L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB2−2010-2011
D. Blotti`ere Math´ematiques
Feuille d’exercices n˚20
Couples de variables al´ eatoires discr` etes
Exercice 265 : On lance une pi`ece ´equilibr´ee 5 fois de suite. On s’int´eresse notamment au nombre de s´eries de FACE. Par exemple, (F P F F F) comporte deux s´eries de FACE. On note X la variable al´eatoire ´egale au nombre de FACE etY la variable al´eatoire ´egale au nombre de s´eries de FACE.
1. D´eterminer la loi conjointe du couple (X, Y). On pr´esentera le r´esultat sous forme d’un tableau.
2. D´eterminer la loi deX et la loi deY.
3. Calculer Cov(X, Y). Que peut-on en d´eduire ?
Exercice 266 : On s’int´eresse `a la production d’un arbre fruitier. On appelle X le nombre de fleurs port´ees par cet arbre. On suppose queX ∼ P(λ), o`uλ >0[. Chaque fleur a une probabilit´e 0,5 de donner un fruit. On appelleY la variable al´eatoire ´egale au nombre de fruits port´es par l’arbre. D´eterminer la loi deY.
F Exercice 267 : Une urne contient N boules blanches ou noires. La proportion de boules blanches est p (p∈]0,1[), celle de boules noiresq= 1−p. On tire nboules de l’urne simultan´ement.
On noteX le nombre de boules blanches tir´ees.
Les boules blanches sont num´erot´ees de 1 `a N p. On note, pour tout i∈J1, N pK, Xi la variable al´eatoire ´egale
`
a 1 si la boule blanche n˚iest tir´ee et 0 sinon.
1. Quel lien existe-t-il entre les variablesX, X1, X2, . . . , XN p? 2. Reconnaˆıtre la loi deX et la loi deXi, pour touti∈J1, N pK. 3. CalculerE(Xi) et V(Xi), pour touti∈J1, N pK.
4. Calculer pour tout (i, j)∈J1, N pKtel quei6=j la covariance de (Xi, Xj).
5. En d´eduireE(X) et V(X).
Exercice 268 : Une urne contient N jetons num´erot´es de 1 `a N (N ≥3). On tire successivement 3 jetons, sans remise. On noteXi le num´ero du jeton extrait lors dui-`eme tirage, pour touti∈J1,3K.
1. D´eterminer les lois deX1, X2 etX3.
2. Les variables al´eatoiresX1, X2, X3sont-elles deux `a deux ind´ependantes ? 3. Calculer Cov(Xi, Xj) pour tout (i, j)∈J1,3K
2 tel que i6=j.
4. SoitS=X1+X2+X3. CalculerE(S) etV(S).
Exercice 269
1. SoitX une variable al´eatoire telle que :
X(Ω) =N et
∀n∈N P([X=n]) = 1 4
1 +an n!
. (a) D´eterminer le r´eela.
(b) Calculer l’esp´erance math´ematique deX.
2. SoitY une variable al´eatoire sur (Ω,T, P) de mˆeme loi queX. On suppose que les variables al´eatoiresX et Y sont ind´ependantes. D´eterminer la loi deZ =X+Y.
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F Exercice 270 : Soient X et Y deux variables al´eatoires suivant toutes les deux une loi g´eom´etrique de param`etrep(p∈]0,1[). On suppose que les variables al´eatoiresX et Y sont ind´ependantes. Soit D la variable al´eatoire d´efinie par :
D=
Y −X siY > X ; 0 sinon. 1. Donner la loi de D.
2. CalculerE(D) si elle existe.
Exercice 271 : Soient X et Y deux variables al´eatoires ind´ependantes qui suivent des lois de Poisson de param`etres respectifsλetµ. On poseS =X+Y. Soitnun entier. ´Etudier la loi conditionnelle deX /[S=n].
Exercice 272 : On consid`ere une entreprise de construction produisant des objets sur deux chaˆınes de montage Aet B qui fonctionnent ind´ependamment l’une de l’autre. Pour une chaˆıne donn´ee, les fabrications des pi`eces sont ind´ependantes. On suppose que A produit 60% des objets et B produit 40% des objets. La probabilit´e qu’un objet construit par la chaˆıneAsoit d´efectueux est 0.1 alors que la probabilit´e pour qu’un objet construit par la chaˆıneB soit d´efectueux est 0.2.
1. On choisit au hasard un objet `a la sortie de l’entreprise. On constate que cet objet est d´efectueux. Calculer la probabilit´e de l’´ev´enement l’objet provient de la chaˆıne A.
2. On suppose de plus que le nombre d’objets produits en une heure parA est une variable al´eatoireY qui suit une loi de Poisson de param`etreλ= 20.On consid`ere la variable al´eatoireX repr´esentant le nombre d’objets d´efectueux produits par la chaˆıneAen une heure.
(a) Rappeler la loi deY ainsi que les valeurs de l’esp´erance et de la variance deY. (b) Soitn∈N. D´eterminer la loi conditionnelle deX /[Y =n].
(c) En d´eduire queX suit une loi de Poisson de param`etre 2 .
F Exercice 273
1. D´emontrer quex=1
2 est l’unique solution surR+ de l’´equation (E) : 2xe2x−1= 1.
2. Soit (X, Y) un couple de variables al´eatoires discr`etes `a valeurs dansN2 de loi conjointe donn´ee par :
∀(i, j)∈N2 P([X =i]∩[Y =j]) = (i+j)ai+j e i!j! . (a) D´eterminer le r´eela.
(b) D´eterminer les lois marginales.
Exercice 274 : Dans une succession de PILE ou FACE, pour laquelle la probabilit´e d’obtenir PILE estp∈]0,1[
et la probabilit´e d’obtenir FACE estq= 1−p, on noteX le rang d’apparition du premier PILE etY le rang d’apparition du deuxi`eme PILE.
1. D´eterminerX(Ω) etY(Ω).
2. Calculer pour toutn∈X(Ω),k∈Y(Ω) la probabilit´e :
P([X =n]∩[Y =k]).
3. En d´eduire la loi deX et la loi deY.
Exercice 275 : Soient X1, X2 deux variables al´eatoires ind´ependantes, de variances respectives σ21 et σ22 suppos´ees toutes deux non nulles. Calculer les coefficients de corr´elation lin´eaire deS =X1+X2 et de D = X1−X2.
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