❶ Variables discr` etes mutuellement ind´ ependantes

Lyc´ ee Dominique Villars Exercices ECE 2

Sommes de variables al´ eatoires

Rappels de cours

❶ Variables discr` etes mutuellement ind´ ependantes

On dit que X

, X

, . . . , X

sont mutuellement ind´ependantes si et seulement si pour tout n-uplets (a

, a

, . . . ,a

) on a :

P

n

\

i=1

(X

= a

)

!

=

n

Y

i=1

P (X

= a

)

❷ Stabilit´ e de la loi binomiale par somme

Si X

, X

, . . . , X

sont k variables mutuellement ind´ependantes et si pour tout i ∈ J1, kK, la variable X

suit la loi binomiale B(n

, p) alors

la variable S

= X

+ X

+ . . . + X

=

k

P

i=1

X

suit la loi binomiale B( P

i=1

n

, p)

❸ Stabilit´ e de la loi de Poisson par somme

Si X

, X

, . . . , X

sont k variables mutuellement ind´ependantes et si pour tout i ∈ J1, kK, la variable X

suit la loi de Poisson P(λ

) alors

la variable S

= X

+ X

+ . . . + X

=

k

P

i=1

X

suit la loi de Poisson P ( P

λ

)

❹ Variance d’une somme de n variables discr` etes

Si X

, X

, . . . , X

sont n variables al´eatoires poss´edant des variances, alors on a : V

n

X

i=1

X

!

=

n

X

i=1

V (X

) + 2 X

16i<j6n

Cov(X

, X

)

Si ces n variables sont mutuellement ind´ependantes alors : V

P

i=1

X

= P

i=1

V (X

)

D´ emonstrations des ❷ et ❸ via l’utilisation des fonctions g´ en´ eratrices.

Soit X une variable al´eatoire enti`ere positive (c’est ` a dire dont le support est inclus dans N ). On d´efinit la fonction g´ en´ eratrice de X, not´ee G

, par :

G(t) = E t

=

+∞

X

k=0

t

P (X = k)

On admet que si X et Y sont deux variables poss´ edant la mˆ eme fonction g´ en´ eratrice alors X et Y suivent la mˆ eme loi de probabilit´ e.

1. Montrer que si X et Y sont deux variables ind´ependantes alors : G

(t) = G

(t)G

(t).

2. Montrer que si X suit la loi binomiale de param`etres n et p ∈ [0, 1] alors : G

(t) = (1 − p + pt)

. 3. Montrer que si X suit la loi de Poisson de param`etre λ > 0 alors : G

(t) = e

.

4. G´en´eraliser le r´esultat pr´ec´edent pour une sommes X

+ . . .+X

de n variables mutuellement ind´ependantes.

5. Application 1 - stabilit´ es par somme des loi binomiales et Poisson : En d´eduire les pts ❷ et ❸.

6. Application 2 - formule combinatoire : Soit X et Y deux variables suivant la loi binomiale B(n, p) (a) D´eterminer la loi de la variable X + Y .

(b) En calculant de deux fa¸cons diff´erentes P (X + Y = n), d´emontrer que :

n

X

k=0

n k

= 2n

n

Soit X et Y deux variable al´eatoires ind´ependantes suivant respectivement les loi de Poisson P (λ) et P(µ). On note Z = X + Y .

1. D´eterminer Z(Ω).

2. Soit k ∈ N , d´eterminer la loi conditionnelle de Z sachant que X = k.

3. En d´eduire pour tout entier n ∈ N , la probabilit´e P (Z = n). Que remarquez vous ? Exercice 1 (D´emonstration classique du ❸).

Soient n, m et N trois entiers naturels tels que 0 < m 6 n 6 N . Une urne contient m boules noires et N − m boules blanches. On extrait successivement et sans remise n boules de cette urne. Pour tout entier i tel que 1 6 i 6 n, on note X

, la variable ´egale ` a 1 si la i-`eme boule tir´ee est noire et ´egale ` a 0 si elle est blanche.

1. Donner la loi de X

et celle du couple (X

, X

) pour i > j.

2. En d´eduire la covariance cov(X

, X

).

3. Soit Y la variable al´eatoire ´egale au nombre de boules noires obtenues lors des n tirages. La loi de probabilit´e de la variable Y est appel´ee, loi hyperg´ eom´ etrique de param` etres (N, n, m)

(a) Exprimer Y ` a l’aide des variables X

, i ∈ J1, nK.

