Th´eor`eme de Kleene

Th´eor`eme de Kleene

Un ensemble est rationnel si et seulement s’il est reconnaissable.

Nous voulons montrer que pour tout automate, on peut calculer une expression rationnelle d´ecrivant le langage reconnu. Plusieurs algorithmes existent pour cela :

Algorithme de Mc Naughton et Yamada (algorithme historique),

Algorithme d’´elimination d’´etats,

Lemme d’Arden.

L’algorithme par ´elimination d’´etats

Dans cette partie (et uniquement cette partie), nous utilisons des automates g´en´eralis´es pour lesquels les ´etiquettes des

transitions sont des langages (et non des lettres).

Si (p , q ) est un couple d’´etats d’un automate g´en´eralis´e, nous

noterons L _pq le langage de l’´etiquette de la transition (directe)

entre p et q.

Soit Aut = < A, Q ⁰ = Q [ { d } [ { f } , { d } , { f } , > un automate asynchrone normalis´e.

Tant que Q est non vide, appliquer l’op´eration suivante d’´elimination d’´etat :

I

choisir un ´etat q dans Q (donc ni d ni f )

I

pour tous les couples (p, r ) d’´etats de Q

\ { q } tels qu’il existe une transition directe (p, L

, q) entre p et q d’une part et

une transition directe (q, L

, r ) entre q et r d’autre part,

• Ajouter une transition (p, L

, r ) entre p et r avec L

= L

[ L

.L

.L

. Puis L

devient L

.

I

Supprimer l’´etat q et toutes les transitions dont q ´etait une extr´emit´e.

Quand l’op´eration pr´ec´edente est achev´ee, Q est vide donc

l’automate ne contient plus que les deux ´etats d et f , qui sont

reli´es par une transition dont l’´etiquette est le langage reconnu

par l’automate de d´epart Aut .

Exemple : calcul du langage de Aut

Aut :

1 a,b 2 a 3

b

Aut normalis´e :

1 a,b 2 a 3

b

ɛ f

d ɛ

Etape 2 : ´elimination successive des ´etats ´

On peut ´eliminer les ´etats dans l’ordre que l’on souhaite.

1 a,b 2 a 3

b

ɛ f

d ɛ

Suppression de l’´etat 2 : il faut calculer L ₁₂₃ et L ₃₂₃ .

On peut ´eliminer les ´etats dans l’ordre que l’on souhaite.

1 a,b 2 a 3

b

ɛ f

d ɛ

Suppression de l’´etat 2 : il faut calculer L ₁₂₃ et L ₃₂₃ . L ₁₂₃ = L ₁₃ [ L ₁₂ .L ^⇤ ₂₂ .L ₂₃

= ; [ (a + b)." ^⇤ .a

= (a + b)a

Etape 2 : ´elimination successive des ´etats ´

On peut ´eliminer les ´etats dans l’ordre que l’on souhaite.

1 a,b 2 a 3

b

ɛ f

d ɛ

Suppression de l’´etat 2 : il faut calculer L ₁₂₃ et L ₃₂₃ . L ₁₂₃ = L ₁₃ [ L ₁₂ .L ^⇤ ₂₂ .L ₂₃

= ; [ (a + b)." ^⇤ .a

= (a + b)a

L ₃₂₃ = L ₃₃ [ L ₃₂ .L ^⇤ ₂₂ .L ₂₃

= ; [ b ." ^⇤ .a

= ba

On peut ´eliminer les ´etats dans l’ordre que l’on souhaite.

1 a,b 2 a 3

b

ɛ f

d ɛ

Suppression de l’´etat 2 : il faut calculer L ₁₂₃ et L ₃₂₃ . L ₁₂₃ = L ₁₃ [ L ₁₂ .L ^⇤ ₂₂ .L ₂₃

= ; [ (a + b)." ^⇤ .a

= (a + b)a

L ₃₂₃ = L ₃₃ [ L ₃₂ .L ^⇤ ₂₂ .L ₂₃

= ; [ b ." ^⇤ .a

= ba

1 a,b 2 a 3

b

ɛ f

d ɛ

(a+b)a

Etape 2 : ´elimination successive des ´etats ´

On peut ´eliminer les ´etats dans l’ordre que l’on souhaite.

1 a,b 2 a 3

b

ɛ f

d ɛ

Suppression de l’´etat 2 : il faut calculer L ₁₂₃ et L ₃₂₃ . L ₁₂₃ = L ₁₃ [ L ₁₂ .L ^⇤ ₂₂ .L ₂₃

= ; [ (a + b)." ^⇤ .a

= (a + b)a

L ₃₂₃ = L ₃₃ [ L ₃₂ .L ^⇤ ₂₂ .L ₂₃

= ; [ b ." ^⇤ .a

= ba

b ba

On peut ´eliminer les ´etats dans l’ordre que l’on souhaite.

