4 Théorème spectral et calcul fonctionnel 4.1 Résultats préliminaires

(1)

4 Th´ eor` eme spectral et calcul fonctionnel

4.1 R´ esultats pr´ eliminaires

Nous présentons ici quatre résultats qui seront utilisés dans la suite. Les deux premiers théorèmes sont bien connus, et nous renvoyons aux livres [Ric09,Rev84]

pour leur d´emonstration. SoitX un espace m´etrique compact etC(X) l’espace des fonctions continuesf :X →C.

Théorème 4.1 (Riesz–Markov). Soit � : C(X) → C une fonctionnelle linéaire telle que �(f) ≥ 0 pour toute f ∈ C(X) positive et �(1) = m > 0, où1désigne la fonction identiquement égale à1. Alors il existe une mesureµ sur X telle queµ(X) =m et

�(f) =

�

X

f dµ pour toutf ∈C(X). (4.1)

Soit maintenantX un espace métrique complet séparable. On noteL^∞(X) l’espace des fonctions f : X → R boréliennes bornées et Cb(X) ⊂L^∞(X) le sous-espace des fonctions continues. Soit{gn} ⊂L^∞(X) une suite. On dit que {gn} b-converge vers g ∈L^∞(X) si sup_n,x|gn(x)| <∞ et gn(x)→ g(x) pour toutx∈X.

Th´eor`eme 4.2 (lemme des classes monotones). La classe L^∞(X) est l’espace vectoriel minimal contenantCb(X)et stable pour la b-convergence.

SoitRl’espace des fonctions rationnelles born´ees surRetC( ˙R) l’espace des fonctions continues sur R qui convergent vers une limite quand |x| → ∞. Le r´esultat suivant sera utile pour la construction du calcul fonctionnel continu.

Lemme 4.3. L’espace Rest dense dans C( ˙R).

Démonstration. Soitf ∈C( ˙R). Sans perte de généralité, on peut supposer que f(x)→0 quand|x| → ∞. Dans ce cas

f(x) = lim

ε→0⁺

ε π

�

R

f(y)

(x−y)²+ε²dy,

où la limite est uniforme par rapport à x∈ R. Il s’ensuit que, uniformément par rapport àx∈R, on a

f(x) = lim

ε→0⁺ lim

R→∞

ε π

� R

−R

f(y)

(x−y)²+ε²dy. (4.2) Remarquons maintenant que la fonction

gε,x(z) = 1

(x−z)²+ε², z∈C,

(2)

est holomorphe dans la bande|Imz|< ε. Par cons´equent, pour touty0∈Ron peut ´ecrire

gε,x(y) =

�∞ k=0

g^(k)ε,x(y0)

k! (y−y0)^k,

où la série converge uniformément pour|z−y0| ≤ε/2 etx∈R. Cette représen- tation implique que l’intégrale dans (4.2) peut être approchée uniformément enx∈Rpar des fonctions rationnelles bornées.

Enfin, le dernier résultat donne, pour tout opérateur auto-adjointAdans un espace de HilbertH, une représentation deH comme la somme directe de sous- espaces invariants qui possèdent un vecteur cyclique. Plus précisément, un sous espaceH^� ⊂H est ditinvariant parAsi Rλ(A)H^� ⊂H^� pour toutλ∈C\R. Pour un sous-espace invariantH^�, on dit que ψ∈H^� est unvecteur cycliquesi le sous-espace engendré parRλ(A)ψ avecλ∈C\Rest dense dansH^�.

Proposition 4.4. SoitAun op´erateur auto-adjoint dansH. Alors il existe des sous-espaces invariants Hn,n= 1,2, . . . , N, avec N ≤ ∞, tels que

H =

�N

n=1

Hn, (4.3)

et pour toutnle sous-espaceHn poss`ede un vecteur cycliqueψn∈ D(A).

Démonstration. Soit{ϕj} ⊂H une suite dense dansH. Alors l’espace vectoriel engendré par la famille {Rλ(A)ϕj, j ≥ 1, λ ∈ C\R} est dense dans H. On noteH1le sous-espace vectoriel fermé engendré parRλ(A)ϕ1avecλ∈C\Ret on fixeλ0∈C\R. AlorsH1est un sous-espace invariant pourAetψ1:=Rλ0(A)ϕ1

est un vecteur cyclique. Soit j1 ≥ 2 l’entier minimal tel que ϕj1 ∈/ H1 et ψ2=Rλ0(ϕj1−PH1ϕj1). On définitH2comme l’espace vectoriel fermé engendré parRλ(A)ψ2avecλ∈C\R. Il est facile à voir queH1andH2sont des espaces orthogonaux et queψ2 est un vecteur cyclique pour l’espace invariant H2. En réitérant cette procédure, on obtient un entier N ≤ ∞ et une suite (finie ou infinie) d’espaces invariants orthogonaux{Hn}avec des vecteurs cycliquesψn. Comme{ϕj}engendre tout l’espaceH etiλRiλ(A)→Ipour la topologie forte quandλ→+∞, on conclut que (4.3) a lieu.