(b) En d´eduire E(Y ) et V (Y ) Exercice 2 (Loi hyperg´eom´etrique).

On consid`ere une suite de variables al´eatoires ind´ependantes (X

)

suivant toutes la loi de Bernouilli de param`etre p ∈]0, 1[.

On pose alors pour tout entier n ∈ N

, Y

= X

X

X

et S

= Y

+ . . . Y

=

n

X

i=1

Y

1. D´eterminer la loi, l’esp´erance et la variance de Y

, pour tout entier n > 1.

2. Montrer que pour tout couple (i, j) tel que |i − j| > 2 alors Y

et Y

sont ind´ependantes et en d´eduire Cov(Y

, Y

).

3. D´eterminer pour tout entier i > 1, les valeurs de Cov(Y

, Y

) et Cov(Y

, Y

).

4. En d´eduire V (S

).

Exercice 3 (Calcul d’esp´erance et de variance).

Soient X et Y deux variables al´eatoires ind´ependantes de mˆeme loi uniforme sur J1, nK = {1, . . . , n}

1. D´eterminer la loi de la variable S = X + Y 2. D´eterminer la loi de la variable D = X − Y .

3. On dispose de trois urnes contenant chacune n boules num´erot´ees de 1 ` a n. On tire une boule de chaque urne et note X, Y et Z les trois num´eros tir´es. D´eterminer P (X + Y = Z ).

Exercice 4 (Somme de variables discr`etes uniformes).

1. Soit X et Y deux variables ind´ependantes suivant toutes les deux une loi g´eom´etrique de param`etre p.

(a) Caract´eriser la loi de la variable S = X + Y en utilisant le syst`eme complet d’´ev`enements (X = k)

. On parle de loi binomiale n´ egative de param` etres 2 et p.

(b) Caract´eriser la loi de la variable D = X − Y 2. (HEC 2005)

On consid`ere une suite (X

)

de variables al´eatoires ` a valeurs dans N

, ind´ependantes, de mˆeme loi g´eom´etrique de param`etre p. Pour tout entier n de N

, on pose S

=

n

P

k=1

X

. (a) Calculer l’esp´erance E(S

) et la variance V (S

) de la variable al´eatoire S

.

(b) Outil technique : ` a l’aide de la formule de Pascal montrer que pour tout couple d’entiers (n, p) tels que n 6 p

p

X

k=n

k n

=

p + 1 n + 1

(c) Montrer par r´ecurrence que la loi de probabilit´e de la variable al´eatoire S

(loi binomiale n´ egative de param` etre n et p) est donn´ee, pour tout entier s de N

par :

• si k < n, P (S

= k) = 0

• si k > n,

P (S

= k) =

k − 1 n − 1

p

q

Exercice 5 (Sommes de variables g´eom´etriques - lois binomiales n´egatives).

Soit n ∈ N

et X

, X

, . . . , X

des variables al´eatoires ind´ependantes, de mˆeme loi de probabilit´e, telle que E(X

) = m et V (X

) = σ

.

1. Calculer l’esp´erance et la variance de la variable X

= 1 n

n

P

k=1

X

.

2. Pour un entier i ∈ N , d´eterminer la valeur cov(X

, X

) et en d´eduire V (X

− X

).

3. Calculer l’esp´erance de la variable S

= 1 n − 1

n

P

i=1

X

− X

.

☛ Soit (X

, . . . , X

), un ´echantillon de n variables ind´ependantes suivant toute une loi de probabilit´e L(θ) o` u θ est un param`etre inconnu. La variable T

= f (X

, . . . , X

) sera dit un estimateur sans biais de θ si et seulement si E(T

) = θ.

Dans cet exercice nous venons de prouver que si (X

, . . . , X

) est un ´echantillon de n variables ind´ependantes issues d’une loi de probabilit´es de variance σ

alors la variable

S

= 1 n − 1

n

X

i=1

X

− X

est un estimateur sans biais de σ

.

Si X = (x

. . . x

) est une s´erie de valeurs, la commande SCILAB stdeviation(X) permet de calculer 1

n − 1 P

i=1

(x

− x

)

.

Exercice 6 (Moyenne et estimateur sans biais de la variance).