1. Si R est le rectangle [0, π] × [0, π/2], calculer A = R R

mathématiques - S2

TD 2 : Intégrales multiples - corrigé

exercices théoriques

1. Si R est le rectangle [0, π] × [0, π/2], calculer A = R R

R

x + xy dxdy et B = R R

R

sin(x) sin(y) dxdy.

corrigé succint : A=Rπ

x=0(Rπ/2

y=0x+xydy)dy=Rπ

x=0[x²/2 +x²y/2]^π/2₀ dydonc A=Rπ

x=0π²(1+y)/8dy= [π²/8(1+y)²/2]^π0 =π²(1+π)²/16−π²/16 =π³/8+π⁴/16 PourBon peut séparer directement en deux intégrales B =Rπ

x=0sin(x)dx×Rπ/2

y=0sin(y)dy= [−cos(x)]^π₀[−cos(y)]^π/2₀ = 2.

2. Soit D le domaine défini par y ≤ 0 ≤ x et x

+ y

≤ 1.

Calculer R R

D

(x

+ 2xy) dxdy.

corrigé succint : on passe en coordonnées polaires en prenantx=rcosθ,y=rsinθ, dxdy=rdrdθ.Dest le quart de disque inférieur droit doncθvarie entre−π/2et 0.

La condition donc on calculeR1 r=0

R0

θ=−π/2r²cos²θ+ 2r²cosθsinθrdrdθsoit R1

r=0r³drR0

θ=−π/2(cos²θ+ 2 cosθsinθ)dθ.

L’intégrale enrvaut 1/4. Pour calculer l’intégrale enθon linéarise cos²θ= (1 + cos(2θ))/2d’intégraleπ/4.

Et2 sinθcosθ= sin(2θ)a donc pour primitive−cos(2θ)/2, donc pour intégrale ici -1.

Finalement on trouve que la valeur de l’intégrale estπ/16−1/4.

3. On considère une surface triangulaire de sommets A(0, 0), B(1, 1), C(1, 0) et de masse surfacique σ.

Déterminer sa masse, son centre de gravité G et son moment d’inertie par rapport à G.

corrigé succint : l’équation de(AB)esty=x, donc le triangle peut être décrit par les inéquations : 0≤x≤1,0≤y≤x.

la surface du triangle estS=R R

Tdxdysoit R1

x=0

Rx

y=0dydx=R1

x=0xdx= [x²/2]¹₀ = 1/2, et sa masse estM =σS=S/2.

la coordonnéexGdu centre de gravité xG=R R

Txdxdy/S= 2R1 x=0

Rx

y=0xdydx= 2R1

x=0x²dx= 2[x³/3]¹₀= 2/3.

De même, la coordonnée yG=R R

Tydxdy/S= 2R1 x=0

Rx

y=0ydydx= 2R1

x=0x²/2dx= 1/3.

Enfin le moment d’inertie vautI=R R

Tσ((x−2/3)²+ (y−1/3)²)dydx, donc I=σR1

x=0x(x−2/3)²+ (x−1/3)³/3−(−1/3)³/3dx= σR1

x=0x(x−2/3)²+ (x−1/3)³/3−(−1/3)³/3dx, I=σR1

x=0x(x²−4/3x+ 4/9) + (x³−x²+x/3)/3dx, I=σR1

x=04/3x³−5/3x²+ 5x/9dx=σ[x⁴/3−5x³/9 + 5x²/18]¹₀=σ/18.

4. Calculer l’aire, la masse, le moment d’inertie par rapport à son centre d’une règle plate de dimensions a et L.

corrigé succint : l’aide du rectangle estaLet sa masse estM=σaL.

on peut choisir par exemple de placer le repère au centre de la règle ou bien sur les bords gauche (axe vertical) et bas (axe horizontal).

si on choisit un repère sur els bords de la règle, la règle correspond au rectangle [0, L]×[0, a]et les coordonnées du centreGsont(L/2, a/2). Le moment d’inertieIest l’intégrale deσd²(M, G)dxdy=σ((x−L/2)²+ (y−a/2)²)dxdy.

