I R´ esultats pr´ eliminaires

Devoir maison n˚6

MP Clemenceau 2020-2021 Pour le mercredi 10 mars 2021

Notations

Sinet psont des entiers naturels non nuls, on noteMn,p(IR) l’espace vectoriel des matrices r´eelles `anlignes etp colonnes etMn(IR) l’espace vectoriel des matrices carr´eesMn,n(IR). On d´efinit de fa¸con analogueMn,p(C) etMn(C).

La transpos´ee d’une matrice A de Mn,p(IR) est not´ee ^tA. On rappelle qu’une matrice A de Mn(IR) est dite sym´etrique si ^tA=Aet qu’elle est diteantisym´etrique si ^tA=−A.

Le sous-espace vectoriel deMn(IR) constitu´e des matrices sym´etriques est not´eSn(IR). Le sous-espace vectoriel deMn(IR) constitu´e des matrices antisym´etriques est not´eAn(IR).

Le groupe des matrices orthogonales `anlignes etncolonnes est not´eO_n(IR).

On noteI_n la matrice identit´e dansMn(IR).

Pour toute matrice carr´eeA∈Mn(IR), on noteA_s = ¹₂(A+ ^tA) etA_a = ¹₂(A− ^tA). Ainsi, A_s est une matrice sym´etrique, A_a est une matrice antisym´etrique etA=A_s+A_a. On dit que A_s est lapartie sym´etrique deA et que Aa est sapartie antisym´etrique.

Pour A∈Mn(IR), on noteSpIR(A) le spectre r´eel de A, c’est-`a-dire l’ensemble des valeurs propres r´eelles deA.

Une matrice sym´etrique r´eelle est ditepositive si ses valeurs propres sont positives et elle est dited´efinie positive si ses valeurs propres sont strictement positives.

On note Sn⁺(IR) l’ensemble des matrices sym´etriques positives deMn(IR) et Sn⁺⁺(IR) l’ensemble des matrices sym´etriques d´efinies positives de Mn(IR).

Objectif

L’objectif du probl`eme est d’´etudier certaines propri´et´es des matrices r´eelles carr´ees dont la partie sym´etrique est d´efinie positive.

La premi`ere partie apporte quelques r´esultats pr´eliminaires.

La deuxi`eme partie, o`u on ´etudie les matricesF−singuli`eres, et la troisi`eme partie, qui traite des matrices positi- vement stables, sont largement ind´ependantes.

I R´ esultats pr´ eliminaires

I.A - Distance de A ` a A

On munit Mn(IR) du produit scalaire canonique donn´e par (M, N)7→ tr(^tM N) o`u tr d´esigne la trace. On note k · k₂la norme euclidienne associ´ee.

I.A.1) Montrer que Sn(IR) etAn(IR) sont deux sous-espaces vectoriels suppl´ementaires orthogonaux dansMn(IR) et pr´eciser leurs dimensions.

I.A.2) SoitA∈Mn(IR). Montrer que pour toute matriceS∈Sn(IR),kA−Ask26kA−Sk2. Pr´eciser `a quelle condition surS∈Sn(IR), cette in´egalit´e est une ´egalit´e.

I.B - Valeurs propres de A

On consid`ereA∈Mn(IR).

I.B.1) Si M ∈Mn(IR) et X, Y ∈ Mn,1(IR), la matrice ^tXM Y appartient `a M1(IR) et on convient de l’identifier au nombre r´eel ´egal `a son unique coefficient.

Avec cette convention, montrer que A_s ∈ Sn⁺(IR) si et seulement si ∀X ∈ Mn,1(IR), ^tXA_sX > 0 et que A_s∈Sn⁺⁺(IR) si et seulement si∀X ∈Mn,1(IR)\ {0}, ^tXA_sX >0.

I.B.2) Pour toute valeur propre r´eelleλdeA, montrer que minSpIR(As)6λ6maxSpIR(As).