4.2 Calcul fonctionnel continu

Pourλ∈C, on noterλ(x) = (λ−x)⁻¹. Le théorème suivant permet de définir, de fa¸con naturelle, des opérateurs de la formef(A) avecf ∈C( ˙R).

Théorème 4.5. SoitA un opérateur auto-adjoint dansH. Alors il existe une unique applicationΦ:C( ˙R)→ L(H) avec les propriétés suivantes.

(i) Pour tout λ∈C\R, on a Φ(rλ) =Rλ(A).

(3)

(ii) Φ est un homomorphisme alg´ebrique; c’est-`a-dire,

Φ(f g) =Φ(f)Φ(g), (4.4) Φ(λf+g) =λΦ(f) +Φ(g), (4.5) Φ(1) =I, Φ( ¯f) =Φ(f)^∗, (4.6) où1désigne la fonction identiquement égale à1.

De plus,Φpossède les propriétés suivantes:

(iii) Φ préserve la positivité; c’est-à-dire, sif ≥0, alors Φ(f)≥0.

(iv) Pour tout f ∈C( ˙R), on a

�Φ(f)�L(H)≤sup

x∈R|f(x)|. (4.7)

(v) Si {fn} ⊂ C( ˙R) est une suite telle que sup_n,x|fn(x)|<∞ et fn(x)→0 uniform´ement sur tout interval born´e, alors

Φ(fn)→^s 0 quandn→ ∞. (4.8)

Dans la suite, on ´ecrit parfoisΦ(f) =f(A).

Démonstration. Nous allons construire le calcul fonctionnel en deux étapes : d’abord pour les fonctions rationnelles et après, en utilisant un argument d’appro- ximation, pour les fonctions continues avec une limite à l’infini.

Etape 1.´ Rappelons qu’on note R l’ensemble des fonctions rationnelles bornées sur R. Montrons qu’il existe une unique application Φ : R → L(H) vérifiant (i)–(iii). En effet, toute fonction rationnelle bornée surRest représen- table comme la somme d’une constante et de certaines fonctions de la forme

qλ(x) =

�k

j=1

cj

(λ−x)^j, x∈R,

où λ∈C\Ret cj ∈C. De plus, cette représentation est unique. Tout homomorphisme algébrique vérifiant (i) est uniquement défini surqλ:

Φ(qλ) =

�k

j=1

cjR^j_λ(A).

Ces observations impliquent immédiatement l’unicité de Φ, ainsi que les pro- priétés (i), (4.5) et (4.6). Pour terminer la construction de Φ sur R, il nous reste à vérifier la relation (4.4).

On peut supposer quef =g. Soit f(z) =

�N

k=1 mk

�

j=1

cjk

(λk−x)^j,

(4)

où cjk ∈Cet λk �=λl pourk�=l. En vertu de la linéarité, il suffit de montrer que

Φ�

(λk−x)⁻^j(λl−x)⁻ⁿ�

=R^j_λ_k(A)Rⁿ_λ_l(A). (4.9) Cette égalité est évidente si k = l. Supposons que k �= l et donc λk �= λl. Sans perte de généralité, on peut supposer aussi que n≥j, et on raisonne par récurrence par rapport à n≥1 etj ≤n. Pourn=j= 1, on a

(λk−x)⁻¹(λl−x)⁻¹= (λl−λk)⁻¹�

(λk−x)⁻¹−(λl−x)⁻¹�

. (4.10) En utilisant l’identit´e r´esolvante (1.2), on obtient

Φ�

(λk−x)⁻¹(λl−x)⁻¹�

= (λl−λk)⁻¹Φ�

(λk−x)⁻¹−(λl−x)⁻¹�

= (λl−λk)⁻¹�

Rλk(A)−Rλl(A)�

=Rλk(A)Rλl(A).

