Variables al´ eatoires discr` etes

(1)

L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB2−2011-2012

D. Blotti`ere Math´ematiques

Chapitre IX

Variables al´ eatoires discr` etes

Table des mati` eres

1 Généralités sur les variables aléatoires 2

2 Variables al´eatoires finies 5

3 Quelques lois usuelles pour les variables al´eatoires finies 9

3.1 Loi uniforme sur un ensemble fini . . . 9

3.2 Loi de Bernoulli . . . 10

3.3 Loi binomiale . . . 10

3.4 Loi hyperg´eom´etrique . . . 11

4 Variables aléatoires discrètes infinies 13 5 Quelques lois usuelles pour les variables aléatoires discrètes infinies 16 5.1 Loi géométrique . . . 16

5.2 Loi de Poisson . . . 17

(2)

1 G´ en´ eralit´ es sur les variables al´ eatoires

Notation :Dans cette partie, (Ω,T, P) désigne un espace de probabilités fixé.

Définition (variable aléatoire, ensemble des valeurs prises par une variable aléatoire) 1. Une variable aléatoireX est une applicationX: Ω→Rtelle que pour tout intervalle réelI:

X⁻¹(I) ={ω∈Ω : X(ω)∈I} (ensemble des antécédents des éléments deI parX) est un événement de (Ω,T), i.e. appartient àT.

2. SoitX une variable aléatoire. L’image de Ω parX, notéeX(Ω), définie par : X(Ω) ={X(ω) : ω ∈Ω}

est appel´ee ensemble des valeurs prises par la variable al´eatoire.

Remarque 1 :SoitX une variable al´eatoire.

1. Si I est un intervalle réel, alors X⁻¹(I) est une partie de Ω qui, par définition, est dans la tribu T. La probabilitéP(X⁻¹(I)) de cet événement est donc bien définie.

2. L’ensembleX(Ω) est une partie deR. Exemple 1

• Exp´erience al´eatoire

On lance trois fois de suite une pièce équilibrée et on considère le résultat obtenu.

• Modélisation de l’expérience aléatoire Le résultat

P ILE obtenu au premier lancer P ILE obtenu au deuxi`eme lancer F ACE obtenu au troisi`eme lancer

de l’expérience peut se modéliser par le triplet (P ILE, P ILE, F ACE). De fa¸con analogue, tout résultat de l’expérience peut être modélisé par un triplet de {P ILE, F ACE}. L’ensemble de tous les résultats possibles est donc assimilé à l’ensemble des triplets de{P ILE, F ACE}; on a donc :

Ω ={P ILE, F ACE}³.

Il s’agit d’un ensemble fini (à 8 éléments. On place dessus la tribu P(Ω). La pièce étant équilibrée, on considère la probabilité uniforme sur l’espace probabilisable (Ω,P(Ω)). On a donc pour tout événement A de Ω :

P(A) =Card(A)

Card(Ω) = Card(A)

8 .

• D´efinition de la variable al´eatoireX

On noteX la variable aléatoire égale au nombre deP ILEobtenu lors de l’expérience. Autrement dit,X est l’application

X: Ω→R, ω7→nombre deP ILE dans le tripletω

La variable al´eatoire peut prendre uniquement les valeurs 0,1,2,3. On a donc X(Ω) ={0,1,2,3}.

Remarque 2 :SoitX une variable aléatoire et soienta, b∈Rtels quea < b. Alors, par définition les parties de Ω suivantes sont des événements de (Ω,T).

[X =a] :=X⁻¹({a}) ={ω∈Ω : X(ω) =a}

[a≤X ≤b] :=X⁻¹([a, b]) ={ω∈Ω : a≤X(ω)≤b}

[a < X < b] :=X⁻¹(]a, b[) ={ω∈Ω : a < X(ω)< b}

[X ≤a] :=X⁻¹(]− ∞, a]) ={ω∈Ω : X(ω)≤a}

[X > a] :=X⁻¹(]a,+∞[) ={ω∈Ω : X(ω)> a}

(3)

Exemple 1 (suite)

• L’´ev´enement [X = 0] est{(F ACE, F ACE, F ACE)} et donc on a : P([X = 0]) = 1

8.

• L’´ev´enement [X = 1] est{(P ILE, F ACE, F ACE),(F ACE, P ILE, F ACE),(F ACE, F ACE, P ILE)}et donc on a :

P([X = 1]) = 3 8.

• L’´ev´enement [X = 2] est {(P ILE, P ILE, F ACE),(P ILE, F ACE, P ILE),(F ACE, P ILE, P ILE)} et donc on a :

P([X = 2]) = 3 8.

• L’´ev´enement [X = 3] est{(P ILE, P ILE, P ILE)} et donc on a : P([X = 3]) = 1

8.

• On a [X <1] = [X = 0] et donc :

P([X <1] = 1 8.

• On a [X ≤1] = [X = 0] ∪ [X = 1] (r´eunion disjointe) et donc :

P([X ≤1]) =P([X= 0]) +P([X= 1]) = 1 2.

• L’événement [X <0] est l’événement impossible∅ et donc : P([X <0]) = 0.

• L’événement [X ≤4] est l’événement certain Ω et donc : P([X≤4]) = 1.

