Echantillonnage pr´ ef´ erentiel et th´ eor` eme de Cram´ er

UPS TOULOUSE III MODELISATION

MAF, TP2 2015

Grandes d´ eviations et ´ ev´ enements rares

Echantillonnage pr´ ef´ erentiel et th´ eor` eme de Cram´ er

Pour n ≥ 1, on consid` ere un ´ echantillon X

. . . , X

de variables i.i.d. de loi F . On prendra, par exemple, n = 50, 100, 500. Comme toujours, on pose X

:= n

P

i=1

X

. On ´ etudiera les cas suivants :

• F est la loi gaussienne standard,

• F est la loi exponentielle de param` etre 1,

• F est la loi de Poisson de param` etre 1,

• F est la loi de Bernoulli ´ equilibr´ ee,

• F est la loi g´ eom´ etrique de param` etre 1/2.

Pour c > E (X

), on pose p(c) := P (X

≥ c). On souhaite ici comprendre exp´ erimentalement

`

a partir de quel niveau c le th´ eor` eme de Bahadur-Rao donne une meilleure approximation que celui de la limite centrale.

1. Tracer ` a l’aide des fonctions Scilab cdfbin, cdfgam, cdfnbn, cdfnor, cdfpoi les courbes p(c).

2. Reprendre la question pr´ ec´ edente mais estimer les probabilit´ es ` a l’aide d’une m´ ethode de Monte Carlo de base.

3. Reprendre la question pr´ ec´ edente mais estimer les probabilit´ es ` a l’aide d’une m´ ethode de Monte Carlo qui utilise le changement de probabilit´ e des grandes d´ eviations. Conclusions?

4. Tracer les approximations p(c) et ˜ b p(c) obtenues par utilisation du th´ eor` eme de Bahadur Rao et de la limite centrale. Conclusions?

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