Couples de variables al´ eatoires discr` etes

(1)

L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB2−2011-2012

D. Blotti`ere Math´ematiques

Chapitre XVIII

Couples de variables al´ eatoires discr` etes

Table des mati` eres

1 Couples, marginales et lois 2

2 Lois conditionnelles 3

3 Ind´ependance de variables al´eatoires 4

4 Formule de transfert pour les couples 4

5 Somme de variables al´eatoires 4

6 Covariance et coefficient de corr´elation lin´eaire 5

6.1 Covariance . . . 5 6.2 Coefficient de corr´elation lin´eaire . . . 6

(2)

Convention :Dans tout ce chapitre, on fixe un espace de probabilités (Ω,T, P). Toutes les variables aléatoires (excepté celles des exemples) seront supposées définies sur (Ω,T, P).

1 Couples, marginales et lois

Définition (couple de variables aléatoires discrètes, première et deuxième marginale, loi conjointe) 1. Un couple de variables aléatoires discrètes est une application :

Z: Ω→N²; ω7→(X(ω), Y(ω)) oùX etY sont deux variables aléatoires discrètes (finies ou infinies).

2. Soit (X, Y) un couple de de variables al´eatoires discr`etes.

(a) La variableX est appel´ee premi`ere marginale du couple (X, Y).

(b) La variableY est appel´ee deuxi`eme marginale du couple (X, Y).

(c) La loi conjointe du couple (X, Y) est la donn´ee de :

P([X =x]∩[Y =y]) pour toutx∈X(Ω) et pour touty∈Y(Ω).

Exemple 1 :On dispose de deux dés, un blanc et un rouge, tous deux non truqués, à 4 faces numérotées de 1

`

a 4. On lance ces deux d´es.

On noteB la variable aléatoire égale au chiffre amené par le dé blanc etRla variable aléatoire égale au chiffre amené par le dé rouge. On noteM = Max(B, R).

1. D´eterminerB(Ω) etM(Ω).

2. Calculer la loi du couple (B, M) et représenter le résultat à l’aide d’un tableau à double entrée.

M\B 1 2 3 4

1

2

3

4

3. Comparer (B, M)(Ω) etB(Ω)×M(Ω).

Notation :SoitX une variable al´eatoire discr`ete et soitf:X(Ω)→Rune application.

Le symbole

X

x∈X(Ω)

f(x) repr´esente :











n

X

i=1

f(xi) siX est finie etX(Ω) ={x1, x2, . . . , xn}

+∞

X

i=1

f(x_i)

| {z }

si convergence

siX est infinie etX(Ω) ={x1, x₂, . . . , x_n, . . .}

(3)

Théorème 1 (propriété de la loi conjointe) : Soit (X, Y) un couple de variables aléatoires discrètes.

Alors les séries éventuelles qui apparaissant dans la formule suivante (dans le cas où X ouY est infinie) sont convergentes et on a :

X

y∈Y(Ω)



 X

x∈X(Ω)

P([X =x]∩[Y =y])



= X

x∈X(Ω)



 X

y∈Y(Ω)

P([X=x]∩[Y =y])



= 1.

Preuve du théorème 1 dans le cas oùX etY sont finies

Exemple 1 (suite) :La somme de tous les nombres dans le tableau à double entrée donnant la loi conjointe de (B, M) vaut 1. On vérifie donc :

4

X

i=1







4

X

j=1

P([B=i]∩[M =j])

| {z }

somme de lai-i`eme colonne







=

4

X

j=1







4

X

i=1

P([B=i]∩[M =j])

| {z }

somme de laj-i`eme ligne







= 1.

Théorème 2 (de la loi conjointe aux lois des marginales) :Soit (X, Y) un couple de variables aléatoires discrètes.

1. Loi de la 1^`^ere marginale `a partir de la loi conjointe

La s´erie qui apparaˆıt ´evetuellement dans la formule suivante (siY est infinie) est convergente et on a :

∀x∈X(Ω), P([X =x]) = X

y∈Y(Ω)

P([X =x]∩[Y =y]).

2. Loi de la 2^`^eme marginale `a partir de la loi conjointe

La s´erie qui apparaˆıt ´evetuellement dans la formule suivante (siX est infinie) est convergente et on a :

∀y∈Y(Ω), P([Y =y]) = X

x∈X(Ω)

P([X=x]∩[Y =y]).