Définition (fonction de répartition d’une variable aléatoire) :SoitXune variable aléatoire. La fonction de répartition deX est la fonctionFX définie par :

FX:R→[0,1], x7→P([X ≤x]).

Exemple 1 (suite)

• Calcul de la fonction de r´epartitionFX de la variableX

FX:R→[0,1] ; x7→











P([X ≤x]) =P(∅) = 0, six <0 P([X ≤x]) =P([X = 0]) =1

8 , si 0≤x <1 P([X ≤x]) =P([X = 0]) +P([X= 1]) = 1

2 , si 1≤x <2 P([X ≤x]) =P([X= 0]) +P([X= 1]) +P([X = 2]) = 7

8 , si 2≤x <3

P([X ≤x]) =P([X = 0]) +P([X= 1]) +P([X = 2]) +P(X = 3) = 1, six≥3

(4)

• Repr´esentation graphique de FX

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

−0.2

1 2 3 4 5

−1

−2

[

b b b b

• Lien entre la représentation graphique deFX et le diagramme des fréquences cumulées croissantes Si on ne conserve que les points où se produisent les sauts dans la représentation graphique deFX et si on joint chacun de ces points à son projeté orthogonal aur l’axe des abscisses, on retrouve le diagramme des fréquences cumulées croissantes.

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

−0.2

1 2 3 4

−1

• Quelques propriétés de la fonction de répartitionFX

– La fonction FX est croissante surR.

– En tout point deR,FX est continue `a droite et admet une limite (finie) `a gauche.

– Les points de discontinuit´e co¨ıncident avec les valeurs prises parX.

– Si x0 est un point de discontinuit´e deFX (i.e. une valeur prise parX), alors P[X =x0] =FX(x0)− lim

x→x⁻₀

FX(x).

– On a FX(x) →

x→−∞0 etFX(x) →

x→+∞1.

(5)

Théorème 1 (propriétés de la fonction de répartition d’une variable aléatoire quelconque) :Soit X une variable aléatoire et soitFX sa fonction de répartition.

1. Pour tousx1, x2∈Rtels que x1≤x2, on a :

P([x1< X ≤x2]) =FX(x2)−FX(x1).

2. La fonctionFX est croissante surR.

3. La fonctionFX est continue `a droite et admet une limite finie `a gauche (cadlag) en tout point deR.

4. Les comportements asymptotiques deFX en−∞et en +∞sont donn´es par : FX(x) →

x→−∞0 et FX(x) →

x→+∞1.

Preuve partielle

1. Soient x1, x2∈Rtels quex1≤x2. On a :

[X≤x2] = [X ≤x1] ∪ [x1< X≤x2] (r´eunion disjointe) et donc :

P([X ≤x2])

| {z }

F_X(x2)

=P([X≤x1])

| {z }

F_X(x1)

+P([x1< X≤x2]), d’o`u :

P([x1< X ≤x2]) =FX(x2)−FX(x1).

2. Soient x1, x2∈Rtels quex1≤x2. Montrons queFX(x1)≤FX(x2).

FX(x1)≤FX(x2) ⇐⇒ 0≤FX(x2)−FX(x1)

⇐⇒ 0≤P([x1< X ≤x2]) (d’apr`es 1.)

Comme P([x1 < X ≤ x2]) est une probabilit´e, elle est positive ou nulle. On en d´eduit que FX(x1) ≤ FX(x2).

Remarque 3 :Dans le théorème 1, l’existence d’une limite à droite et d’une limite à gauche pourFX en tout point deRdécoule du fait queFX est croissante surR. Dans l’assertion 3., la propriété supplémentaire est donc la continuité à droite deFX en tout point deR.

2 Variables al´ eatoires finies

Soit (Ω,T, P) un espace de probabilit´es fix´e.

Définition (variable aléatoire finie) : Une variable aléatoire finie est une variable aléatoireX ne prenant qu’un nombre fini de valeurs, i.e. telle queX(Ω) est un ensemble fini.

Exemple 1 (suite) :On a vu queX(Ω) ={0,1,2,3}. C’est un ensemble fini, donc la variable al´eatoireX est finie.

Remarque 4 (système complet d’événements associé à une variable aléatoire finie) : Soit X une variable aléatoire finie et soitX(Ω) ={x1, x2, . . . , xn} l’ensemble de ses valeurs. Alors :

([X =x1],[X =x2], . . . ,[X =xn])

est un système complet d’événements, appelé système complet d’événements canonique associé à la variable aléatoire finieX). Par suite, on a :

Xn

k=1

P([X =xk]) = P





 [n

k=1

[X=k]

| {z }

Ω







(additivit´e)

= P(Ω)

= 1.

(6)

Définition (loi de probabilité d’une variable aléatoire finie) :SoitX une variable aléatoire finie et soit X(Ω) ={x1, . . . , xn} l’ensemble de ses valeurs.

1. La loi de probabilité deX est la donnée desnprobabilitésP([X =x1]), . . . , P([X =xn]).

2. La loi de X peut être représentée par un tableau, comme suit.

k x1 x2 . . . xn

P([X=k]) valeur de P([X =x1])

valeur de

P([X =x2]) . . . valeur de P([X =xn])

Exemple 1 (suite) : La loi de probabilit´e deX est donn´ee par : P([X = 0]) = 1

8 , P([X = 1]) = 3

8 , P([X = 2]) = 3

8 , P([X = 3]) = 1 8. On peut la repr´esenter par le tableau suivant.

k 0 1 2 3

P([X =k]) 1 8

3 8

1 8

On v´erifie que :

P([X = 0]) +P([X= 1]) +P([X = 2]) +P([X = 3]) = 1.

