Lyc´ee Dominique Villars R´evisions ECE 2
Remise en route 2 - Fonctions, int´ egrales et probabilit´ es discr` etes
1. Fonctions : continuit´ e, d´ erivabilit´ e ponctuelle
1. D´efinir la continuit´e ainsi que la d´erivabilit´e d’une fonction f en un pointa.
. . . . . . . . . . . . 2. Soient les fonctions d´efinies sur Rpar :
f(x) =
e−1/x2 si x6= 0
0 si x= 0
g(x) =
ln
ex−1 x
si x6= 0
0 si x= 0
h(x) =
xln(x) si x >0
0 si x= 0
(a) Montrer quef etgsont continues sur R.
(b) Montrer quef est d´erivable en 0 et calculerf0(0).
(c) Montrer queh est continue sur [0; +∞[. Cette fonction est-elle d´erivable en 0 ?
2. Calcul int´ egral
1. Soit f une fontion continue sur [a, b] alors Z b
a
f(t)dt = . . . .
lorsque . . . .
2. D´emontrer queF(x) =−1 + lnx
x est une primitive de la fonction f(x) = lnx
x2 puis en d´eduire la valeur de I =
Z e 1
lnx x2 dx
3. Calculer les int´egrales suivantes I1 =
Z 2 0
x2
2 +x3 dx I2 =
Z 1 0
xe−x2 dx I3 =
Z 1 0
2x3 (1 +x4)3 dx
J1 = Z 4
1
ln x
2
4 +x2 dx `a l’aide du changement de variable t= 4 x 4. Encadrer une int´egrale - Int´egration d’une relation de comparaison
(a) Int´egration d’une relation de comparaison
Sif et gsont deux fonctions continue sur [a, b] telles que pour tout x∈[a, b] alors Z b
a
f(x)dx . . . . Z b
a
g(x) dx
(b) D´emontrer que pour tout entiern>1,
0 6
Z 1 0
(1−x)n e−2x dx 6 1
n+ 1 ln
n+e n+ 1
6
Z e 1
1 n+√
x dx 6 1
n+ 1 1
(c) D´emontrer que pour tout r´eel x>1 , h(x) =
Z x 1
et
t dt > ex−e x puis en d´eduire limx→+∞h(x).
5. Sujet EML 2021 - Partie B. Q7 : pour tout x∈[0,1[ et tout entier n>1,
0 6
Z x 0
tn
1−t dt 6 1
(n−1)(1−x)
3. Probabilit´ es discr` etes
Les d´efinitions et r´esultats du cours
1. Que signifie que les ´ev`enements (A1, . . . , An) forment un syst`eme complet de l’univers des possibles Ω ? . . . . . . . . . . . . 2. Donner le formule explicite du coefficient binomial nk
lorsque k et n sont des entiers tels que k6 n puis
´
enoncer la formule du triangle de Pascal.
. . . . . . . . . . . . 3. Que signifie que les ´ev`enements (A1, . . . , An) forment un syst`eme complet de l’univers des possibles Ω ?
. . . . . . . . . . . . 4. Que signifie que les ´ev`enements A,B etC sont mutuellement ind´ependants ?
. . . . . . . . . . . . 5. Donner les caract´eristiques des lois de probabilit´es suivantes : loi binomiale de param`etre n et p, loi
g´eom´etrique de param`etre pet loi de Poisson de param`etre λ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Formule de Poincar´e. Si A, B et C sont trois ´ev`enements quelconques, d´ecomposer les probabilit´es
ci-dessous `a l’aide deP(A),P(B),P(C), P(A∩B),P(A∩C), P(A∩C) et P(A∩B∩C) : P(A∪B) = . . . .
P(A∪B∪C) = . . . .
*G´en´eralisation : si A1,A2, . . .An sontn´ev`enements alors
P
n
[
i=1
Ai
!
=
n
X
k=1
(−1)k−1
X
J⊂{1,...,n}
|J|=k
P
\
j∈J
Aj
+ Application : 4 couples participent `a un bal. Chaque femme choisit `a l’aveugle un danseur parmi les 4
hommes. Quelle est la probabilit´e qu’aucune femme ne danse avec son propre mari ?
2
Probabilit´es et processus al´eatoire 1
Probabilit´es et processus al´eatoire 2
3
Les lois usuelles.
4