Preuve du théorème 2 dans le cas oùX est finie etY est infinie

Exemple 1 (suite)

1. Déterminer la loi de la première marginale B du couple (B, M), à l’aide de la loi conjointe de (B, M).

2. Déterminer la loi de la deuxième marginaleM du couple (B, M), à l’aide de la loi conjointe de (B, M).

2 Lois conditionnelles

Définition (lois conditionnelles) :Soit (X, Y) un couple de variables aléatoires discrètes.

1. Soity∈Y(Ω). La loi conditionnelle deX par rapport à [Y =y], notéeX /[Y =y], est la donnée de : P([X =x]/[Y =y])

pour toutx∈X(Ω).

2. Soitx∈X(Ω). La loi conditionnelle deY par rapport à [X=x], notéeY /[X =x], est la donnée de : P([Y =y]/[X=x])

pour touty∈Y(Ω).

Exemple 2 :SoientX etY deux variables al´eatoires discr`etes infinies telles que : (A) Y ∼ P(6)

(B) ∀m∈N, X /[Y =m]∼ B(m,¹₃).

D´eterminer la loi deX.

(4)

3 Ind´ ependance de variables al´ eatoires

Définition (notions d’indépendances de variables aléatoires) 1. Soient X et Y deux variables aléatoires discrètes.

On dit queX etY sont ind´ependantes si :

∀x∈X(Ω), ∀y∈Y(Ω), P([X =x]∩[Y =y]) =P(X =x)×P(Y =y).

2. Soient X₁, X₂, . . . , X_n des variables al´eatoires discr`etes.

(a) Les variables aléatoiresX₁, X₂, . . . , X_n sont dites deux à deux indépendantes si :

∀(i, j)∈J1, nK

2 tel quei6=j, les variables al´eatoiresX_i et X_j sont ind´ependantes.

(b) Les variables al´eatoires X1, X2, . . . , Xn sont dites mutuellement ind´ependantes si quels que soient x1∈X1(Ω),x2∈X2(Ω),. . .,xn∈Xn(Ω) :

P([X1=x1]∩[X2=x2]∩. . .∩[Xn=xn]) =P([X1=x1])×P([X2=x2])×. . .×P([Xn=xn]).

Exemple 1 (suite) : Montrer que les variablesB etM ne sont pas ind´ependantes.

Théorème 3 (transformation de variables aléatoires indépendantes)

SoientX etY deux variables aléatoires. Soientf:X(Ω)→Retg:Y(Ω)→Rdeux applications. Alors on a : X etY indépendantes =⇒ f(X) etg(Y) indépendantes.

4 Formule de transfert pour les couples

Th´eor`eme 4 (formule de transfert pour les couples)

Soit (X, Y) un couple de variables aléatoires discrètes. Soit u:N² → R une application. On suppose que la variable aléatoireZ=u(X, Y) admet une espérance (hypothèse vide siZ est finie).

Alors les s´eries qui apparaissent ´eventuellement dans la formule suivante convergent et on a :

E(Z) = X

x∈X(Ω)



 X

y∈Y(Ω)

u(x, y)P([X =x]∩[Y =y])



.

Exemple 1 (suite) : SoitS=B+M. CalculerE(S), sans d´eterminer la loi deS.

5 Somme de variables al´ eatoires

Théorème 5 (loi de la somme de deux variables aléatoires) :Soit (X, Y) un couple de variables aléatoires discrètes.

1. S =X+Y est une variable al´eatoire discr`ete.

2. La loi deS est donn´ee par :

∀s∈N, P(S=s) = X

x+y=s

P([X =x]∩[Y =y]).

3. SiX etY admettent une espérance (hypothèse vide siX et Y sont finies), alorsS admet une espérance et on a :

E(S) =E(X) +E(Y).

Exemple 1 (suite) : Calculer la loi deS=B+M et retrouver E(S).

(5)

Théorème 6 (somme de nvariables aléatoires de Bernoulli indépendantes et de même loi) Soitp∈]0,1[. SoientX₁, X₂, . . . , X_n des variables aléatoiresmutuellement indépendanteset suivant toutes la loi B(p).

Alors on a :

X1+X2+. . .+Xn ∼ B(n, p).

Preuve du th´eor`eme 6

Théorème 7 (somme de variables aléatoires binomiales indépendantes de même paramètrep) Soientm, n∈N^∗. SoientX etY deux variables aléatoires discrètes telles que :

(A) X∼ B(m, p) (B) Y ∼ B(n, p)

(C) X et Y sontind´ependantes.

Alors on a :

X+Y ∼ B(m+n, p).