Théorème 2 (propriétés de la fonction de répartition d’une variable aléatoire finie) : SoitX une variable aléatoire finie et soit FX sa fonction de répartition. On note x1, x2, . . . , xn ses valeurs rangées dans l’ordre croissant, i.e. :

X(Ω) ={x1, . . . , xn} et x1< x2< . . . < xn. 1. La fonctionFX est une fonction en escalier, croissante surR.

2. En tout point deR,FX est continue `a droite et admet une limite finie `a gauche.

3. Pour toutx∈]− ∞, x1[,FX(x) = 0 et pour tout x∈[xn,+∞[,FX(x) = 1.

4. L’ensemble des points de discontinuité deFX co¨ıncide avecX(Ω), i.e. est égal à{x1, . . . , xn}.

5. On a : 





P([X =x1]) =FX(x1) et

∀k∈J2, nK P([X =xk]) =FX(xk)−FX(xk−1) .

⋄ Preuve du th´eor`eme 2

Remarque 5 : La fonction de répartitionFX d’une variable aléatoire finieX permet de retrouver sa loi. En effet, d’après la propriété 4., l’ensembleX(Ω) est l’ensemble des points de discontinuité de FX et la propriété 5. permet de calculer chacune des probabilitésP([X =x]), oùx∈X(Ω). On donne un exemple de ce passage

fonction de r´epartitionFX ; loi deX ci-apr`es.

(7)

Exemple 2 :Soit

F:R→[0,1], x7→











0 six <1 1

5 si 1≤x <3 1

2 si 3≤x <4 3

4 si 4≤x <5 1 six≥5 la fonction de r´epartition d’une certaine variable al´eatoire finieX.

1. L’ensemble des points de discontinuit´e deFX est{1,3,4,5}. Par suiteX(Ω) ={1,3,4,5}.

2. La loi de X est donn´ee par : P([X = 1]) = 1

5 P([X = 3]) =1

2 −1 5 = 3

10 P([X = 4]) = 3

4 −1 2 =1

4 P([X = 5]) = 1−3

4 =1 4. 3. On v´erifie que :

P([X = 1]) +P([X = 2]) +P([X = 3]) +P([X = 4]) = 1.

Définition (espérance mathématique d’une variable aléatoire finie) :SoitXune variable aléatoire finie et soitX(Ω) ={x1, . . . , xn}l’ensemble de ses valeurs. L’espérance mathématique deX est le nombre réel défini par :

E(X) = Xn

k=1

xk P([X =xk]).

L’espérance est aussi appelée valeur moyenne de la variable aléatoireX. Exemple 1 (suite) :On rappelle que la loi deX est donnée par :

k 0 1 2 3

P([X =k]) 1 8

3 8

1 8

On a donc :

E(X) = 0×1

8+ 1×3

8+ 2×3

8+ 3×1 8 = 12

8 =3 2.

Théorème 3 (formule de transfert pour une variable aléatoire finie) : SoitX une variable aléatoire finie et soitX(Ω) ={x1, . . . , xn}l’ensemble de ses valeurs. Soit de plus Φ :X(Ω)→Rune application.

1. Alors Φ◦X: Ω→Rest une variable al´eatoire, not´ee Φ(X).

2. On a :

E(Φ(X)) = Xn

k=1

Φ(xk)P([X =xk]).

(8)

Exemple 1 (suite) :D’apr`es la formule de transfert, on a : E

1 X+ 1

= 1

0 + 1×1 8 + 1

1 + 1 ×3 8+ 1

2 + 1×3 8+ 1

3 + 1×1 8

= 1

8 + 3 16+1

8 + 1 32

= 15 32.

Définition (moments d’ordre p d’une variable aléatoire finie) : SoitX une variable aléatoire finie et soitX(Ω) ={x1, . . . , xn}l’ensemble de ses valeurs. Soitp∈N^∗. On appelle moment d’ordrepdeX le nombre réelE(X^p). D’après la formule de transfert, le moment d’ordrepdeX est :

E(X^p) = Xn

k=1

x^p_kP([X=xk]).

Exemple 1 (suite) :Le moment d’ordre 2 de la variable al´eatoireX est donn´e par : E X²

= 0²×1

8 + 1²×3

8 + 2²×3

8+ 3²×1 8

= 24 8

= 3.

Définition (variance et écart-type d’une variable aléatoire finie) :Soit X une variable aléatoire finie et soitX(Ω) ={x1, . . . , xn} l’ensemble de ses valeurs. On posem=E(X).

1. La variance de X est le r´eel positif d´efini par : V(X) = E((X−m)²)

= Xn

k=1

(xk−m)²P([X =xk]) (d’apr`es la formule de transfert).

2. L’écart-type deX est le réel positif défini par : σ(X) =p

V(X).