En d´eduire que siA_s∈Sn⁺⁺(IR) alorsAest inversible.

1

I.B.3) On suppose queAs∈Sn⁺⁺(IR).

a) Montrer qu’il existe une unique matriceB deSn⁺⁺(IR) telle queB²=A_s.

b) Montrer qu’il existe une matriceQdeAn(IR) telle que det(A) = det(A_s) det(I_n+Q).

c) En d´eduire que det(A)>det(A_s).

I.B.4) On supposeA inversible et, conform´ement aux notations du probl`eme, (A⁻¹)_s d´esigne la partie sym´etrique de l’inverse de A. Montrer que (det(A))²det (A⁻¹)s

= det(As).

On pourra consid´erer A(A⁻¹)stA.

I.C - Partie sym´ etrique des matrices orthogonales

I.C.1) SoitA∈O_n(IR). Montrer que les valeurs propres deA_s sont dans [−1,1].

I.C.2) Donner un exemple de matrice sym´etriqueSdansS2(IR) telle queSpIR(S)⊂[−1,1] et pour laquelle il n’existe pas de matriceA∈O₂(IR) v´erifiantA_s=S.

I.C.3) SoitS∈Sn(IR).

a) On suppose queSpIR(S)⊂[−1,1] et que pour toute valeur propre λdeS dans ]−1,1[, l’espace propre de S associ´e `aλest de dimension paire. Montrer qu’il existeA∈On(IR) telle queAs=S.

b) R´eciproquement, montrer que s’il existeA∈On(IR) telle que As=S, alorsSpIR(S)⊂[−1,1] et pour toute valeur propreλdeS dans ]−1,1[, l’espace propre deS associ´e `aλest de dimension paire.

II Matrices F −singuli` eres

Dans la suite de cette partie, on noteEn =Mn,1(IR) qu’on munit du produit scalaire (· | ·) d´efini par

∀X, Y ∈En, (X |Y) = ^tXY o`u, comme au I.B.1, on identifie la matrice <sup>t</sup>XY `a son unique coefficient.

Si 16p6n, on note Gn,p(IR) l’ensemble des matrices de Mn,p(IR) de rang ´egal `a p.

Une matrice deMn(IR) est ditesinguli`ere si elle n’est pas inversible.

Si F est un sous-espace vectoriel non r´eduit `a {0} de En et si K ∈ Mn(IR), on dit que K est F−singuli`ere s’il existeX∈F non nul tel que∀Z ∈F, ^tZKX = 0. Dans le cas contraire, on dit queK estF−r´eguli`ere.

II.A - Cas o` u F est un hyperplan

II.A.1) Montrer qu’une matrice deMn(IR) est singuli`ere si et seulement si elle estEn−singuli`ere.

Dans cette sous-partie II.A, on suppose d´esormaisn>2. SoitF =H un hyperplan deEn et soitN ∈En un vecteur unitaire normal `a H.

II.A.2) Montrer que A est H−singuli`ere si et seulement s’il existe un vecteur non nul X de H et un r´eel λ tels que AX=λN.

II.A.3) En d´eduire queAestH−singuli`ere si et seulement si la matriceAN =

A N

tN 0

∈Mn+1(R) est singuli`ere.

Dans les questions suivantes, Aest une matrice inversible deMn(IR).

II.A.4) Montrer qu’il existe une matriceB=

B₁ B₂ B3 B4

avecB₁∈Mn(IR), B₂∈Mn,1(IR), B₃∈M1,n(IR), B4∈M1(IR) telle que :ANB=

In 0

tN A⁻¹ −^tN A⁻¹N

. II.A.5) En d´eduire que det(A_N) =−^tN A⁻¹Ndet(A).

II.A.6) Montrer que si det (A⁻¹)_s

= 0, alors il existe un hyperplanH deE_n tel queAestH−singuli`ere.

II.A.7) En d´eduire que si det(A_s) = 0, alors il existe un hyperplanH deE_n tel queAest H−singuli`ere.

