e. telle que∀X, Y ||XY||=||X||||Y||.
1. Soitf la fonctionMn(R)→Mn(R) d´efinie parf(M) =M3+M2−M. Montrer quef est de classeC1et calculer sa diff´erentielle enM0∈Mn(R).
2. Montrer que f est un C1-diff´eomorphisme d’un voisinage de la matrice unit´e In sur un voisinage de In. En d´eduire qu’il existe r > 0 et un voisinage ouvert V deIn dansMn(R) tels que l’´equation (?) admet une solution unique dansV pourA∈B(In, r) ={M ∈Mn(R);||M−In||< r}.
Exercice 3 (4 points)
Soitnet pdeux entiers,U un ouvert deRn et f etg deux applications de classe C2 de U dans Rp. On suppose qu’il existe une fonctionλ : U → R de classeC1, telle que pour touta∈U on aitDf(a) =λ(a)Dg(a).
1. Montrer que pour touti∈ {1, . . . , p}et j ∈ {1, ..., n}et pour touta∈U on a :
∂fi
∂xj
(a) =λ(a)∂gi
∂xj
(a).
2. En utilisant l’identit´e de Schwarz, montrer que pour touti ∈ {1, . . . , p}, tousj, k∈ {1, ..., n} et touta∈U on a
∂λ
∂xk
(a)∂gi
∂xj
(a) = ∂λ
∂xj
(a)∂gi
∂xk
(a).
3. En d´eduire que pour touti∈ {1, ..., p}les vecteurs (∂x∂λ
1(a), ....,∂x∂λ
n(a)) et (∂x∂gi
1(a), ...,∂x∂gi
n(a)) sont colin´eaires.
4. On suppose ici que U est un ouvert connexe, que p ≥ 2 et que pour tout a ∈U le rang deDg(a) est au moins ´egal `a 2. Montrer qu’alors la fonction λest constante. Montrer que, si de plus il existe b ∈U tel que f(b) =g(b) = 0,f =λg.
Exercice 4 (8 points)
1. SoitS={(x, y, z)∈R3/ ax2+by2+cz2−1 = 0}o`ua, b, c >0.
(a) Montrer queSest une sous-vari´et´e de dimension 2 deR3. Repr´esenter S dans le cas particuliera=b=c= 1.
2
(b) Montrer que S est compacte.
(c) Soit a= (x0, y0, z0) ∈ S : donner l’´equation du plan tangent affine a+TaS `a S au pointa.
(d) Soit P le plan d’´equationz= 0. D´eterminer deux points a1et a2de S o`u le plan tangent est parall`ele `a P.
2. On cherche `a g´en´eraliser ce r´esultat. Soit f : R3 → R une fonction de classeC1, et
Σ ={(x, y, z)∈R3/ f(x, y, z) = 0}.
On suppose Σ non vide et pour tout (x, y, z)∈Σ,Df(x, y, z)6= 0L(R3,R). (a) Montrer que Σ est une sous-vari´et´e de dimension 2 deR3.
(b) Soit a = (x0, y0, z0) ∈Σ : donner l’´equation du plan tangent affine a+TaΣ `a Σ au pointa.
On suppose d´esormais que Σ est compacte. On admettra que Σ ne peut alors pas ˆetre contenue dans un plan.
(c) Pour (x, y, z)∈R3, on poseφ(x, y, z) =z. Montrer queφest de classe C1 et d´eterminer sa diff´erentielle. V´erifier queφ n’est pas constante sur Σ.
(d) Montrer que φ|Σ est born´ee et atteint ses bornes. On note mle mi- nimum etM le maximum deφsur Σ : v´erifier quem6=M.
(e) Soit a∈Σ tel que φ(a) =m. Montrer que les applications lin´eaires Dφ(a) etDf(a) sont proportionnelles. Trouver un pointb∈Σ, dis- tinct dea, tel queDφ(b) etDf(b) soient proportionnelles.
(f) En d´eduire qu’il existe (au moins) deux points distincts de Σ o`u le plan tangent est parall`ele `aP.
3
![En rappelant les th´ eor` emes utilis´ es, justifier que la fonction tan r´ ealise une bijection de ] −](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)