Remarque 6

1. Si E(X) = 0, on dit queX est centr´ee.

2. Si V(X) = 1, on dit queX est r´eduite.

3. L’´ecart-type mesure la dispersion des valeurs de la variable al´eatoireX autour de la valeur moyenneE(X).

Théorème 4 (formule de Koenig-Huyghens) :SoitXune variable aléatoire finie et soitX(Ω) ={x1, . . . , xn} l’ensemble de ses valeurs. On posem=E(X). Alors on a :

V(X) = E(X²)−m²

= Xn

k=1

x²_k P([X=xk])

!

−m² (d’apr`es la formule de transfert).

(9)

⋄ Preuve de la formule de Koenig-Huyghens

Exemple 1 (suite et fin) : On a calcul´e auparavant E(X) = 3

2 et E(X²) = 3. D’apr`es la formule de Koenig-Huyghens, on a donc :

V(X) = 3− 3

2 2

= 3 4.

Théorème 5 (effet d’une transformation affine sur l’espérance et la variance) : SoitX une variable aléatoire finie. Soientaet bdeux nombres réels. Alors on a :

E(aX+b) =a E(X) +b et V(aX+b) =a²V(X).

3 Quelques lois usuelles pour les variables al´ eatoires finies

Soit (Ω,T, P) un espace probabilis´e fix´e.

3.1 Loi uniforme sur un ensemble fini

Définition (loi uniforme sur un ensemble fini) : SoitX une variable aléatoire finie dont l’ensemble des valeurs est notéX(Ω) ={x1, . . . , xn}. On dit que X suit la loi uniforme sur X(Ω) = {x1, . . . , xn} si chacune desnvaleursx1, . . . , xn que peut prendreX a la même probabilité d’apparaˆıtre, i.e. si

∀i∈J1, nK P([X =xi]) = 1 n. Dans ce cas, on noteX ∼ U({x1, . . . , xn}).

Remarque 7 : Comme

Xn

i=1

1 n = 1

n Xn

i=1

1

| {z }

n−1+1

= 1 n n= 1

la loi uniforme sur{x1, . . . , xn}est bien une loi. (On a justement choisi les valeurs de chacune des probabilités P([X=xi]) (i∈J1, nK) pour que cette propriété soit vérifiée.)

Exemple 3 : On jette un dé équilibré à 6 faces et on note X la variable aléatoire égale au nombre obtenu.

AlorsX(Ω) =J1,6Ket X∼ U(J1,6K).

Théorème 6 (espérance et variance d’une variable aléatoire suivant la loi U(J1, nK)) :Soient n∈N^∗ et soitX une variable aléatoire telle queX ∼ U(J1, nK). Alors :

E(X) =n+ 1

2 et V(X) =n²−1 12 .

⋄ Preuve du th´eor`eme 6 :On s’appuie sur les deux formules sommatoires : Xn

k=1

k= n(n+ 1)

2 et

Xn

k=1

k²=n(n+ 1)(2n+ 1)

6 .

⋄ Exemple 4 :SoitX une variable aléatoire telle queX ∼ U(J0, nK). CalculerE(X) etV(X) en appliquant les théorème 5 et 6.

Situation typique o`u l’on reconnaˆıt une loi uniforme

Une variable aléatoire finie X suit la loi uniforme sur X(Ω) si chacune des valeurs que peut prendreX a la même probabilité d’apparaˆıtre.

(10)

3.2 Loi de Bernoulli

Définition (loi de Bernoulli) :SoientX une variable aléatoire finie etp∈]0,1[. On dit queX suit la loi de Bernoulli de paramètrepsi :

(1) X(Ω) ={0,1}

(2) P([X= 0]) = 1−p (3) P([X= 1]) =p.

Dans ce cas, on noteX ∼ B(p).

Remarque 8

1. Commep+ (1−p) = 1, la loi de Bernoulli de param`etrepest bien une loi.

2. Les propriétés (1) et (2) impliquent la propriété (3) dans la précédente définition.

Modèle d’urne de référence :On considère une urne contenant des boules blanches et des boules noires.

On notepla proportion de boules blanches et (1−p) la proportion de boules noires, avec 0< p <1 (on a donc au moins une boule blanche et au moins une boule noire).

On tire une boule de l’urneau hasard.

On noteX la variable aléatoire égale à 1 (^≪succès^≫) si la boule tirée est blanche et égale à 0 (^≪échec^≫) sinon.

On a alorsX(Ω) ={0,1},P([X = 0]) = 1−pet P([X = 1]) =p. AinsiX∼ B(p).

Théorème 7 (espérance et variance d’une variable aléatoire suivant la loiB(p)) :SoitX une variable aléatoire suivant la loi de Bernoulli de paramètrep∈]0,1[. Alors :

E(X) =p et V(X) =p(1−p).

Situation typique o`u l’on reconnaˆıt une loi de Bernoulli

Une variable aléatoire finie X suit une loi de Bernoulli si son ensemble de valeurs X(Ω) est{0,1}. Dans ce cas, le paramètrepde la loi de Bernoulli est donné parp=P([X = 1]).

3.3 Loi binomiale

Définition (loi binomiale) :SoientX une variable aléatoire finie et soientn∈N^∗ etp∈]0,1[. On dit queX suit la loi binomiale de paramètre (n, p) si :

(1) X(Ω) =J0, nK

(2) ∀k∈J0, nK P([X =k]) =C_n^kp^k(1−p)^n−k. Dans ce cas, on noteX ∼ B(n, p).

