III Matrices positivement stables

mp* 20-21 : DM6

22/02/2021

Notations

Si n et psont des entiers naturels non nuls, on note M_n,p(R) l’espace vectoriel des matrices réelles à nlignes et p colonnes et Mn(R) l’espace vectoriel des matrices carrées Mn,n(R). On définit de façon analogueM_n,p(C)etM_n(C).

La transposée d’une matriceAdeMn,p(R)est notée A^>. On rappelle qu’une matriceAdeMn(R)est ditesymétrique siA^>=Aet qu’elle est diteantisymétriquesiA^>=−A.

Le sous-espace vectoriel de Mn(R) constitué des matrices symétriques est notéSn(R). Le sous-espace vectoriel deMn(R)constitué des matrices antisymétriques est notéAn(R).

Le groupe des matrices orthogonales ànlignes etncolonnes est noté On(R).

On noteI_n la matrice identité dansMn(R).

Pour toute matrice carrée A∈ Mn(R), on noteAs = ¹₂ A+A^>

et Aa = ¹₂ A−A^>

. Ainsi, As est une matrice symétrique,A_a est une matrice antisymétrique etA=A_s+A_a. On dit queA_s est lapartie symétrique deAet queAa est sapartie antisymétrique.

PourA∈ Mn(R), on note sp_R(A)le spectre réel deA, c’est-à-dire l’ensemble des valeurs propres réelles deA.

Une matrice symétrique réelle est ditepositive si ses valeurs propres sont positives et elle est ditedéfinie positive si ses valeurs propres sont strictement positives.

On note S_n⁺(R) l’ensemble des matrices symétriques positives de Mn(R) et S_n⁺⁺(R) l’ensemble des matrices symétriques définies positives deMn(R).

Objectif

L’objectif du problème est d’étudier certaines propriétés des matrices réelles carrées dont la partie symé- trique est définie positive.

La première partie apporte quelques résultats préliminaires.

La deuxième partie, où on étudie les matricesF−singulières, et la troisième partie, qui traite des matrices positivement stables, sont largement indépendantes.

I Résultats préliminaires

I.A - Distance de A à A_s

On munitMn(R)du produit scalaire canonique donné par(M, N)7→Tr(M^TN)où Tr désigne la trace.

On notek · k2 la norme euclidienne associée.

I.A.1) Montrer queSn(R)etAn(R)sont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires orthogonaux dans M_n(R)et préciser leurs dimensions.

Ici, comme on demande les dimensions, on peut commencer par cela. . .

La famille(Ei,j−Ej,i)_1≤i<j≤n, où(Ei,j)_1≤i,j≤nest la base canonique deMn(R), est une base de An(R), donc dim(An(R)) = n(n−1)

2 . De même,(Ei,j+Ej,i)_{1≤i≤j≤n} est une base deSn(R), donc dim(A_n(R)) = n(n+ 1)

2 .

Si M ∈ Sn(R)etN ∈ An(R), alors (M|N) =Tr(M^TN) =Tr(M N).

(N|M) =Tr(N^TM) =−Tr(N M) =−Tr(M N).

Or (M|N) = (N|M), donc(M|N) =−(M|N), donc(M|N) = 0.

On a donc An(R)⊥Sn(R) Comme l’énoncé le rappelle,An(R)⊕ Sn(R) =Mn(R), donc Sn(R)et An(R)sont supplémentaires orthogonaux dansMn(R)

I.A.2) SoitA∈ Mn(R). Montrer que pour toute matriceS∈ Sn(R),kA−Ask2≤ kA−Sk2. Préciser à quelle condition sur S∈ S_n(R), cette inégalité est une égalité.

Et, si S∈ Sn(R),

kA−Sk²₂=kA−As+As−Sk²

=kAa+As−Sk²

Mais A_s−S∈ S_n(R), A_a∈ A_n(R), donc, par la question précédente, en appliquant le théorème de Pythagore,

kA−Sk²₂=kA−A_sk²₂+kA_s−Sk²₂ et donc

kA−Ask2≤ kA−Sk2, avec égalité si et seulement siS=As

I.B - Valeurs propres deAs

On considèreA∈ M_n(R).

I.B.1) Si M ∈ Mn(R)et X, Y ∈ Mn,1(R), la matriceX^TM Y appartient à M1(R)et on convient de l’identifier au nombre réel égal à son unique coefficient.

Montrer que, si M ∈ S_n(R),

Min(sp_R(M)) =Min

X^>M X

X^>X ; X ∈ Mn,1(R)\ {0}

En déduire queA_s∈ S_n⁺(R)si et seulement si∀X ∈ M_n,1(R), X^TA_sX ≥0et queA_s∈ S_n⁺⁺(R) si et seulement si∀X∈ Mn,1(R)\ {0}, X^>AsX >0.

