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II Th´ eor` emes

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

MPSIA Fonctions d’une variable r´eelle `a valeurs r´eelles lyc´ee Chaptal

I D´ efinitions

Dans tout ce chapitre, I est un intervalle deRcontenant au moins deux points.

Rappel : si f, g∈ F(I,R) etλ, µ∈R, nous d´efinissonsλ.f+µ.g et f×gdansF(I,R) par :

∀x∈I, (λ.f+µ.g)(x) =λf(x) +µg(x) et (f×g)(x) =f(x)g(x).

On dit alors que (F(I,R),+,·) est unR-espace vectoriel.

D´efinition I.1 ( Relation d’ordre sur F(I,R)) Sif, g∈ F(I,R), d´efinissons f 6g si ∀x∈I, f(x)6g(x).

D´efinition I.2 Soientf, g∈ F(I,R). D´efinissons les applications de F(I,R) suivantes : (a) |f|:x7→ |f|(x) =|f(x)|;

(b) f+= |f|+f2 ;f=|f|−f2 ; (c) sup(f, g) :x7→max(f(x), g(x)) ;

inf(f, g) :x7→min(f(x), g(x)).

Quelques propri´et´es de ces applications :

– f+= sup(f,0F(I,R)) ;f=−inf(f,0F(I,R)) ; – f =f+−f et|f|=f++f;

– |f|= sup(f+, f).

D´efinition I.3 Soitf ∈ F(I,R). Nous dirons quef est :

(a) major´ee si∃M ∈Rtel que∀x∈I,f(x)6M; (b) minor´ee si∃m∈Rtel que ∀x∈I,f(x)>m;

(c) born´ee si elle est major´ee et minor´ee. (i.e∃M0∈R+ tel que∀x∈I,|f(x)|6M0).

Remarque: si f ∈ F(I,R) est major´ee, alors{f(x)|x∈I} ⊂Radmet une borne sup´erieure.

Et sif est minor´ee, alors{f(x)|x∈I} ⊂Radmet une borne inf´erieure.

D´efinition I.4

(a) Sif ∈ F(I,R) est major´ee, notons sup

I

(f) ou sup

x∈I

(f(x)) la borne sup´erieure de{f(x)|x∈I}.

(b) Sif ∈ F(I,R) est minor´ee, notons inf

I (f) ou inf

x∈I(f(x)) la borne inf´erieure de{f(x)|x∈I}.

C’est `a dire sup

x∈I

(f(x)) = sup({f(x)|x∈I}) et inf

x∈I(f(x)) = inf{f(x)|x∈I}.

Proposition I.5 L’ensembleB(I,R) des fonctions born´ees surI est stable par +,·et×.

D´emonstration (id´ee) : Sif, gsont born´ees,λ, µ∈R, alorsf ×get λ.f+µ.gsont born´ees. CQFD

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MPSIA Fonctions d’une variable r´eelle `a valeurs r´eelles lyc´ee Chaptal

Exemples :

1. Soitf :R→R;x7→x2: f n’est pas major´ee, donc sup

R

(f) n’est pas d´efini.

Par contre, inf

R

(f) = 0. ”L’inf est atteint” : inf

R

(f) =f(0) 2. Soitf :]3,+∞[→R;x7→ 1x. Nous avons I=]3,+∞, sup

I

(f) = 13 et inf

I (f) = 0.

Et cette fois, aucune des bornes def n’est atteinte :∀x∈I,f(x)6= sup

I

(f) etf(x)6= inf

I (f).

3. Sif et gsont major´ees surI, alorsf+g l’est aussi et sup

I

(f +g)6sup

I

(f) + sup

I

(g).

Application :I=R;f = cos etg= sin. Alors sup

R

(f) = sup

R

(g) = 1 et sup

R

(f+g) =√ 2.

D´efinition I.6 Soitf ∈ F(I,R) eta∈I.

(a) f admet un maximum (global) ena(surI) si∀x∈I,f(x)6f(a). Notons alorsf(a) = max

I (f).

(b) f admet un maximum local enasi :∃η∈R+ tel que∀x∈I,|x−a|< η=⇒f(x)6f(a).

(c) f admet un minimum (global) ena(surI) si∀x∈I,f(x)>f(a). Notons alorsf(a) = min

I (f).

(d) f admet un minimum local enasi :∃η∈R+ tel que∀x∈I,|x−a|< η=⇒f(x)>f(a).

(e) f admet un extremum ena(surI) si elle admet un maximum ou un minimum en a(surI).

(f) f admet un extremum local enasi elle admet un maximum local ou un minimum local ena.

Exemples : ´etudier les applications suivantes, d´efinies surR:x7→ |x|;x7→cos(x) ;x7→x3−3x.

Remarques :

1. sif admet un maximum surI, alors sup

I

(f) = max

I (f). (Attention : la r´eciproque est fausse).

2. en rempla¸cant les in´egalit´es larges par des strictes dans la d´efinition I.6, nous obtenons les notions de maximum, maximum local, minimum, etc. . . strict.

D´efinition I.7 Soitf ∈ F(I,R). D´efinissons quef est :

(a) croissante si∀x, y∈I, (x6y=⇒f(x)6f(y) ;

(b) strictement croissante si∀x, y∈I, (x < y=⇒f(x)< f(y) ; (c) d´ecroissante si∀x, y∈I, (x6y=⇒f(x)>f(y) ;

(d) strictement d´ecroissante si∀x, y∈I, (x < y=⇒f(x)> f(y) ; (e) monotone si elle est croissante ou d´ecroissante ;

(f) strictement monotone si elle est strictement croissante ou strictement d´ecroissante.