Cette ´egalit´e est confondue avec (4.9) pourj =n= 1. Supposons maintenant quen ≥2, j ≤n et que la relation (4.9) avec j =j^� et n=n^� est vraie pour n^�< netj^� ≤n^�, ainsi que pourn^�=netj^� ≤j−1. Alors (4.10) implique

(λk−x)⁻^j(λl−x)⁻ⁿ

= (λl−λk)⁻¹�

(λk−x)^−j(λl−x)⁻⁽ⁿ⁻¹⁾−(λk−x)^−(j−1)(λl−x)⁻ⁿ� . En utilisant l’hypoth`ese de r´ecurrence, on obtient

Φ�

(λk−x)⁻^j(λl−x)⁻ⁿ�

= (λl−λk)⁻¹�

R^j_λ_k(A)Rⁿ_λ_l⁻¹(A)−R^j_λ⁻_k¹(A)Rⁿ_λ_l(A)� L’application de l’identité résolvante achève la démonstration de (4.4).

Etape 2. On veut utiliser maintenant le lemme 4.3 afin de prolonger´ Φ à l’espaceC( ˙R). Pour cela il suffit de montrer l’inégalité (4.7) pour tout f ∈ R. En effet, une fois cette inégalité sera établie, on pourra étendreΦ à C( ˙R) par continuité et vérifier la propriété (ii) par passage à la limite. La démonstration l’inégalité (4.7) est basée sur la propriété (iii) deΦque nous allons maintenant

´etablir.

Montrons d’abord que sif ∈ R est positive sur R, alors il existeg ∈ R tel que f(z) = g^∗(z)g(z), où g^∗(z) = g(¯z). En effet, il existent des polynômes P etQtels queQ(x)�= 0 pourx∈Ret

f(z) = P(z)

Q(z) = P(z)Q^∗(z)

|Q(z)|² .

Commef(x)≥0 pour x∈R, les racines réelles du polynôme P(z)Q^∗(z) sont de multiplicité paire et pour toute racinez_∗∈C\Rson conjugué complexe ¯z_∗ est aussi une racine. On peut donc écrire

P(z)Q^∗(z) =a

�m

j=1

(z−xj)²

�n

l=1

(z−zl)(z−¯zl),

(5)

oùa >0,xj∈Retzl∈C\R. On conclut que la représentation cherchée a lieu avec

g(z) =√

a Q(z)⁻¹

�m

j=1

(z−xj)

�n

l=1

(z−zl).

Supposons maintenant quef ∈ Rsoit une fonction positive sur R. Alors il existeg∈ Rtel que f(x) =|g(x)|². Les relations (4.4) et (4.6) impliquent que

Φ(f) =Φ(¯gg) =Φ(¯g)Φ(g) =Φ(g)^∗Φ(g), d’o`u on conclut queΦ(f)≥0.

On d´emontre maintenant (4.7). Supposons quef ∈ Rest tel que|f(x)| ≤1 pourx∈R. On veut montrer que�Φ(f)�L(H)≤1. Pour toutu∈H, on ´ecrit

�u�²−�

Φ(f)u, Φ(f)�

= (u−Φ(f)^∗Φ(f), u) =�

Φ(1− |f|²)u, u�

≥0, où on a utilisé la positivité de Φ. Comme u ∈ H est quelconque, on obtient l’inégalité cherchée.

Nous avons montr´e queΦ:R → L(H) admet une unique extension continue

à l’espaceC( ˙R). De plus, on obtient par continuité les propriétés (iii) et (iv). Il nous reste à montrer (v). Pour toute fonction rationnellegqui converge vers zéro

à l’infini, la suite{fng} converge vers zéro uniformément sur R. D’après (iv), on a Φ(fng) →0 dans L(H). Comme {Φ(g)u, u ∈ H, g ∈ R, g→0 à l’infini} est dense dansH, on conclut queΦ(fn)→0 pour la topologie forte.

4.3 Th´ eor` eme sur la repr´ esentation spectrale

Le résultat suivant est un analogue du théorème spectral pour les opérateurs auto-adjoints bornés dans le cas d’opérateurs non bornés.

Théorème 4.6. SoitAun opérateur auto-adjoint dans un espace de HilbertH. Alors il existe un espace mesuré (X,B) munie d’une mesure de probabilité µ, une isométrie U : H → L²(X, µ) et une fonction mesurable a : X → R finie µ-presque partout tels que

U AU⁻¹=Ma, (4.11)

oùMa désigne l’opérateur de multiplication para(x).