AlorsI=RL x=0

Ra

y=0σ((x−L/2)²+ (y−a/2)²)dxdy= σRL

x=0(Ra

y=0σ((x−L/2)²+ (y−a/2)²)dy)dx, donc I=σRL

x=0a(x−L/2)²+ 2(a/2)³/3dx=σRL

x=0a(x−L/2)²+a³/12dx= 2a(L/2)³/3 +a³L/12soit finalementI=σ(a³L+aL³)/12 =M(a²+L²)/12.

5. Calculer le volume, la masse, le moment d’inertie par rapport à son axe d’un cône (droit) de rayon R, de hauteur H et de masse volu- mique constante ρ.

corrigé succint : (a) on fixe un repère orthonormé direct(O,~i,~j, ~k)tel que :

- l’axe(Oz)est l’axe du cône,

- la base du cône est située dans le plan(O,~i,~j), - le sommet a pour coordonnées cartésiennes(0,0, H).

puis on considère alors les coordonnées cylindriques associées.

(b) Le cône est alors l’ensemble des points dont les coordonnées(r, θ, z)vérifient les trois conditions :

θ∈[0,2π],z∈[0, H],r∈[0,R(H−z) H ].

Remarques : 1) la troisième condition exprime le fait que, pour une côtezdonnée, le rayon de la section du cône par un plan horizontal est un cercle de rayon variable (qui dépend dez).

2) on peut bien sûr choisir de fixer d’abordrentre 0 etR, puiszentre 0 et une borne qui dépend der.

3) l’ensemble de points dont les coordonnées vérifientθ∈[0,2π],z∈[0, H],r∈[0, R]

est uncylindreet non un cône.

(c) Le volume du cône est alors Z 2π

θ=0

Z H z=0

Z ^R(H_H^−z)

r=0

r dr dz dθ, qui se calcule par étapes successives :

Z 2π θ=0

Z H z=0

R²(H−z)² 2H² dz dθ, Z 2π

θ=0

[−R²(H−z)³ 6H² ]^H₀ dθ, 2πR²H³

6H² , soitπR²H/3.

Et la masse du cône estM =ρV =πρR²H/3.

(d) Pour le moment d’inertie, la méthode est la même : l’intégrale est celle der²dm = r²ρdV, soit

Z 2π θ=0

ZH z=0

Z ^R(H_H^−z)

r=0

r³ρ dr dz dθ, et la même technique donne comme va- leurπρR⁴H

20 .

En utilisant la valeur de la masse, on trouve3M R²/10.

(remarque : ce n’est pas le tiers du moment d’inertie du cylindre correspondant ! !)

6. L’objectif de l’exercice est de calculer l’intégrale R

−∞

e

dx, fon- damentale en probabilités, statistiques, métrologie...

On note R un réel positif puis

— C

le carré [ − R, R] × [ − R, R],

— D

le disque de centre O et rayon R,

— D

le disque de centre O et rayon √ 2R.

On note f (x, y) = e

. (a) Expliquer pourquoi R R

D_R¹

f d

S ≤ R R

CR

f d

S ≤ R R

D²_R

f d

S.

(b) En utilisant les coordonnées polaires, calculer R R

D¹_R

f d

S (c) Calculer de même R R

D²_R

f d

S (d) Calculer R R

C_R

f d

S en fonction de R

−R

e

dx (e) En déduire la valeur de R

−∞

e

dx.

corrigé succint : (a) La fonction est positive et les domaines d’intégration sont inclus les uns dans les autres (D_R¹ ⊂CR ⊂ D²_R) donc les intégrales (que l’on peut interpréter comme des volumes d’ensembles eux aussi inclus les uns dans les autres) vérifient bien l’inégalité demandée.