Remarque 9 : On a : Xn

k=0

C_n^kp^k (1−p)^n−k = (p+ (1−p))ⁿ (formule du binˆome de Newton)

= 1

et donc la loi binomiale de paramètre (n, p) est bien une loi. Le nom de la loi binomiale est lié au fait que la formule du binôme de Newton intervient pour vérifier que l’on a bien une loi.

On tire au hasard, successivement n (n ∈N^∗) boules avec remiseet on note X la variable al´eatoire ´egale au

(11)

nombre de boules blanches tir´ees (^≪succ`es^≫).

AlorsX(Ω) =J0, nKet pour toutk∈J0, nK: P([X =k]) = C_n^k

|{z}

choix de la place deskblanches

p^k

|{z}

probabilit´e d’avoir kblanches

(1−p)^n−k

| {z }

probabilit´e d’avoir (n−k) noires

et doncX ∼ B(n, p).

Remarque 10 : Soitp∈]0,1[. La loi binomialeB(1, p) et la loi de BernoulliB(p) co¨ıncident.

Théorème 8 (espérance et variance d’une variable aléatoire suivant la loi B(n, p)) : Soit X une variable aléatoire finie suivant la loi binomiale de paramètre (n, p), avecn∈N^∗ et p∈]0,1[. Alors :

E(X) =np et V(X) =np(1−p).

Preuve du théorème 8 :SoitX une variable aléatoire suivant la loiB(n, p). Le moment d’ordre 1 deX (i.e.

l’espérance deX) a été calculé dans l’exercice 62 (feuille d’exercices n˚4). Le moment d’ordre 2 deX a lui aussi

été calculé dans l’exercice 62. On en déduit le résultat pour la variance de X, en appliquant le théorème de Koenig-Huyghens.

Situation typique o`u l’on reconnaˆıt une loi binomiale

• On considère un schéma de Bernoulli, i.e. une expérience aléatoire avec comme seules issues 0 (^≪échec^≫) et 1 (^≪succès^≫). On notepla probabilité d’obtenir 1 (i.e. la probabilité d’avoir^≪succès^≫) dans cette expérience.

• On répètenfois de fa¸conindépendantele schéma de Bernoulli.

• Alors la variable aléatoireX égale au nombre de 1 (^≪succès^≫) obtenus suit la loi binomiale de paramètre (n, p).

3.4 Loi hyperg´ eom´ etrique

Rappels

1. Soient n∈N. Soitk∈N. Alors on d´efinit le coefficient binomialC_n^k par :

C_n^k=









 n!

k! (n−k)! sik≤n 0 sik > n

.

En d’autres termes, on étend la définition donnée en première année, en prenant comme valeur 0 pourC_n^k

≪`a l’ext´erieur du triangle de Pascal^≫.

2. Avec la définition précédente pour les coefficients binomiaux, on a :

∀(a, b)∈N² ∀n∈J0, a+bK

Xn

k=0

C_a^k C_b^n−k = C_a+bⁿ (formule de Vandermonde).

Notons que certains coefficients binomiaux apparaissant dans la somme du premier membre de l’égalité peuvent être nuls. Cette formule a été démontrée dans l’exercice 63 (feuille d’exercices n˚4).

Définition (loi hypergéométrique) :SoitX une variable aléatoire finie. SoientN ∈N^∗, n∈N^∗ etp∈]0,1[

tels que :n≤N etN p∈N.

On dit queX suit la loi hypergéométrique de paramètre (N, n, p) si : (1) X(Ω)⊂J0, nK

(2) ∀k∈J0, nK P([X=k]) =C_{N p}^k C_N^n−k_(1−p) C_Nⁿ . Dans ce cas, on noteX ∼ H(N, n, p).

(12)

Remarque 11 : On a : Xn

k=0

C_{N p}^k C_N(1−p)^n−k

C_Nⁿ = 1

C_Nⁿ Xn

k=0

C_{N p}^k C_N^n−k_(1−p) (C_Nⁿ ne d´epend pas de l’indice de sommationk)

= 1

C_Nⁿ C_Nⁿ







formule de Vandermonde avec a=N p∈N

b=N(1−p) =N−N p∈N a+b=N p+N−N p=N







= 1

et donc la loi hypergéométrique de paramètre (N, n, p) est bien une loi.

Deux modèles d’urne de référence :On considère une urne dans laquelle il y aaboules blanches (deux à deux discernables) etbboules noires (deux à deux discernables), aveca, b∈N^∗.

On noteN=a+ble nombre total de boules dans l’urne etp= a

N la proportion de boules blanches dans l’urne.

• Premier mod`ele d’urne : tirages simultan´es (; combinaisons)

On tire au hasard, simultan´ement,nboules de l’urne (n≤N =a+b) et on noteX la variable al´eatoire

´egale au nombre de boules blanches obtenues.