Théorème 8 (somme de variables aléatoires de Poisson indépendantes) Soientλ, µ∈R^+∗. SoientX etY deux variables aléatoires discrètes telles que :

(A) X∼ P(λ) (B) Y ∼ P(µ)

(C) X et Y sontind´ependantes.

Alors on a :

X+Y ∼ P(λ+µ).

6 Covariance et coefficient de corr´ elation lin´ eaire

6.1 Covariance

Théorème 9 (espérance d’un produit dans le cas où il y a indépendance)

Soit (X, Y) un couple de variables aléatoires discrètes. On suppose que X et Y admettent toutes deux un moment d’ordre 2 (hypothèse vide siX et Y sont finies). Alors on a :

X etY ind´ependantes =⇒







XY admet une esp´erance et

E(XY) =E(X)E(Y).

Exemple 1 (suite) : Calculer l’esp´erance de la variable al´eatoireBR.

Définition (covariance) : Soit (X, Y) un couple de variables aléatoires discrètes. On suppose que X et Y admettent toutes deux un moment d’ordre 2 (hypothèse vide si X et Y sont finies). Alors la covariance deX etY est définie par :

Cov(X, Y) =E((X−E(X))(Y −E(Y))) =E(XY)−E(X)E(Y).

♥ Remarque 1

1. On a, d’après le théorème 9 :

X et Y indépendantes =⇒ Cov(X, Y) = 0 mais la réciproque est fausseen général.

2. La covariance deX etY est un indicateur de la d´ependance entre les variablesX et Y. Exemple 1 (suite) : Calculer Cov(B, R) et Cov(B, M).

(6)

Théorème 10 (propriétés de la covariance)

1. Soit (X, Y) un couple de variables aléatoires discrètes. On suppose queX etY admettent toutes deux un moment d’ordre 2 (hypothèse vide siX etY sont finies).

(a) Cov(X, Y) = Cov(Y, X) (b) Cov(X, X) =V(X)

(c) X+Y admet un moment d’ordre 2 et on a :

V(X+Y) =V(X) +V(Y) + 2 Cov(X, Y)

2. SoientX1, X2, . . . , Xn des variables al´eatoires admettant chacune un moment d’ordre 2. AlorsX1+X2+ . . .+Xn admet un moment d’ordre 2 et on a :

V(X₁+X₂+. . .+X_n) =V(X₁) +V(X₂) +. . .+V(X_n) + 2 X

1≤i<j≤n

Cov(X_i, X_j).

Théorème 11 (variance d’une somme dans le cas où il y a indépendance)

1. Soit (X, Y) un couple de variables aléatoires discrètes. On suppose queX etY admettent toutes deux un moment d’ordre 2 (hypothèse vide siX etY sont finies).

AlorsX+Y admet un moment d’ordre 2 et on a :

X et Y ind´ependantes =⇒ V(X+Y) =V(X) +V(Y).

2. Soient X₁, X₂, . . . , X_n des variables al´eatoires admettant chacune un moment d’ordre 2.

AlorsX₁+X₂+. . .+X_n admet un moment d’ordre 2 et on a :

X1, X2, . . . , Xn deux `a deux ind´ependantes =⇒ V(X1+X2+. . .+Xn) =V(X1)+V(X2)+. . .+V(Xn).

Exemple 3 :Soient p∈]0,1[ et n∈N^∗. Soit X une variable aléatoire de loiB(n, p). Retrouver l’espérance et la variance deX à l’aide des théorèmes 6 et 11.

6.2 Coefficient de corr´ elation lin´ eaire

Définition (coefficient de corrélation linéaire) : Soit (X, Y) un couple de variables aléatoires discrètes.

On suppose queX et Y admettent toutes deux un moment d’ordre 2 (hypoth`ese vide siX etY sont finies).

On suppose queσ(X)6= 0 etσ(Y)6= 0.

On définit le coefficient de corrélation linéaireρ(X, Y) du couple (X, Y) par : ρ(X, Y) = Cov(X, Y)

σ(X)σ(Y).

Théorème 12 (propriétés du coefficient de corrélation linéaire) : Soit (X, Y) un couple de variables aléatoires discrètes. On suppose queX etY admettent toutes deux un moment d’ordre 2 (hypothèse vide siX etY sont finies).

1. −1≤ρ(X, Y)≤1

2. ρ(X, Y) =±1 si et seulement si il existe (a, b)∈Rtel queP(Y =aX+b) = 1