2 – Th´eor`emes de Fubini

Int´egration et probabilit´es

ENS Paris, 2012-2013

TD  – Th´eor`emes de Fubini

1 – Petits calculs

0)Expliquer pourquoi il n’y a pas de faute d’orthographe dans le titre du TD.

1)Soitf la fonion d´efinie sur [,]^parf(x, y) = x^−y^

(x^+y^)^(x,y),(,) et six=y=.

Calculer alors Z _

 dx Z _

 dyf(x, y) et Z _

 dy Z_

 dxf(x, y). Diabolique, non ?

2)En consid´erant l’int´egrale Z

R^₊



(+y)(+x^y)dx dy, calculer Z ₊∞



ln(x) x^−dx.

3)En remarquant quex^−sin(x) =R_

cos(xy)dy, calculer pour toutt >l’int´egrale suivante Z ₊∞

 x^−sin(x)e^−txdx.

2 – Th´eor`emes de Fubini

E

^{xercice 1.} (Truc de ouf)Soitf :R→Rune fonion bor´elienne. Montrer que pourλpresque touty∈R, λ({x∈R;f(x) =y}) =.

E

^{xercice 2.} (Quelque chose d’utile)Sur un espace mesur´eσ-fini (E,A, µ), on consid`eref : (E,A, µ)→ (R₊,B(R₊)) une fonion mesurable

Pour des queions, demande de pr´ecisions ou explications, n’h´esitez pas `a m’envoyer un mail `a igor.kortchemski@ens.fr , ou bien `a venir me voir au bureau V.



. Soitg:R₊→R₊une fonion croissante de classeC^telle queg() =. Montrer que Z

E

g◦f dµ= Z₊∞

 g⁰(t)µ({f ≥t})dt.

Indication:On pourra ´ecrireg(f(t)) comme une int´egrale.

. Montrer que Z

E

f dµ= Z∞

 µ({f ≥t})dt.

. On suppose queµefinie et qu’il exiep≥etc >tels que pour toutt >,µ({|f|> t})≤ct^−p. Montrer quef ∈L^q(E,A, µ) pour toutq∈[, p[. A-t-on forc´ementf ∈L^p(E,A, µ)?

E

^{xercice 3.} (In´egalit´e de Hardy)Soient (X,X, µ) et (Y ,Y, ν) deux espaces mesur´esσ-finis. On consid`ere ϕ: (X×Y ,X ⊗ Y)→(R,B(R)) une fonion mesurable et int´egrable par rapport `a la mesure produitµ⊗ν, etFla fonion d´efinie pourµ-p.t.x∈XparF(x) =

Z

Y

ϕ(x, y)ν(dy).

. Montrer queFv´erifie l’in´egalit´ekFk_Lp(µ)≤ Z

Y

kϕ(., y)k_Lp(µ)ν(dy).

. En d´eduire que pour toute fonionf ∈L^p(R^∗₊,B(R^∗₊)) avecp∈],∞[, la fonionF d´efinie surR^∗₊ parF(x) =

x Z _x

 f(t)dtv´erifie l’in´egalit´e suivante (appel´ee in´egalit´e de Hardy):kFk_p≤ p p−kfk_p.

3 – Convolution, transform´ee de Fourier

E

^{xercice 4.} (Transform´ee de Fourier)Sif ∈L^(R) on note sa transform´ee de Fourier ˆf(t) = Z

R

f(x)e^−ixtdx.

. Montrer que ˆf ∈ C_(R).

. Soientf , g∈L^(R). Montrer quefd∗g= ˆf .g.ˆ

. En d´eduire queL^(R) n’a pas d’´el´ement neutre pour la convolution.

E

^{xercice 5.} (Super H¨older)

. Soientp, q, r ∈[,∞] tels que ^_p+ ^_q =+^_r. Soientf ∈L^p(R) et g ∈L^q(R). Montrer quef ∗g e d´efinie presque partout et quekf ∗gk_r≤ kfk_pkgk_q.

Indication :

|f(x−y)g(y)|= (|f(x−y)|^p|g(y)|^q)^r (|f(x−y)^p|)^p−r (|g(y)|^q)^q−r

. Soitf ∈L^etg∈L^p,p≥. Montrer que pour tout|a|<kfk⁻_^l’´equationh−af ∗h=gposs`ede une unique solution dansL^p.



 – ` A pr´eparer pour la prochaine fois

E

^{xercice 6.} (Spoiler: convolution inside)SoitK un compadeR^d etΩun ouvert deR^d avecK ⊂Ω.

