Examen LM346 ”Processus et simulations”, 1`ere session 2014–2015, sans document, ni calculatrice.
Rappels.
La loi de Bernoulli de param`etrepest `a valeurs 1,0, dont la valeur 1 est prise avec probabilit´epet la valeur 0 est prise avec probabilit´e 1−p.
La loi Binomiale (n, p) est `a valeursk∈ {0,1,2, . . . , n} qui sont prises avec probabilit´esCnkpk(1−p)n−k. La loi G´eom`etrique de param`etreaest `a valeursk∈ {1,2, . . .}qui sont prises avec probabilit´es (1−a)k−1a.
La loi de Poisson de param`etreλest `a valeursk∈ {0,1,2, . . .}qui sont prises avec proabbilit´es exp(−λ)λk(k!)−1 La loi Gaussienne centr´ee r´eduite (c’est-`a-dire son esp´erance est 0 et sa variance est 1) est de densit´e√1
2πexp(−x2/2).
La loi exponentielle de param`etreλest de densit´eλexp(−λt)1[0,∞[(t).
1. Les variables al´eatoires U1, U2, U3, U4, U5 sont ind´ependantes de loi uniforme sur [0,1]. On suppose U1(ω) = 2/3, U2(ω) = 1/2, U3(ω) = 1/4, U4(ω) = 1/5, U5(ω) = 6/7.
Simuler les valeurs de 5 variables al´eatoires ind´ependantes de loi de Bernoulli de param`etre 1/3.
Ensuite simuler la valeur d’une variable al´eatoire de loi Binomiale de param`etres (5,1/3).
Simuler une variable al´eatoire de loi g´eom`etrique de param`etrea= 1/3 (voir la d´efinition de cette loi ci-dessus).
2. Pr´esenter une m´ethode de simulation de la loi Gaussienne centr´ee r´eduite (on demande de pr´esenter mais ne pas justifier).
3. Pr´esenter une autre m´ethode de simulation de la loi Gaussienne centr´ee r´eduite si vous la connaissez (on demande de pr´esenter et ne pas justifier).
4. Comment simuler alors une variable al´eatoire Gaussienne dont l’esp´erance estaet la variance estσ2?
5. On simule un point al´eatoireAde coordonn´ees (X, Y) dansR2 o`uX etY sont ind´ependantes, Gaussiennes, de variance 1 et d’esp´erancea. Soit le pointO= (a, a). AlorsZ =kOAk~ 2 est une variable al´eatoire non-n´egative.
Quelle est la loi deZ ?
6. Calculer la densit´e de la variable al´eatoireZ. (On pourrait penser `a la m´ethode de la fonction muette, c’est-`a-dire calculer Ef(Z) avec f mesurable born´ee. On pourrait passer par les coordonn´ees polaires (r, φ), notamment Ef(Z) = R
...
R
...f(r2)· · ·drdφ sans oublier le Jacobien! ensuite poser r2 = t etc). Comment s’appelle alors autrement la loi deZ ?
Quelle conclusion en faites vous sur la loiχ2`a 2 degr´es de libert´e ? 7. Donner la fonction de r´epartition deZ. Trouverxtel que P(Z < x) = 0.9.
8. Comment pourrait-on simuler alors la loi deZ a partir deU – une variable al´eatoire de loi uniforme sur [0,1] ? (Penser `a la m´ethode d’inversion...)
9. Comparer les probabilit´es P ln√1
1−U < 1
et P(Z < 2), laquelle est plus grande ? Pourquoi ? (Ceci ne demande pas de calculs)
10. SoientU1, U2, U3, U4les variables al´eatoires ind´ependantes, de loi uniforme sur [0,1]. Donner la probabilit´e : P
ln 1
p(1−U1)(1−U2)(1−U3)<2, ln 1
p(1−U1)(1−U2)(1−U3)(1−U4) >2 .
(Ceci ne demande pas de calculs non plus).
11. On ´emet une hypoth`ese sur l’avenir des ´etudiants en math´ematiques : on suppose qu’apr`es leurs ´etudes 50%
se dirigent vers le secteur de travail A, 20% vers le secteur de travail B et 30% vers le secteur C. On fait un sondage de 1000 ´etudiants qui ont fini les ´etudes. Il s’av`ere que 530 travaillent dans le secteur A, 190 dans le secteurB et 280 dans le secteurC. Tester cette hypoth`ese par le test deχ2au niveau de fiabilit´e 90%. (Ceci ne demande pas de calculatrice si on remarque que 100>34> e4, et on se souvient de la question 7).
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12. On consid`ere une Chaine de Markov de 5 ´etats de matrice de transition
(1/2)(1−p) (1/2)(1−p) 0 p 0
0 1/3 2/3 0 0
1/4 0 3/4 0 0
1/5 1/5 1/5 1/5 1/5
0 0 0 0 1
Icipest un param`etre,p∈[0,1].
Donner les classes d’´etats de cette Chaine de Markov. Les caract´eriser (ferm´ees/non, r´ecurrentes/transientes, ap´eriodiques/non). Je tiens `a prevenir que la r´eponse d´epend de param`etrep∈[0,1]. Attention `a cette question qui risque de perturber le reste de l’exercice!
13. Soit V2 =P∞
n=01{2}(Xn). Donner les valeurs de param`etrep∈[0,1] (si existent) telles queP(V2=∞ |X0 = 2) = 0,P(V2=∞ |X0= 2) = 1/4,P(V2=∞ |X0= 2) = 1/2,P(V2=∞ |X0= 2) = 1.
14. Donner les valeurs de param`etrep(si existent) telles queP(V2=∞ |X0= 4) = 0,P(V2=∞ |X0= 4) = 1/4, P(V2=∞ |X0= 4) = 1/2,P(V2=∞ |X0= 4) = 1.
15. Donner toutes les mesures de probabilit´e invariantes de cette chaine de Markov en fonction du param`etrep∈[0,1].
16. SoitT2= min{n >0 :Xn = 2}. DonnerE(T2|X0= 2) en fonction du param`etrep∈[0,1].
17. Donner limn→∞P(Xn=i|X0= 2) pouri= 1,2,3,4,5 (la r´eponse d´epend du param`etrep).
18. Donner limn→∞P(Xn=i|X0= 4) pouri= 1,2,3,4,5 (la r´eponse d´epend du param`etrep).
19. SoitX0= 1. Donner limn→∞
Pn
k=01{2}(Xk)
n en fonction du param`etrep. Pr´eciser le sens de la limite. (en loi, en probabilit´es, enL2, p.s.)
20. SoitT5= min{n >0 :Xn = 5}. DonnerE(T5|X0= 4) pourp= 0 etp= 1 uniquement (Si vous n’arrivez pas
`
a terminer le calcul dans cette derni`ere question – ce n’est pas grave!).
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