M´ ethode de Monte-Carlo

UPS TOULOUSE III PROBABILIT ´ ES & STATISTIQUES

MIM, TP3 2007

M´ ethode de Monte-Carlo

1 Approximation num´ erique d’une int´ egrale.

On consid` ere une fonction f continue sur un intervalle [a, b] de R et ` a valeurs dans R

. On se propose d’´ evaluer num´ eriquement l’int´ egrale I d´ efinie par

I = Z

a

f (x) dx.

A titre d’exemple, on ´ evaluera l’int´ egrale entre 0 et 2π de la fonction f d´ efinie par f (x) = cos(x) exp

− x 5

+ 1.

On peut d’ailleurs calculer la valeur exacte de cette int´ egrale.

1.1 M´ ethodes d´ eterministes.

On peut approcher I par une int´ egrale de Riemann, en discr´ etisant l’intervalle [a, b]. On peut alors arbitrairement construire les deux approximations suivantes :

I

(n) =

n−1

X

i=1

(x

− x

)f (x

), I

(n) =

n−1

X

i=1

(x

− x

)f (x

),

o` u x

= a et x

= b.

Exercice 1. En choisissant une discr´ etisation r´ eguli` ere, ´ etudier I

(n) et I

(n) en fonction de n. On peut am´ eliorer l’approximation, en approchant I par la m´ ethode des trap` ezes. Comparer l’approximation I

(n) obtenue avec cette m´ ethode ` a I

(n) et I

(n). Repr´ esenter graphiquement les trois approximations obtenues en fonction de n.

1.2 M´ ethode de Monte-Carlo.

Cette m´ ethode repose sur la loi des grands nombres. On d´ efinit un rectangle R de cot´ es [a, b] × [c, d] tel que c ≤ f (x) ≤ d pour tout a ≤ x ≤ b. On choisit alors al´ eatoirement n points ind´ ependants, avec une distribution uniforme dans le rectangle R.

Exercice 2. Quelle est la probabilit´ e pour qu’un de ces n points soit sous la courbe de f ? En d´ eduire un estimateur ˆ I

de I. Montrer que cet estimateur peut s’´ ecrire comme la moyenne empirique de n variables al´ eatoires ind´ ependantes et ´ equidistribu´ ees. Que nous dit la Loi des Grands Nombres ? Utiliser cette m´ ethode de Monte-Carlo pour ´ evaluer I , en utilisant diff´ erentes tailles d’´ echantillon n. Donner ` a chaque fois un intervalle de confiance ` a 95%.

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2 Approximation num´ erique du volume d’un convexe.

On peut bien sˆ ur ´ etendre ces m´ ethodes ` a des situations plus compliqu´ ees, et ´ evaluer, par exem- ple, le volume d’un convexe de R

, o` u d > 2. On se limitera ici au cas o` u d = 3 pour ´ evaluer le volume V d’une sph` ere. Le principe est le mˆ eme : on d´ efinit un cube qui contient la sph` ere, puis on g´ en` ere n points ind´ ependants dans ce cube, avec une distribution uniforme.

Exercice 3. Proposer un estimateur de V . Quelle est sa loi ? Utiliser cette m´ ethode de Monte-Carlo pour ´ evaluer V , avec diff´ erentes valeurs de n. Donner ` a chaque fois un intervalle de confiance ` a 95%.

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