II.A.8) On suppose queAs∈Sn⁺⁺(IR). Montrer queAestH−r´eguli`ere pour tout hyperplanH deEn.

2

II.B - Exemple

On traitera l’exemple

A=A(µ) =





2−µ −1 µ

−1 2−µ µ−1

0 −1 1





II.B.1) Montrer queA(µ) est inversible pour tout r´eelµ.

II.B.2) CalculerA(µ)set montrer que A(µ)s est singuli`ere pour µ= 1,1−√

3,1 +√ 3.

II.B.3) D´eterminer un hyperplanH tel que A(1) soitH−singuli`ere.

II.C - Cas o` u F est de dimension n − 2

On suppose ici n>3. Soit F un sous-espace vectoriel deE_n de dimensionn−2. On consid`ere (N₁, N₂) une base deF^⊥ et on pose

N = (N1 N2)∈Mn,2(IR)

II.C.1) Montrer que Aest F−singuli`ere si et seulement s’il existe un ´el´ement non nul X deF et deux r´eels λ1, λ2 tels queAX=λ1N1+λ2N2.

II.C.2) En d´eduire queAestF−singuli`ere si et seulement si la matrice

AN =





A N1 N2 tN₁ 0 0

tN₂ 0 0



=

A N

tN 0₂

∈Mn+2(IR)

est singuli`ere.

Dans les questions suivantes, Aest une matrice inversible deMn(IR).

II.C.3) Montrer qu’il existe une matriceB=

B₁ B₂ B3 B4

avecB₁∈Mn(IR), B₂∈Mn,2(IR), B₃∈M2,n(R) et B₄∈M2(IR) telle que :

ANB=

In 0

tN A⁻¹ −^tN A⁻¹N

II.C.4) En d´eduire que det(AN) = det(^tN A⁻¹N) det(A).

II.C.5) Montrer qu’il existeP ∈Gn,2(IR) telle que det(^tP A⁻¹P) = 0 si et seulement s’il existeP⁰ ∈Gn,2(IR) telle que det(^tP⁰AP⁰) = 0.

II.C.6) Montrer que siN⁰= (N₁⁰ N₂⁰) alors

det(^tN⁰AN⁰) = (^tN₁⁰A_sN₁⁰)(^tN₂⁰A_sN₂⁰)−(^tN₁⁰A_sN₂⁰)²+ (^tN₁⁰A_aN₂⁰)² II.C.7) En d´eduire que siA_s∈Sn⁺⁺(IR), alors det(^tN A⁻¹N)>0.

II.C.8) En conclure que siA_s∈Sn⁺⁺(IR), alorsAestF−r´eguli`ere pour tout sous-espace vectorielF de dimensionn−2 deE_n.

II.D - Exemple

On reprend l’exemple de la sous-partie II.B avecµ= 1.

II.D.1) Comment choisirN⁰ = (N₁⁰ N₂⁰) de fa¸con que det(^tN⁰AN⁰) = 0 ?

II.D.2) D´eterminer un sous-espace vectorielF deE₃ tel que dimF= 1 et tel queA(1) soitF−singuli`ere.

3

II.E - Cas g´ en´ eral

SoitF un sous-espace vectoriel deE_n de dimensionn−p, o`u 16p6n−1.

II.E.1) Montrer queAest F−singuli`ere si det(^tN⁰AN⁰) = 0 pour une matriceN⁰∈Gn,p(IR) que l’on d´efinira.

On suppose d´esormais queAs∈Sn⁺⁺(IR).

II.E.2) Montrer que siX ∈Mp,1(IR) est non nul alors ^tX^tN⁰AN⁰X >0.

II.E.3) En d´eduire que les valeurs propres r´eelles de ^tN⁰AN⁰ sont strictement positives.

II.E.4) En d´eduire que det(^tN⁰AN⁰)>0.

II.E.5) En d´eduire queAestF−r´eguli`ere pour tout sous-espace vectorielF 6={0} deE_n.

4