1 a,b 2 a 3

b

ɛ f

d ɛ

Suppression de l’´etat 2 : il faut calculer L ₁₂₃ et L ₃₂₃ . L ₁₂₃ = L ₁₃ [ L ₁₂ .L ^⇤ ₂₂ .L ₂₃

= ; [ (a + b)." ^⇤ .a

= (a + b)a

L ₃₂₃ = L ₃₃ [ L ₃₂ .L ^⇤ ₂₂ .L ₂₃

= ; [ b ." ^⇤ .a

= ba

1 3 f

d ɛ

ɛ

(a+b)a

ba

Etape 2 : ´elimination successive des ´etats ´

1 3 f

d ɛ

ɛ (a+b)a

ba

Suppression de l’´etat 1 : il faut calculer L _{d 13} .

1 3 f d ɛ

ɛ (a+b)a

ba

Suppression de l’´etat 1 : il faut calculer L _{d 13} . L _{d 13} = L _{d 3} [ L _{d 1} .L ^⇤ ₁₁ .L ₁₃

= ; [ "." ^⇤ .(a + b)a

= (a + b)a

Etape 2 : ´elimination successive des ´etats ´

1 3 f

d ɛ

ɛ (a+b)a

ba

Suppression de l’´etat 1 : il faut calculer L _{d 13} . L _{d 13} = L _{d 3} [ L _{d 1} .L ^⇤ ₁₁ .L ₁₃

= ; [ "." ^⇤ .(a + b)a

= (a + b)a

ba

1 3 f d ɛ

ɛ (a+b)a

ba

Suppression de l’´etat 1 : il faut calculer L _{d 13} . L _{d 13} = L _{d 3} [ L _{d 1} .L ^⇤ ₁₁ .L ₁₃

= ; [ "." ^⇤ .(a + b)a

= (a + b)a

3 f

d ɛ

ba

(a+b)a

Etape 2 : ´elimination successive des ´etats ´

3 f

d ɛ

ba

(a+b)a

Suppression de l’´etat 3 : il faut calculer L _{d 3f} .

3 f d ɛ

ba

(a+b)a

Suppression de l’´etat 3 : il faut calculer L _{d 3f} . L _{d 3f} = L _df [ L _d3 .L ^⇤ ₃₃ .L _3f

= ; [ (a + b )a.(ba) ^⇤ ."

= (a + b)a(ba) ^⇤

Etape 2 : ´elimination successive des ´etats ´

3 f

d ɛ

ba

(a+b)a

Suppression de l’´etat 3 : il faut calculer L _{d 3f} . L _{d 3f} = L _df [ L _d3 .L ^⇤ ₃₃ .L _3f

= ; [ (a + b )a.(ba) ^⇤ ."

= (a + b)a(ba) ^⇤

ba

3 f d ɛ

ba

(a+b)a

Suppression de l’´etat 3 : il faut calculer L _{d 3f} . L _{d 3f} = L _df [ L _d3 .L ^⇤ ₃₃ .L _3f

= ; [ (a + b )a.(ba) ^⇤ ."

= (a + b)a(ba) ^⇤

d f

(a+b)a(ba)*

Le langage reconnu par l’automate Aut est (a + b)a(ba) ^⇤ .

Lemme d’Arden

Lemme d’Arden Soient K , L, X trois langages tels que " 62 K . Si X = KX + L alors X = K ^⇤ L.

(i.e. K ^⇤ L est l’unique solution de l’´equation X = KX + L.)

Utilisation pour le calcul d’une expression rationnelle du langage reconnu par un automate.

1. Etant donn´e un automate ´ L, on note L _i l’ensemble des mots reconnus par l’automate obtenu en ne prenant que l’´etat i comme ´etat initial.

2. Ecriture d’un syst`eme d’´equations (sur les langages) : ´

I

L = S

i2D

L

I

L

= S

(i,a,j)2

aL

si i n’est pas terminal

S

1 a,b 2 a 3 b

On doit r´esoudre le syst`eme d’´equations suivant : L = L ₁

L ₁ = aL ₂ + bL ₂ = (a + b)L ₂ L ₂ = aL ₃

L ₃ = bL ₂ + "

R´esolution du syst`eme d’´equations :

On remplace L ₂ par aL ₃ dans la derni`ere ´equation : L ₃ = baL ₃ + "

On y applique le Lemme d’Arden : L ₃ = (ba) ^⇤ " = (ba) ^⇤ . On peut calculer L ₂ : L ₂ = aL ₃ = a(ba) ^⇤

Et enfin L = L ₁ = (a + b )L ₂ = (a + b)a(ba) ^⇤