Proposition I.8 Soient J un autre intervalle de R,f : I→J et g:J →R. Sif etg sont monotones (resp. strictement monotones),

alorsg◦f est monotone (resp. strictement monotone).

D´emonstration (id´ee) : ´etudier s´epar´ement les diff´erents cas possibles.

Exercice : Montrer que sif est monotone, f est strictement monotone si, et seulement si,f est injective.

D´efinition I.9 Soitf ∈ F(I,R). D´efinissons quef est :

(a) paire siI est sym´etrique par rapport `a 0 et si ∀x∈I,f(−x) =f(x).

(b) impaire siI est sym´etrique par rapport `a 0 et si∀x∈I,f(−x) =−f(x).

Remarque:f est paire si, et seulement si, son graphe est sym´etrique par rapport `a l’axe (Oy), alors quef est impaire si, et seulement si, son graphe est sym´etrique par rapport au pointO.

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MPSIA Fonctions d’une variable r´eelle `a valeurs r´eelles lyc´ee Chaptal

Proposition I.10

Les ensembles des fonctions paires et impaires sont des sous-espaces vectoriels de F(I,R), suppl´ementaires dans F(I,R) :

{f ∈ F(I,R)|f est paire} ⊕ {f ∈ F(I,R)|f est impaire}=F(I,R).

D´emonstration : exercice. (Penser `a ´ecriref(x) =f(x)+f(−x)2 +f(x)−f(−x)2 .) D´efinition I.11 Soitf ∈ F(I,R).

Un r´eelT est une p´eriode def si∀x∈I, (x+T)∈Iet f(x+T) =f(x).

Nous dirons quef est p´eriodique si elle admet une p´eriodeT non nulle.f est alors diteT-p´eriodique ou p´eriodique de p´eriodeT.

Proposition I.12

1. Soitf ∈ F(I,R). Alors{T ∈R|T est une p´eriode def}est un sous-groupe de (R,+).

2. SoitT ∈R.{f ∈ F(R,R)|f est T-p´eriodique}est un sous-espace vectoriel deF(R,R), stable par×.

D´emonstration : exercice.

II Th´ eor` emes

Ces th´eor`emes, utiles pour l’´etude des fonctions usuelles, seront revues et pour certaines d´emontr´es plus tard dans le cours.

Rappelons tout d’abord le

Th´eor`eme II.1 : Th´eor`eme des valeurs interm´ediaires

Soienta < bdes r´eels etf une application continue sur [a, b], alors

∀y∈[f(a), f(b)],∃x∈[a, b] tel que f(x) =y, c’est `a dire [f(a), f(b)]⊂fh[a, b]i.

Ce qui permet de d´emontrer le

Th´eor`eme II.2 Soient a < bdes r´eels etf une applicationcontinue sur [a, b].

1. Sif est strictement croissante sur [a, b], alorsf r´ealise une bijection de [a, b] sur f(a), f(b)].

2. Sif est strictement d´ecroissante sur [a, b], alors f r´ealise une bijection de [a, b] surf(b), f(a)].

Application `a la d´erivation :

1. sif est continue sur [a, b], d´erivable sur ]a, b[ et si∀x∈]a, b[,f0(x)>0,

alorsf est strictement croissante sur [a, b], et donc r´ealise une bijection de [a, b] sur [f(a), f(b)].

2. sif est continue sur [a, b], d´erivable sur ]a, b[ et si∀x∈]a, b[,f0(x)<0,

alorsf est strictement d´ecroissante sur [a, b], et donc r´ealise une bijection de [a, b] sur [f b), f(a)].

Rappel : f d´erivable surI ⇒f continue surI.

Et la r´eciproque est fausse. Exemple :x7→ |x|est continue et non d´erivable en 0.

Th´eor`eme II.3 Th´eor`eme de d´erivation des fonctions compos´ees

Soitf :E→F etg:F →Go`u E, F,G⊂R. Six∈E est tel que :

f d´erivable en x∈E, g d´erivable eny=f(x)∈F, alorsg◦f est d´erivable enxet

(g◦f)0(x) =f0(x)×g0(f(x)). Nous en d´eduisons :

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MPSIA Fonctions d’une variable r´eelle `a valeurs r´eelles lyc´ee Chaptal

Th´eor`eme II.4 : Th´eor`eme de d´erivation de l’ application r´eciproque

Soitf :E→F une bijection deE surF. Notonsf−1:F →E son application r´eciproque.

Siy∈F est tel que :

f est d´erivable enx=f−1(y), f0 f−1(y)

=f0(x)6= 0, alorsf−1 est d´erivable eny et

f−10

(y) = 1

f0(f−1(y)) = 1 f0(x). Remarque : la difficult´e de ce th´eor`eme est le fait quef est d´erivable eny.

Le calcul de f−10

(y) lui est facile et `a savoir refaire : il suffit de d´eriver l’´egalit´e f◦f−1

(y) = IdE(y) =y.

Rappelons enfin

Th´eor`eme II.5 : Th´eor`eme fondamental de l’analyse

Soientf une applicationcontinue sur un intervalle I deRet a∈I.

Alors l’application

F : I → R

x 7→ F(x) =Rx

a f(t) dt, est d´erivable sur Iet ∀x∈I,F0(x) =f(x).

De plus,F est l’unique primitive def surI qui s’annule ena.

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