Démonstration. Il suffit de considérer le cas où A possède un vecteur cyclique et montrer qu’on puisse choisir une mesureµ avec la masse totale donnée. En effet, supposons que ce résultat soit vrai. D’après la proposition 4.4, l’espaceH est représentable sous la forme (4.3). On fixecn >0 tels que�

ncn= 1. Pour chaquen, on peut construire un espace mesuré (Xn,Bⁿ, µn) avec µn(Xn) =cn, une isométrieUn :Hn →L²(Xn, µn) et une fonctionan tels queUnAnU_n⁻¹ = Man, où An désigne la restriction deA à Hn. On définit maintenant l’espace X = �N

n=1Xn muni de la tribu minimale B engendr´ee par Bⁿ, 1 ≤ n ≤ N, et de l’unique mesureµ sur X telle queµ(Γ) = µn(Γ) pour Γ∈ Bⁿ. De plus,

(6)

soit a:X →R telle quea(x) = an(x) pourx∈Xn. On d´efinit une isom´etrie U :H →L²(X, µ) par la relation

U

��N n=1

ϕn

�

(x) = (Unϕn)(x) pour x∈Xn, o`u�

nϕn est la décomposition associée à (5.2). Il est facile à vérifier que toutes les propriétés requises sont satisfaites.

On fixe maintenantc >0 et on suppose queψ∈H est un vecteur cyclique pour A tel que �ψ�² = c. Alors {Rλ(A)ψ, λ ∈ C\R} est dense dans H.

Consid´erons la fonctionnelle�:C( ˙R)→Cd´efinie par

�(f) =�

f(A)ψ, ψ�

pour f ∈C( ˙R).

C’est une fonctionelle continue telle que�(1) =c. CommeC( ˙R) est isom´etrique

à l’espace des fonctions continues sur un cercleS, d’après le théorème de Riesz–

Markov, il existe une unique mesure ˜µsurSde la masse totalec telle que

�f(A)ψ, ψ�

=

�

Rf dµ pour f ∈C( ˙R), (4.12) o`u on noteµla mesure sur l’espaceR∪ {∞}(la compactification deR) associ´ee

à ˜µ. Montrons que µ({∞}) = 0. Soit {fn} ⊂ C0(R) une suite de fonctions telles que 0≤fn≤1 etfn→1 uniformément sur tout intervalle borné. Alors, d’après la propriété (v) du théorème 4.5 on a

µ(R) = lim

n→∞

�

Rfndµ= lim

n→∞

�fn(A)ψ, ψ�

= (ψ, ψ) =c.

Commecest la masse totale de ˜µ, on conclut queµ({∞}) = 0.

Soit maintenant l’espace X = R muni de la tribu borélienne B et de la mesureµ. On définit une applicationU sur un sous-espace dense deH à valeurs dansL²(X, µ) par la formule

U� f(A)ψ�

=f pourf ∈C( ˙R). (4.13)

Alors on a

��U�

f(A)ψ��²

L²(X,µ)=

�

X|f|²dµ=�

|f|²(A)ψ, ψ�

=��f(A)ψ��².

Comme l’espace C( ˙R) est dense dans L²(X, µ), on peut prolonger U par con- tinuité à une isométrie entre H et L²(X, µ). Montrons que la relation (4.11) a lieu avec la fonctiona(x) =x.

D’apr`es (4.13), pour toutes fonctionsf, g∈C( ˙R) on a U�

g(A)(f(A)ψ)�

=gf.

(7)

CommeU est une isom´etrie, il s’ensuit que U�

g(A)v�

=g(U v) pour toutv∈H. (4.14) Prenons dans cette égalité gn(x) = λn(λnrλn(x)−1) avec λn = in. Comme gn=xˆgn avec ˆgn(x) =λnrλn(x), on peut écrire

U(gn(A)v) =U(ˆgn(A)Av) =gn(x)(U v)(x) pour toutv∈ D(A).

La propriété (v) du théorème 4.5 implique que les deux premiers termes de cette

égalité convergent dans L²(X, µ). Il en est donc de même pour le membre de droite, qui ne peut converger que versx(U v)(x). On a montré queU v∈ D(Mx) et U(Av) =Mx(U v). Réciproquement, supposons que h∈ D(Mx). Alors, en prenantv =U⁻¹het g=gn dans la relation (4.14) et la multipliant parU⁻¹, on obtient

gn(A)U⁻¹h=A�

λnRλn(A)U⁻¹h�

=U⁻¹(ˆgnMxh).

