1. d´eterminer si F est la fonction de r´epartition d’une VAR X ` a densit´e.

Lyc´ ee Dominique Villars Exercices ECE 2

R´ evisions - Variables al´ eatoires continues

Pour chacune des fonctions F suivantes :

1. d´eterminer si F est la fonction de r´epartition d’une VAR X ` a densit´e.

(i) F (x) = 1

1 + e ^{− x} (ii) F(x) =



 

 

0 si x < 0 1 −

1 + x 2

²

e ^{− x} si x > 0

(iii) F(x) = e ^x

e ^x + e ^{− x} (iv) F (x) =



 

 

0 si x < 2 1 − 9

3 ^x si x > 2

2. Si tel est le cas, d´eterminer une densit´e f de la VAR X puis l’esp´erance

(X) si elle existe.

Exercice 1.

Pour chacune des fonctions f suivantes :

1. d´eterminer si f est une densit´e d’une VAR X.

2. si tel est le cas, d´eterminer la fonction de r´epartition F de X.

3. si elles existent, calculer les valeurs de l’esp´erance et la variance de X.

4. d´eterminer les fonctions de r´epartitions et les densit´es des variables : Y = X ² , Z = aX + b , W = e ^X , T = | X |

(i) f (t) =



 

 

t e ^{− t2 2} si t > 0 0 si t < 0

(ii) f(t) =



 

 

 

  1

( − t) ³ si t < − 1 0 si t ∈ [ − 1, 1]

1

t ³ si t > 1 (iii) f (t) =



 

 

0 si t < 0 3

2 e ^{− t 2}

1 − e ^{− 2 t 2}

si t > 0

(iv) f (t) =



 

 

0 si t < 0

1

2 ln 2 e ^{− t} ln 1 + e ^{− t}

si t > 0

☛ pour (iv) utiliser le changement de variable u = e ^{− t} . Exercice 2.

Pour chacune des fonctions f suivantes :

1. d´eterminer a ∈ R pour que la fonction f soit une densit´e d’une loi de probabilit´e.

2. calculer, si elle existe, l’esp´erance de cette loi.

(i) f (t) =



 

  a

t ³ si t > 1 0 si t < 1

(ii) f (t) =

at(1 − t) si t ∈ [0 , 1]

0 si t / ∈ [0 , 1]

(iii) f (t) =

( a

√ t − 1 si t ∈ ]1 , 2]

0 si t / ∈ ]1 , 2] (iv) f (t) = ( a

t √

t si t > 2

0 si t < 2

Exercice 3.

1. D´eterminer a, b ∈ R pour que la fonction F d´efinie sur R par : F (x) =

( 0 si x < 2 a − b

x si x > 2 soit la fonction de r´epartition d’une certaine VAR X ` a densit´e.

2. La variable al´eatoire X admet-elle une esp´erance ? Si oui, d´eterminer sa valeur.

Exercice 4.

Soit X une variable al´eatoire dont une densit´e est la fonction f X d´efinie sur R par :

f X (t) =







e ^{−| x |} si − ln 2 6 x 6 ln 2 0 sinon

1. D´eterminer la fonction de r´epartition F X de la variable X.

2. On pose Y = | X | . D´eterminer la fonction de r´epartition G de Y puis montrer que Y est une variable

`

a densit´e et donner une densit´e de Y . Exercice 5.

Soit un r´eel a > 0 et la fonction f d´efinie sur R par f (x) = ae ^{− ax}

(1 + e ^{− ax} ) ²

V´erifier que f est une densit´e de probabilit´es et d´eterminer la fonction de r´epartition associ´ee.

Exercice 6.

Soit un entier naturel n > 3 et la fonction f n d´efinie sur R par f (x) =

( 0 si x < 1 n − 1

x ⁿ si x > 1

1. V´erifier que f n est une densit´e de probabilit´es et d´eterminer la fonction de r´epartition associ´ee.

On note W (n) la loi de probabilit´e associ´ee ` a la densit´e f n .

2. On note X, une variable al´eatoire suivant la loi W (n). Montrer que X poss`ede une esp´erance et justifier que : E(X) = n − 1

n − 2 .

3. Soit Y et Z deux variables al´eatoires suivant la loi W (n). On d´efinit les variables

I = min(Y, Z) S = max(Y, Z)

(a) D´eterminer la fonction de r´epartition de la variable S.

(b) En d´eduire que S est une variable continue et donner une densit´e f S de la variable S.

(c) Montrer que S poss`ede une esp´erance et que : E(S) = 2(n − 1) <sup>2</sup> (n − 2)(2n − 3) . (d) Apr`es avoir donner une relation liant Y, Z, S et I, d´eterminer la valeur de E(I).

Exercice 7.