(b) R R

D¹Rf d²S = RR r=0

R2π

θ=0e^−r2rdrdθ = R2π

θ=0dθ × RR

r=0re^−r2dr = 2π × [−e^−r2/2]^R₀ =π(1−e^−R2)

(c) On trouve de mêmeπ(1−e^−2R2) (d) R R

CRfd²S =RR x=−R

RR

y=−Re^−x2e^−y2dxdy=RR

x=−Re^−x2dx×RR

y=−Re^−y2dy = (RR

−Re^−x2dx)²(les variables sont "muettes" dans ces intégrales : que la variable utilisée soitxouy, les valeurs des intégrales sont identiques)

(e) D’après les questions précédentes, on aπ(1−e^−R2) ≤ (R+R

−R e^−x2 dx) ≤ π(1− e^−2R2), donc en passant à la limite pourRtendant vers l’infini,π≤(R+∞

−∞e^−x2 dx)≤ πet donc l’intégrale (qui est positive)R+∞

−∞e^−x2 dxvaut√π.

7. a) Calculer le volume, la masse, le moment d’inertie par rapport à son centre d’une boule de rayon R et de masse volumique constante ρ.

b) Même question si la masse volumique n’est pas constante mais a pour expression ρ(r) = R

r + R ρ

.

c) Même question avec une sphère de masse surfacique σ constante.

corrigé succint : a) voir le cours...

b) le volume4/3πR³est bien entendu identique. Mais pour la masse la formule change : on calculeR R R

Bρ(r)r²sinθdrdθdϕ=R2π

ϕ=0dϕ×Rπ

θ=0sinθdθ×RR r=0

R

r+Rρ0r²dr, donc M = 4πRρ0RR

r=0

r² r+Rdr.

Si on pose la division du polynômer²parr+R(la variable étantr,Rest une constante) on trouver²= (r−R)(r+R) +R²donc r²

r+R =r−R+ R²

r+R, de primitive r²/2−Rr+R²ln(r+R), doncM = 4πRρ0(R²/2−R²+R²ln(2R)−R²ln(R)) soit finalementM = 4πRρ0(−R²/2 +R²ln(2)) = 4πR³ρ0(ln(2)−1/2).

Le résultat est cohérent :ln(2)−1/2<1/3, pour une boule moins dense en moyenne qu’une boule de masse volumique constanteρ0. Le moment d’inertie estI=R R R

Bρ(r)r²×r²sinθdrdθdϕ= 4πRρ0RR r=0

r⁴ r+Rdr= 4πRρ0RR

r=0(r³−r²R+rR²−R³+ R⁴ r+R)dr= 4πRρ0(R⁴/4−R⁴/3 +R⁴/2−R⁴+R⁴ln(2) = 4πR⁵ρ0(ln(2)−7/12).

2

c) La surface estR R

SσR²sinθdθdϕ=R²R2π

ϕ=0dϕ×Rπ

θ=0sinθdθ= 4πR². La masse est M= 4πσR². Le moment d’inertie vautR R

SσR²R²sinθdθdϕ= 4πσR⁴=M R².

exercices pratiques

1. On rappelle que le flux d’un champ de vecteurs à travers une surface S est R R

S

B. ~ ~ dS.

Calculer le flux à travers le rectangle horizontal [x

, x

+L] × [y

, y

+ H] d’un champ magnétique B ~ = B

e

e

( ~i + ~j + ~k) (α, β, x

, y

, L, H, B

étant des constantes)

corrigé succint : Ici le vecteur dS, normal à la surface, vaut dxdy~k, donc le produit scalaire B. ~~dS=B0e^{−α(x−x0)}e^{−β(y−y0)}dxdy.

L’intégrale est donc B0Rx0+L

x=x0

Ry0+H

y=y0 e^{−α(x−x0)}e^{−β(y−y0)}dxdy=B0(1−e^−αL)(1−e^−βH)

αβ .

3