Soitvn=λnRλn(A)U⁻¹h. Alorsvn→U⁻¹h, et la relation ci-dessous implique Avn →U⁻¹(Mxh) dansH. CommeAest fermé, on conclut queU⁻¹h∈ D(A) etAU⁻¹h=U⁻¹(Mxh). Ceci achève la démonstration de (4.11).

Le théorème 4.6 permet d’établir facilement des propriétés supplémentaires de l’applicationΦconstruite dans théorème 4.5.

Corollaire 4.7. L’applicationΦ:C( ˙R)→ L(H)construite dans le théorème 4.5 possèdent les propriétés suivantes.

(i) Soit {fn} ⊂ C( ˙R) une suite b-convergeant vers une fonction f ∈ C( ˙R).

AlorsΦ(fn)→Φ(f)pour la topologie forte.

(ii) Soitfn ∈C( ˙R),fn(x)→xpour toutx∈Ret|fn(x)| ≤ |x|. Alors Φ(fn)u→Au pour toutu∈ D(A).

(iii) Si Au=λu, alorsΦ(f)u=f(λ)upour toutf ∈C( ˙R).

Démonstration. Considérons une applicationΦ^� :C( ˙R)→ L(H) définie par

Φ^�(f) =U⁻¹Mf(a)U, (4.15)

où l’isométrieU et la fonctionasont celles du théorème 4.6. Il est facile à vérifier queΦ^� possèdent les propriétés (i)–(iii) du théorème 4.5. Par l’unicité, on doit avoir Φ^� = Φ. CommeU est une isométrie, il suffit de montrer les propriétés (i)–(iii), en supposant queH:L²(X, µ),A=Ma etf(A) =Mf(a).

La propriété (i) est une conséquence immédiate du théorème de Lebesgue sur la convergence dominée. Pour montrer (ii), remarquons que si u∈ D(A), alorsu, au∈L²(X, µ). Il s’ensuit que

Φ(fn)u=fn(a)u→au dansL²(X, µ),

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où on a utilisé le fait que |fn(a)u| ≤ |au|, ainsi que le théorème de Lebesgue.

Enfin, pour établir (iii), il suffit de remarquer queu∈L²(X, µ) est un vecteur propre deMaavec une valeur propreλsi est seulement si l’ensemble Γ :=a⁻¹(λ) a uneµ-mesure positive etu(x) =C IΓ(x), oùC�= 0. On a donc

f(A)u=C Mf(a)IΓ =Cf(λ)IΓ=f(λ)u.

Ceci termine la d´emonstration du corollaire.

4.4 Calcul fonctionnel bor´ elien

Rappelons que L^∞(R) désigne l’ensemble des fonctions f :R→Cboréliennes bornées. Nous allons maintenant établir un résultat qui permet de définirf(A) pour toutf ∈L^∞(R).

Théorème 4.8. Soit A un opérateur auto-adjoint dans H. Alors il existe une unique application Φ : L^∞(R) → L(H) vérifiant les propriétés (i), (ii) du théorème 4.5 et telle que Φ(fn) →^s Φ(f) pour toute suite {fn} ⊂ L^∞(R) qui b-converge versf. De plus,Φpréserve la positivité, vérifie l’inégalité(4.7)pour toute fonctionf ∈L^∞(R)et possède les propriétés suivantes.

(i) Si fn∈L^∞(R),fn(x)→xpour toutx∈Ret|fn(x)| ≤ |x|, alors Φ(fn)u→Au pour toutu∈ D(A).

(ii) Si Au=λu, alorsΦ(f)u=f(λ)upour toutf ∈L^∞(R).

Démonstration. Montrons d’abord l’existence. On note L²(X, µ), a: X → R etU l’espace, la fonction et l’isométrie construits dans le théorème 4.5. On pose alors

Φ(f) =U Mf(a)U⁻¹, f ∈L^∞(R).

On vérifie facilement toutes les propriétés requises.

Pour d´emontrer l’unicit´e, nous allons utiliser le lemme des classes monotones.

Supposons qu’il existe une autre application Φ^� : L^∞(R) → L(H) vérifiant les propriétés décrites dans le théorème. On note

F={f ∈L^∞(R) :Φ(f) =Φ^�(f)}.

Alors, d’après le théorème 4.5, on a F ⊃ C( ˙R). De plus, grace à la propriété de continuité, si {fn} ⊂ F b-converge vers f ∈ L^∞(R), alors f ∈ F. Le théorème 4.2 implique queF ⊃L^∞(R), d’où on conclut queΦ=Φ^�.