Th´ eor` emes d’existence de limites

ECS 1Dupuy de Lˆome Semaine du 4+8 janvier 2004

Programme de colles S15

NB : Les d´emonstrations des th´eor`emes ou propositions ne sont pas exigibles

Limites de fonctions

Propri´ et´ es fondamentales

D´efinition : Soient I un intervalle non trivial, f ∈ F(I,R) a ∈I^◦. On dit que f poss`ede une limite `a gauche (resp. `a droite) au point a si la restriction de f `a J = I∩]− ∞, a[ (resp.

J =I∩]a,+∞[) poss`ede une limite ena.

Proposition.— SoientIun intervalle non trivial,f ∈ F(I,R) eta∈I^◦un point`a l’int´erieur deI.

Alors f admet une limite au pointassi f admetf(a) comme limite `a gauche et `a droite ena.

Th´eor`eme.— Caract´erisation s´equentielle de la limite

Soientf ∈ F(I,R),a∈I¯∪ {±∞}, et`∈R¯. On a l’´equivalence suivante :

x→alimf(x) =`

⇐⇒ (∀u∈I^N),

n→∞lim u_n=a⇒ lim

n→∞f(u_n) =`

Proposition.— Soientf, g∈ F(I,R),a∈I¯∪ {±∞}. On suppose quef etgposs`edent des limites au pointa.

1. Si lim

x→af(x)< lim

x→ag(x),alorsf < gdans un voisinage de a.

2. Si f ≤gau voisinage dea,alors lim

x→af(x)≤ lim

x→ag(x).

Th´ eor` emes d’existence de limites

par op´erations alg´ebriques (valeur absolue, multiplication, produit, quotient) par composition (changement de variable)

par encadrement ou comparaison (limite finie, limite nulle, limite infinie)

cas des fonctions monotones (limites aux bornes de l’intervalle, `a l’int´erieur de l’intervalle)

Limites des fonctions usuelles

Th´eor`eme.— Limites des fonctions trigonom´etriques

∀a∈R, lim

x→asinx= sina lim

x→acosx= cosa

∀a∈]−^π₂,^π₂[,lim

x→atanx= tana, lim

x→^π₂⁻

tanx= +∞ lim

x→−^π₂⁺

tanx=−∞.

Th´eor`eme.— Limites des fonctions exponentielle et logarithme n´ep´erien 1. ∀a∈R, lim

x→aexp(x) = exp(a) 2. lim

x→−∞exp(x) = 0 3. lim

x→+∞exp(x) = +∞

1. ∀a∈R^+?, lim

x→alnx= lna 2. lim

x→0lnx=−∞ 3. lim

x→+∞lnx= +∞

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Th´eor`eme.— Limites de la fonction puissanceα∈R^? (∀a∈R^+?), lim

x→ax^α=a^α. Si α >0, alors lim

x→0x^α= 0 et lim

x→+∞x^α= +∞.

Si α <0, alors lim

x→0x^α= +∞et lim

x→+∞x^α= 0.

Comparaison locale des fonctions

D´ efinitions

Proposition-d´efinition —Soientf, g∈ F(I,R),a∈I¯∪ {±∞}. On suppose queg ne s’annule pas dansI\ {a}. Alors

f =o_a(g) ⇐⇒ lim

x→a

f(x) g(x) = 0.

f ∼a (g) ⇐⇒ lim

x→a

f(x) g(x) = 1.

R` egles de calculs pour les ´ equivalents

Th´eor`eme.— Soient f1, f2, g1, g2∈ F(I,R), a∈I¯∪ {±∞}et α∈R^?. On suppose que f1∼a f2

et g1∼a g2. Alors

1. f1g1∼af2g2.

2. si de plusg16= 0 etg26= 0 dansI\ {a}, alors f1

g1

∼a

f2

g2

3. si de plusf1>0 etf2>0 dans I\ {a}, alorsf₁^α∼af₂^α. 4. soith∈ F(J,R), telle queh(J)⊂I. Alors lim

y→bh(y) =a ⇒ f1◦h∼bf2◦h.

5. (∀h∈ F(I,R)), (f1=oa(h)⇒f2=oa(h))

Th´eor`eme.— Soientf, h∈ F(I,R) eta∈I¯∪ {±∞}.

Si h=o_a(f),alorsf+h∼_a f.

Proposition.— Soientf₁, f₂, g₁, g₂∈ F(I,R),a∈I¯∪ {±∞}.On suppose qu’au voisinage de a, f1 et g1 sont strictement positives. Alors :

Sif1∼af2 etg1∼ag2,alorsf1+g1∼af2+g2.

Comparaison de fonctions usuelles

Th´eor`eme.— Comparaison des fonctions usuelles

Soient (α, β, γ)∈R^+?×R^+?×R^+? tels queα < β, eta >1, alors

Au voisinage de 0 Au voisinage de+∞ (lnx)^γ =o0(1/x^α). (lnx)^γ =o_+∞(x^α)

x^β=o0(x^α) x^α=o_+∞(x^β) x^α=o_+∞(a^x) Th´eor`eme.— Au voisinage de 0, nous disposons des ´equivalents suivants :

• sinx∼x • 1−cosx∼ ^x₂² • tanx∼x

• (1 +x)^α−1∼αx • ln(1 +x)∼x • e^x−1∼x

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