AlorsX(Ω)⊂J0, nK. Soitk∈J0, nK. On a :

P([X =k]) =

nombre de fa¸cons de choisir k blanches parmi lesablanches

z}|{

C_a^k

nombre de fa¸cons de choisir (n−k) noires parmi lesbnoires

z }| { C_b^n−k C_Nⁿ

|{z}

nombre de fa¸cons de choisir n boules parmi lesN

Commep= a

N, on aa=N p.De plus,a+b=N donc :

b=N−a=N−N p=N(1−p).

On a ainsi P([X =k]) = C_{N p}^k C_N(1−p)^n−k

C_Nⁿ .Par suiteX∼ H(N, n, p).

• Deuxi`eme mod`ele d’urne : tirages successifs, sans remise (; arrangements)

On tire au hasard, successivement, sans remise, n boules de l’urne (n ≤ N = a+b) et on note X la variable al´eatoire ´egale au nombre de boules blanches obtenues.

AlorsX(Ω)⊂J0, nK. Soitk∈J0, nK. On a :

P([X =k]) =

nombre de fa¸cons de choisir la place des k blanches dans la suite desnboules

z}|{

C_n^k

nombre de fa¸cons de choisir une suite de kblanches parmi les ablanches

z}|{

A^k_a

nombre de fa¸cons de choisir une suite de (n−k) noires parmi lesbnoires

z }| { A^n−k_b Aⁿ_N

|{z}

nombre de fa¸cons de choisir une suite de nboules parmi lesN

Or :

A^k_a = a!

(a−k)!=k!C_a^k ; A^n−k_b = b!

(b−(n−k))! = (n−k)!C_b^n−k ; Aⁿ_N = N

(N−n)! =n!C_Nⁿ

(13)

et donc :

P([X =k]) = n!

(n−k)!k!

k!C_a^k(n−k)!C_b^n−k n!C_Nⁿ

= C_a^kC_b^n−k C_Nⁿ

= C_{N p}^k C_N^n−k_(1−p)

C_Nⁿ (cf. fin du calcul dans le premier mod`ele d’urne).

On a doncX ∼ H(N, n, p).

Remarque 12 : Soitp∈]0,1[. La loiB(p) et la loiH(1,1, p) co¨ıncident.

Théorème 9 (espérance et variance d’une variable aléatoire suivant la loi H(N, n, p)) :Soit X une variable aléatoire suivant la loi hypergéométrique de paramètre (N, n, p), avecN≥2. Alors on a :

E(X) =np et V(X) =np(1−p) N−n N−1.

Preuve du théorème 9 :Cf. chapitreVecteurs aléatoires.

Situation typique où l’on reconnaˆıt une loi hypergéométrique

• On considère une population de N individus scindée en deux catégories : les individus de typeA et les individus de typeB. On note pla proportion d’individus de type A.

• On prélève simultanément (ou successivement, sans remise) n individus, au hasarddans la population.

• Alors la variable aléatoireX égale au nombre d’individus de type A obtenus suit la loi hypergéométrique de paramètre (N, n, p).

4 Variables al´ eatoires discr` etes infinies

Définition (variable aléatoire discrète infinie) : Une variable aléatoire X est appelée variable aléatoire discrète infinie si son ensemble de valeursX(Ω) est une partie infinie de l’ensembleNdes entiers naturels.

Remarque 13 (système complet d’événements associé à une variable aléatoire discrète infinie) : SoitX est une variable aléatoire finie et soitX(Ω) ={x1, x2, . . . , xn, . . .} ⊂Nson ensemble de valeurs. Alors :

([X =x1],[X =x2], . . . ,[X =xn], . . .)

est un système complet d’événements, appelé système complet d’événements canonique associé à la variable aléatoire discrète infinieX. D’après le cours sur les séries, la série de terme généralP([X =xn]) (n∈N^∗) est convergente et :

+∞X

k=1

P([X=xk]) = P







+∞[

k=1

[X=xk]

| {z }

Ω







(σ-additivit´e)

= P(Ω)

= 1.

(14)

Exemple 5 : On jette une pièce truquée, avec probabilitép∈]0,1[ que PILE apparaisse, jusqu’à ce que l’on obtienne PILE .

On noteX la variable aléatoire égale au nombre de lancers effectués. AlorsX(Ω) =N^∗.

Définition (loi de probabilité d’une variable aléatoire discrète infinie) :SoitX une variable aléatoire discrète infinie dont l’ensemble des valeurs estX(Ω) ={x1, x2, . . . , xn, . . .} ⊂N.

La loi de probabilité deX est la donnée des probabilitésP([X =xk]) pour toutk∈N^∗.

Exemple 5 (suite) :On poseq= 1−p. On a vu queX(Ω) =N^∗. La loi de probabilit´e deX est donn´ee par :

∀k∈N^∗ P([X =k]) =

probabilit´e de n’avoir que des FACE lors des n −1 premiers lancers

z }| {

q^k−1 ×

probabilit´e d’avoir un PILE lors du n-i`eme lancer

z}|{p .

On vérifie que la série de terme généralq^k−1p(k∈N^∗) converge et que sa somme vaut 1.

1. Pour toutk∈N^∗ :

q^k−1p= p qq^k.

D’après le cours sur les séries, on sait que la série de terme généralq^k est convergente (−1< q <1). Par linéarité, la série de terme généralq^k−1pest donc également convergente.