Montrer qu’il exief une fonionC^∞ `a valeurs dans [,] telle que f =surK, f =surΩ^c.

 – Compl´ements (hors TD)

E

^{xercice 7.} On d´efinit une fonionµ:P(R)→[,+∞] par

• µ(A) =siAeune partie finie ou d´enombrable,

• µ(A) = +∞sinon.

SoitK l’espace triadique de Cantor d´efini parK =









 X

n≥

a_n

ⁿ : (a_n)_n≥∈ {,}^N











. On rappelle queK eun compade [,], infini non-d´enombrable et de mesure de Lebesgue nulle. On poseC={(x, y)∈R×R: x−y∈K}.

. V´erifier queµeune mesure sur (R,P(R)).

. Montrer queC∈ B(R)⊗ P(R).

. Calculer les int´egrales Z

R

Z

R

1C(x, y)µ(dy)

! dxet

Z

R

Z

R

1C(x, y)dx

!

µ(dy). Conclure.

E

^{xercice 8. SoitA}une tribu surRet soitµune mesure de probabilit´e sur (R,A). Soientf etgdeux fonc- tions (R,A)→(R,B(R)) mesurables et monotones de mˆeme sens. On suppose de plus que les fonions f,getf gsont dansL^(R,A, µ). Montrer que

Z

R

f g dµ≥ Z

R

f dµ Z

R

g dµ.

Indication : on pourra consid´erer la fonionF(x, y) = (f(x)−f(y))(g(x)−g(y)).

E

^{xercice 9. Soientµetν}deux mesuresσ-finies sur la tribu bor´elienne deR.

. Montrer que l’ensembleD_µ={x∈R:µ({x})>}efini ou d´enombrable.

. Soit∆={(x, x) :x∈R}la diagonale deR^. Montrer queµ⊗ν(∆) =X

x∈R

µ({x})ν({x}).



Pour l’exercice suivant on rappelle les deux th´eor`emes classiques :

• Th ´eor `eme d’Ascoli : SoitXetY deux espaces m´etriques compas, etAune partie de l’ensemble C(X, Y) des fonions continues deX−→Y muni de la convergence uniforme. AlorsAerelative- ment compae dansC(X, Y) (i.e.sa fermeture ecompae) si elle e´equi-continuei.e.

∀ε >,∃δ >,(d_X(x, x⁰)≤δ⇒ ∀f ∈A,d_Y(f(x), f(x⁰))≤ε).

• Pr ´e-compacit ´e : Soit (E, d) un espace m´etrique complet. Les partiesA⊂Erelativement compaes sont exaement les parties pr´e-compaesi.e.

∀ε >,∃n_ε∈N,∃un recouvrement deAparn_εparties de diam`etre ≤ε.

Pourh >et une applicationf :R→R, on rappelle queτ_hf d´esigne l’applicationτ_hf(x) =f(x−h), x∈R.

E

xercice 10. (Riesz-Fr´echet-Kolmogorov : un crit`ere de compacit´e dans L^p.) On veut montrer le r´esultat suivant. SoitΩun ouvert born´e deRet soitF un sous-ensemble born´e deL^p(Ω) (avec≤p <∞) v´erifiant :

(i) pour toutε >, il exieω⊂⊂Ωtel que sup_f∈F kfk_Lp(Ω\ω)≤ε,

(ii) pour toutε >et pour toutω⊂⊂Ω, il exieδ∈],di(ω,Ω^c)[ tel quekτ_hf −fk_Lp(ω)< εpour tous

|h|< δetf ∈ F;

alorsF erelativement compadansL^p(Ω) (c’e-`a-dire d’adh´erence compae dansL^p(Ω)). La nota- tionω⊂⊂Ωsignifie queωeun ouvert tel queωecompaet inclus dansΩ.

. Fixonsε >etω⊂⊂Ω. Soit (ρ_n)_n≥une approximation de l’unit´e telle que chaqueρ_nede classe C^∞ et de support inclus dans [−/n,/n]. Pourf ∈ F, on note ˜f la fonionf prolong´ee `a toutR par.

(a) Montrer en utilisant le th´eor`eme d’Ascoli que pour toutn≥, la familleF_n={( ˜f∗ρ_n)|ω:f ∈ F } erelativement compae dansL^p(ω).

(b) Montrer que pour toutnassez grand, sup

f∈F

kf˜∗ρ_n−fk

L^p(ω)≤ε.

(c) En d´eduire que l’ensembleF_|

ωpeut ˆetre recouvert par un nombre fini de boules deL^p(ω) de rayonε.

. Conclure.

Fin

