Examen LM346, 1`ere session de l’ann´ee 2010–2011, sans document.
Partie A[1] Une variable al´eatoireX est de densit´ef(x) =Cx−21{x≥1}. Donner la constanteC, donner la fonction de r´epartition deX.
[2] En vous appuyant sur la r´eponse `a la question [1], proposer une m´ethode de simulation de la loi de X.
Partie B [3] SoientX1, . . . , Xn des variables al´eatoires ind´ependantes et de mˆeme loi `a valeurs dans {1,2,3,4} avec probabilit´esp1, p2, p3, p4respectivement, p1+p2+p3+p4= 1. Comment simuler cette suite de variables al´eatoires ?
[4] SoientNin =Pn
k=11{Xk=i} pouri = 1,2,3,4. SoitTn =P4 i=1
(Nin−npi)2
npi . La suite (Tn)n≥0, converge-t-elle ? Si oui, dans quel sens ? Si oui, donner la d´efinition et ensuite le nom de la loi limite.
[5] On a
n→∞lim P(Tn≥t) =C Z
D⊂R3
exp −x2 2 −y2
2 −z2 2
dxdydz.
Donner le domaineD dansR3 et la constanteC.
[6] Donner limn→∞Eexp(−Tn/2) (ceci ne demande pas beaucoup de calcul si vous comprenez la notion de la convergence en loi).
[7] Une population doit ´elire un des 4 candidats M, N, R, Q au suffrage universel pour un poste important. On veut tester l’hypoth`ese queM aura 50% de voix,N etR auront 20% de voix chacun, etQaura 10% de voix. On fait un sondage de 10000 personnes : 4800 personnes se prononcent pourM, 2300 personnes se prononcent pourN, 1800 personnes pourR et 1100 pourQ.
Pour tester cette hypoth`ese avec le niveau de fiabilit´e 0.95, notons χα,r la quantile d’une v.a. χ2(r) de la loi χ deux avec r degr´es de libert´e (c’est-`a-dire P(χ2(r)> χα,r) = α). Vous allez utiliser dans votre test un des nombres suivants : χ0.005,3= 12,84,χ0.05,3= 7,81,χ0.05,4= 9,84,χ0.005,5= 16,75). Pr´eciser lequel et d´ecrire le test.
Si vous n’avez pas de calculatrice : ´ecrivez quelles quantit´es vous allez comparer et expliquez si vous allez accepter ou rejeter l’hypoth`ese en fonction du r´esultat de la comparaison.
Partie C.On consid`ere une chaine de Markov (Xn)n≥0 surE={1,2,3}de matrice de transition
1/4 1/2 1/4 0 1/3 2/3
1/2 0 1/2
.
[8] Donner les classes d’´etats qui communiquent, pr´eciser leur r´ecurrence/transience.
[9] SoitNi=P∞
n=01{Xn=i}le nombre de visites dans l’´etati. DonnerP(N1=∞ |X0= 1),P(N1=∞ |X0= 2).
[10] Soitν= (1/4,3/4,0) la loi initiale de cette chaine de Markov. DonnerPν(X1= 1),Pν(X2= 1).
[11] Calculer toutes les lois de probabilit´e stationnaires pour cette chaine de Markov.
[12] Donner limn→∞Pν(Xn = 1) et justifier bien votre r´eponse par un th´eor`eme du cours.
[13] SoitT1= min{n >0 :Xn= 1}. DonnerE(T1|X0= 1).
[14] Soitµ= (4/13,3/13,6/13) la loi initiale pour cette chaine de Markov. Donner alorsPµ(X6= 1).
On consid`ere ensuite une chaine de Markov (Yn)n≥0 surE0={1,2,3,4,5,6,7} de matrice de transition
1/4 0 1/2 0 1/4 0 0
1/6 0 0 1/3 1/6 0 1/3
0 0 1/3 0 2/3 0 0
0 1/4 1/4 0 1/4 0 1/4
1/2 0 0 0 1/2 0 0
0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 p 1−p
.
Icip∈[0,1] est un param`etre.
[15] Donner les classes d’´etats qui communiquent pour cette chaine de Markov en fonction de param`etre p, et pr´eciser leur r´ecurrence/transience.
[16] Donner toutes les lois de probabilit´e stationnaires pour cette chaine de Markov (cette question ne demande presque pas de calcul si vous avez r´epondu aux questions 11 et 15).
[17] On noteTA= min{n >0 : Yn∈A} pour A⊂E0. On note aussi hAi =P(TA <∞ |X0=i). CalculerhA2, hA4 pourA⊂ {1,3,5}.
[18] Donner limn→∞P(Xn= 1|X0=i) pouri= 1,2,3,4,5,6,7.
[19] Donner limn→∞P(Xn= 6|X0=i) pouri= 1,2,3,4,5,6,7.
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