2. De ce qui précède, on déduit que :

+∞X

k=1

q^k−1p =

+∞X

k=1

p qq^k

= p

q

+∞X

k=1

q^k (lin´earit´e)

= p

q





+∞X

k=0

q^k

!

− 1

|{z}

k=0



 (relation de Chasles)

= p

q



 1 1−q− 1

|{z}

k=0



 (cf. cours sur les séries géométriques)

= p

q q 1−q

= 1 (car 1−q=p).

Théorème 10 (propriétés de la fonction de répartition d’une variable aléatoire discrète infinie) : Soit X une variable aléatoire discrète infinie et soit FX sa fonction de répartition. On note X(Ω) = {x1, . . . , xn, . . .}l’ensemble de ses valeurs. On suppose que les valeurs sont ordonnées, i.e. que :x1< x2< . . . <

xn < . . ..

1. La fonctionFX est une fonction en escalier, croissante surR.

2. En tout point deR,FX est continue `a droite et admet une limite (finie) `a gauche.

3. Pour toutx∈]− ∞, x1[,FX(x) = 0 etFX(x) →

x→+∞1.

4. L’ensemble des points de discontinuité deFX co¨ıncide avecX(Ω), i.e. est égal à{x1, . . . , xn, . . .}.

5. On a : 





P([X =x1]) =FX(x1) et

∀k∈N^≥2 P([X =xk]) =FX(xk)−FX(xk−1) .

(15)

Remarque 14 :La fonction de répartitionFX d’une variable aléatoire finieX permet de retrouver sa loi. En effet, d’après la propriété 4., l’ensembleX(Ω) est l’ensemble des points de discontinuité de FX et la propriété 5. permet de calculer chacune des probabilitésP([X =x]), oùx∈X(Ω).

Définition (espérance mathématique d’une variable aléatoire discrète infinie) :SoitX une variable aléatoire discrète infinie et soitX(Ω) ={x1, x2, . . . , xn, . . .}l’ensemble de ses valeurs.

1. On dit queX admet une espérance mathématique si la série de terme généralxkP([X =xk]) converge.

2. Si X admet une espérance mathématique, alors on définit l’espérance mathématique deX comme étant le réel :

E(X) =

+∞X

k=1

xkP([X =xk]).

L’espérance est aussi appelée valeur moyenne de la variable aléatoireX.

⋄ Exemple 5 (suite) : En s’aidant du cours sur les séries géométriques dérivées, on montre queE(X) = 1 p. Théorème 11 (formule de transfert pour une variable aléatoire discrète infinie) :SoitXune variable aléatoire discrète infinie et soitX(Ω) ={x1, x2, . . . , xn, . . .}l’ensemble de ses valeurs. Soit de plus Φ :X(Ω)→N une application.

1. Alors Φ◦X: Ω→Rest une variable al´eatoire, not´ee Φ(X).

2. La variable aléatoire Φ(X) admet une espérance si et seulement si la série de terme général Φ(xk)P([X=xk])

converge.

3. Si Φ(X) admet une esp´erance, alors on a : E(Φ(X)) =

Xn

k=1

Φ(xk)P([X =xk]).

Définition (moments d’ordrepd’une variable aléatoire discrète infinie) :SoitX une variable aléatoire discrète infinie et soitX(Ω) ={x1, x2, . . . , xn, . . .}l’ensemble de ses valeurs. Soitp∈N^∗.

1. On dit que X admet un moment d’ordrepsi la série de terme généralx^p_k P([X =xk]) converge (ou bien si la variable aléatoireX^p admet une espérance, ce qui est équivalent d’après la formule de transfert).

2. Si X admet un moment d’ordrep, alors on définit le moment d’ordrepdeX comme étant le réelE(X^p).

D’apr`es la formule de transfert, on a :

E(X^p) =

+∞X

k=1

x^p_k P([X =xk]).

Remarque 15 : Soientp, q∈N^∗ tels quep≤q. Si une variable aléatoire discrète infinie possède un moment d’ordreq, alors elle possède un moment d’ordrep.

Définition (variance et écart-type d’une variable aléatoire discrète infinie) : Soit X une variable aléatoire discrète infinie et soitX(Ω) ={x1, x2, . . . , xn, . . .}l’ensemble de ses valeurs. On suppose queX admet une espérance et on posem=E(X).

1. On dit queX admet une variance si la série de terme général (xk−m)²P([X =xk]) converge (ou bien si la variable aléatoire (X−m)² admet une espérance, ce qui est équivalent d’après la formule de transfert).

2. Si X admet une variance, alors la variance de X est le r´eel positif d´efini par : V(X) = E((X−m)²)

=

+∞X

k=1

(xk−m)²P([X =xk]) (formule de transfert).

(16)

3. Si X admet une variance, alors l’écart-type deX est le réel positif défini par : σ(X) =p

V(X).

Théorème 12 (formule de Koenig-Huyghens) : Soit X une variable aléatoire discrète infinie et soit X(Ω) = {x1, x2, . . . , xn, . . .} l’ensemble de ses valeurs. On suppose que X admet une espérance et on pose m=E(X).

1. La variableX admet une variance si et seulement si elle admet un moment d’ordre 2.

2. Si X admet une variance (ou un moment d’ordre 2), alors on a : V(X) = E(X²)−m²

=

+∞X

k=1

x²_kP([X =xk])

!

