Programme de colles MP2 Semaine 18 (27 f´evrier-03 mars 2017)
Variables al´ eatoires discr` etes (II)
Plan de cours
Esp´erance d’une variable al´eatoire : esp´erances classiques (`a savoir retrouver).
Propri´et´es de l’esp´erance (pas de d´emonstration de la lin´earit´e).
Formule de transfert (admise).
In´egalit´e de Markov.
Esp´erance d’un produit de variables al´eatoires ind´ependantes (pas de d´emonstration).
Moment d’ordrek. Espace vectoriel des variables al´eatoires r´eelles d´efinies sur Ω et admettant un moment d’ordre 2.
Si une variable al´eatoire admet un moment d’ordre 2, alors elle est d’esp´erance finie.
Variance, ´ecart type.
Formule de Koenig. Effet d’une translation-dilatation sur la variance.
Variable al´eatoire centr´ee r´eduite associ´ee `a une variable al´eatoire.
Variances classiques (`a savoir retrouver).
In´egalit´e de Cauchy-Schwarz.
In´egalit´e de Bienaym´e-Tchebychev.
Covariance : d´efinition, formule. Covariance de variables al´eatoires ind´ependantes.
Variance d’une somme.
Loi faible des grands nombres.
Fonction g´en´eratrice : d´efinition.
D´erivations successives de la fonction g´en´eratrice pour calculer les moments (en supposantR >1, o`u Rest le rayon de convergence dePP(X=n)tn).
La variable al´eatoire X est d’esp´erance finie (resp. admet un second moment) si et seulement si GX est d´erivable en 1 (resp. deux fois d´erivable en 1). Dans ce cas, E(X) = G0X(1) (resp. E(X(X −1)) =G00X(1)).
R´esultats admis.
Fonction g´en´eratrice d’une somme finie de variables al´eatoires ind´ependantes (`a valeurs naturelles).
Exemples classiques de fonctions g´en´eratrices (`a savoir retrouver).
Utilisation de la fonction g´en´eratrice pour retrouver esp´erance et variance.
Exercices
Variables al´eatoires discr`etes.
