Programme de colles MP2 Semaine 17 (06-10 f´evrier 2017)
Variables al´ eatoires discr` etes (I), s´ eries enti` eres (II)
Plan de cours
Notion de tribu.
Stabilit´e par diff´erence ensembliste, intersection et union au plus d´enombrables.
Ensemble probabilisable.
Tribu discr`ete.
Vocabulaire : ´ev´enement ´el´ementaire, ´ev´enement certain, impossible, ´ev´enement contraire.
Probabilit´e sur un ensemble probabilisable. Espace probabilis´e.
Ev´´ enements certains, presque sˆurs.
Donn´ee d’une probabilit´e sur un ensemble au plus d´enombrable muni de la tribu discr`ete par la probabilit´e des ´ev´enements ´el´ementaires.
Propri´et´es ´el´ementaires des probabilit´es : probabilit´e deA, d’une union finie disjointe, d’une union de deux
´ev´enements, croissance.
Continuit´e croissante, continuit´e d´ecroissante.
Sous-additivit´e.
Syst`eme complet d’´ev´enements. Formule des probabilit´es totales.
Probabilit´es conditionnelles : d´efinition, probabilit´e associ´ee.
Formule des probabilit´es compos´ees.
Formules de Bayes.
Ind´ependance de deux ´ev´enements. Ind´ependance (mutuelle) d’une famille d’´ev´enements.
Variable al´eatoire discr`ete : d´efinition, loi d’une telle v.a.
Toutes les v.a. sont suppos´ees discr`etes.
Loi conjointe d’un couple de v.a., lois marginales.
Ind´ependance de deux v.a., d’une famille de v.a.
Si X et Y sont ind´ependants, alors les v.a.f(X) etg(Y) sont ind´ependants.
Si les v.a. Xi sont mutuellement ind´ependantes, alors les ´ev´enements (Xi ∈ Ai) (o`u Ai est une partie de Xi(Ω)) sont mutuellement ind´ependants.
Lois usuelles : loi de Bernoulli, loi binomiale, loi g´eom´etrique, loi de Poisson.
Caract´erisation des lois g´eom´etriques comme lois sans m´emoire.
Approximation de la loi binomiale par la loi de Poisson.
Exercices
Premier exercice sur le programme de probabilit´e ci-dessus (pas d’esp´erance). ´Eventuellement, deuxi`eme exercice sur les s´eries enti`eres.