−m² (formule de transfert).

Exemple 5 (suite et fin) : En s’aidant du cours sur les séries géométriques dérivées secondes, on calcule le moment d’ordre 2 deX. En appliquant le théorème de Koenig-Huyghens et en utilisantE(X) =1

p, on obtient : V(X) = q

p².

Théorème 13 (effet d’une transformation affine sur l’espérance et la variance) :SoitX une variable aléatoire discrète infinie. Soienta∈Qetb∈Ztels que :

∀x∈X(Ω) ax+b∈N.

1. Si X admet une esp´erance, alors la variableaX+badmet aussi une esp´erance et on a : E(aX+b) =a E(X) +b.

2. Si X admet une variance, alors la variable aX+b admet aussi une variance et on a : V(aX+b) =a²V(X).

5 Quelques lois usuelles pour les variables al´ eatoires discr` etes infi- nies

5.1 Loi g´ eom´ etrique

Définition (loi géométrique) :SoientX une variable aléatoire discrète infinie etp∈]0,1[. On poseq= 1−p.

On dit queX suit la loi géométrique de paramètrepsi : (1) X(Ω) =N^∗

(2) ∀k∈N^∗ P([X=k]) =p q^k−1. Dans ce cas, on noteX ∼ G(p).

Exemple 6 : La variable aléatoire étudiée au cours de l’exemple 5 suit, par définition, la loi géométrique de paramètrep. On a vérifié, au début de l’étude, que la loi géométrique est bien une loi (en s’appuyant sur le cours sur les séries géométriques).

On tire une bouleau hasard,successivementdes boulesavec remise et on noteX la variable al´eatoire ´egale au

(17)

nombre de tirages effectu´es pour avoir la premi`ere boule blanche.

AlorsX(Ω) =N^∗ (on tire au moins une fois dans l’urne) et pour tout k∈N^∗ :

P([X =k]) =

probabilit´e de n’avoir tir´e que des noires lors des k − 1 premiers tirages

z }| {

q^k−1 ×

probabilit´e d’avoir une blanche lors du k-i`eme tirage

z}|{p .

et doncX ∼ G(p).

Théorème 14 (espérance et variance d’une variable aléatoire suivant la loiG(p)) :SoitX une variable aléatoire suivant la loi géométrique de paramètrep∈]0,1[. Alors X admet une espérance et une variance et on a :

E(X) =1

p et V(X) = q p² o`uq= 1−p.

Preuve du théorème 14 :Elle a été donnée au cours de l’étude de l’exemple 5.

Situation typique où l’on reconnaˆıt une loi géométrique

• On considère un schéma de Bernoulli, i.e. une expérience aléatoire avec comme seules issues 0 (^≪échec^≫) et 1 (^≪succès^≫). On notepla probabilité d’obtenir 1 (i.e. la probabilité d’avoir^≪succès^≫) dans cette expérience.

• On répète de fa¸con indépendante le schéma de Bernoulli jusqu’à l’obtention d’un premier 1 (^≪succès^≫).

• Alors la variable aléatoire X égale au nombre de répétitions effectuées pour obtenir le premier 1 (^≪succès^≫) suit la loi géométrique de paramètrep.

5.2 Loi de Poisson

Définition (loi de Poisson) : SoitX une variable aléatoire discrète infinie. Soitλ∈R^+∗. On dit queX suit la loi de Poisson de paramètreλsi :

(1) X(Ω) =N

(2) ∀k∈N P([X =k]) =λ^k k! e^−λ. Dans ce cas, on noteX ∼ P(λ).

Remarque 16 : Il n’existe pas d’expérience de référence ^≪simple^≫ menant à une loi de Poisson. Elle est prise comme modèle dans certaines situations, e.g. :

1. pour dénombrer le nombre de clients se présentant dans un magasin pendant une période donnée ; 2. pour dénombrer le nombre d’appels re¸cus par un standard téléphonique pendant une période donnée ; 3. pour dénombrer le nombre de véhicules franchissant un poste de péage pendant une période donnée.

On verra plus tard qu’elle apparaˆıt comme^≪loi limite^≫ d’une loi binomiale.

Remarque 17 : Soitλ∈R^+∗. D’après le cours sur les séries, on sait que la série de terme généralλ^k

k! converge et que :

+∞X

k=0

λ^k k! =e^λ. Par linéarité la série de terme général λ^k

k! e^−λ est convergente et on a :

+∞X

k=0

λ^k

k! e^−λ=e^−λ

+∞X

k=0

λ^k k!

!

=e^−λe^λ= 1.

(18)

La loi de Poisson de param`etreλest donc bien une loi.

Théorème 15 (espérance et variance d’une variable aléatoire suivant la loiP(λ)) :SoitX une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètreλ >0. AlorsX admet une espérance et une variance et on a :

E(X) =λ et V(X) = λ.

Preuve du th´eor`eme 15

1. Le cours sur les séries exponentielles dérivées nous permet de calculer aisément l’espérance de X, en utilisant la propriété de linéarité.

2. En s’aidant du cours sur les séries exponentielles dérivées secondes, on calcule le moment d’ordre 2 deX. En appliquant le théorème de Koenig-Huyghens et en utilisantE(X) =λ, on obtient :V(X) =λ.