TD sur: Th´ eor` emes limites
Exercices ` a chercher
. Exercice 1 :
Un ´etudiant fait en moyenne une faute d’orthographe tous les 500 mots.
1. Donner une estimation de la probabilit´e qu’il ne fasse pas plus de 5 fautes dans un devoir contenant 200 mots.
2. Donner une estimation de la probabilit´e qu’il ne fasse pas plus de 5 fautes dans un devoir contenant 2000 mots.
. Exercice 2 :
1200 ´el`eves d´ejeunent `a la cantine du lyc´ee, qui propose fromage ou dessert. On s’attend `a ce que chaque ´el`eve choisisse le dessert avec probabilit´e 0; 75. Combien faut-il pr´evoir de fromages et de desserts de fa¸con `a ce qu’il y ait 95% de chances que mˆemes les derniers aient le choix ?
Exercices ` a faire pendant la classe
- Exercice 3 :
On reproduit une exp´erience de probabilit´e de succ`es pavec pun ´el´ement de ]0,1[. Pour tout entier naturel non nul n, on note Sn le nombre d’´echecs avant le ni`eme succ`es et Xn la quantit´e Sn−Sn−1 (en convenant que S0 est 0).
1. Reconnaˆıtre la loi de Xn, donner son esp´erance et sa variance.
2. En d´eduire l’esp´erance et la variance deSn.
3. Montrer, pour tout entier naturel k et pour tout entier naturel non nul n, on a : P(Sn =k) =
n+k−1 k
pn(1−p)k. 4. Montrer que :
n→+∞lim
n(1−p) p
X
k=0
n+k−1 k
pn(1−p)k
= 1 2.
- Exercice 4 :
Soit (Xi)i∈N∗ une suite de variables al´eatoires ind´ependantes de lois uniformes sur [0; 1]. Soit Nn une variable al´eatoire de loi binomiale B(n, p) et ind´ependante des (Xi)i∈N∗. Soit Tn = n min
16i6Nn
(Xi) et X ,→ E(p). On note Fn la fonction de r´epartition de Tn et F la fonction de r´epartition deX.
1. Calculer Fn(x) pour tout x∈R. 2. Montrer que, pour tout x∈R, lim
n→+∞(Fn(x)) =F(x).
3. En d´eduire que, pour tout (a, b)∈R2, lim
n→+∞(P(a < Tn6b)) =P(a < X 6b).
Exercices bonus
M Exercice 5 :
1. Combien de fois doit-on lancer une pi`ece ´equilibr´ee pour que la fr´equence d’apparition de face soit ´egale `a 1
2 `a plus ou moins 0,01 pr`es avec un risque d’erreur inf´erieur `a 5% ?
2. Une montre se d´er`egle d’au plus 30 secondes par jour (en avance ou en retard). Quelle est la probabilit´e que l’erreur commise au bout d’une ann´ee soit inf´erieure `a un quart d’heure ? _) Exercice 6 :
Sur une autoroute la proportion de camions par rapport `a l’ensemble des v´ehicules est de 0,07.
1. Soit X le nombre de camions parmi 100 v´ehicules choisis au hasard. Calculer P(X >5).
2. SoitY le nombre de camions parmi 1000 v´ehicules choisis au hasard. CalculerP(656Y 675).
3. On choisit n v´ehicules au hasard. Pour quelle valeur de n peut-on affirmer que la proportion de camions parmi ces n v´ehicules est comprise entre 0,06 et 0,08 avec un risque d’erreur inf´erieur ou ´egal `a 0,05 ?