Par théorème spectral, il existe P ∈ On(R)et Ddiagonale telles que M =P DP⁻¹=P DP^>

On note d1, . . . , dn les coefficients diagonaux de R : Sp(M) = {d1, . . . , dn}. On peut supposer d₁≤. . .≤d_n, quitte à permuter les colonnes deP. Alors, siX ∈ M_n,1(R)\ {0},

X^>M X

X^>X = X^>P DP^>X

X^>X = Y^>DY Y^>Y

avecY =P^>X. NotantY =







 y₁

... yn







 , on a

Y^>DY Y^>Y =

n

X

i=1

d_iy²_i

n

X

i=1

y_i²

≥d₁

avec égalité lorsque, par exemple,Y =











 1

... 0 0











 . Donc

Min

Y^>DY

Y^>Y ; Y ∈ Mn,1(R)\ {0}

=d1

Or l’applicationX 7−→P^>X est un automorphisme deMn,1(R)(l’automorphisme réciproque est Y 7−→P Y), donc

Min

X^>M X

X^>X ; X∈ Mn,1(R)\ {0}

=d₁ et on a bien montré

Min(sp_R(M)) =Min

X^>M X

X^>X ; X ∈ Mn,1(R)\ {0}

Or As ∈ S_n⁺(R) si et seulement si Min(sp_R(As)) ≥ 0 et As ∈ S_n⁺⁺(R) si et seulement si Min(sp_R(As))>0. On en déduit bien les deux équivalences demandées .

I.B.2) Montrer d’autre part que, siM ∈ An(R), alors∀X∈ Mn,1(R), X^>M X= 0.

Il suffit de remarquer que, comme X^>M X est une matrice scalaire, X^>M X= (X^>M X)^>=X^>M^>X =−X^>M X ce qui donne bien X^>M X= 0

I.B.3) Pour toute valeur propre réelle λdeA, montrer que min sp_R(A_s)≤λ≤max sp_R(A_s).

En déduire que si A_s∈ S_n⁺⁺(R)alorsAest inversible.

Soitλ∈sp_R(A)etX ∈ Mn,1(R)\ {0} tel que AX=λX Alors

λX =AsX+AaX Et donc

λX^>X =X^>AsX+X^>AaX ParI.B.2), on a donc

λX^>X =X^>A_sX ou encore

λ= X^>AsX X^>X

Il ne reste qu’à appliquer la formule du I.B.1), en remarquant que, non seulement pour toute matrice symétrique réelleM on a

Min(sp_R(M)) =Min

X^>M X

X^>X ; X ∈ Mn,1(R)\ {0}

mais aussi (en appliquant cela à −M) : Max(sp_R(M)) =Max

X^>M X

X^>X ; X ∈ Mn,1(R)\ {0}

On obtient bien

min sp_R(As)≤λ≤max sp_R(As)

Donc, siA_s∈ S_n⁺⁺(R), comme min sp_R(A_s)>0,06∈Sp(A), et donc A est inversible .

I.B.4) On suppose queAs∈ S_n⁺⁺(R).

a) Montrer qu’il existe une matriceB deS_n⁺⁺(R)telle que B²=As .

Application classique du theorème spectral.

b) Montrer qu’il existe une matriceQdeAn(R)telle que det(A) = det(As) det(In+Q).

A=B(In+B⁻¹AaB⁻¹)B; orB⁻¹∈ Sn(R), doncQ=B⁻¹AaB⁻¹∈ An(R)et donc, comme det(A) = (det(B))²det(I_n+Q), det(A) = det(A_s) det(I_n+Q)

c) En déduire que det(A)≥det(A_s).

Or det(In+Q) =det (In+Q)^>

=det(In−Q). Donc

[det(In+Q)]²=det[(In+Q)(In−Q)] =det(In−Q²)

MaisQ²∈ Sn(R). Soitµ∈Sp(Q²),X ∈ Mn,1(R)\ {0} tel queQ²X=µX. Alors µX^>X=X^>Q²X =−(QX)^>(QX)≤0

Donc Sp(Q²)⊂R⁻. Et donc Sp(I_n−Q²)⊂[1,+∞[. D’où l’on déduit det(I_n−Q²)≥1

(carIn−Q²est diagonalisable, donc son déterminant est le produit de ses valeurs propres, comp- tées avec leur multiplicité). Et donc det(I_n+Q)≥1ou det(I_n+Q)≤ −1. MaisA_s∈ S_n⁺⁺(R), donc det(As)>0, et Sp_R(A)⊂R⁺_∗. Or, en trigonalisantAdansMn(C), le déterminant deA est égal au produit de ses valeurs propres complexes comptées avec leur multiplicité ; siµ est une valeur propre complexe non réelle de multiplicité m, µ est aussi valeur propre de même multiplicité, or µ^mµ^m = |µ|^2m >0. Donc det(A)> 0 et donc det(I_n+Q)> 0. Finalement det(In+Q)≥1et donc det(A)≥det(As).

I.B.5) On suppose A inversible et, conformément aux notations du problème, (A⁻¹)s désigne la partie symétrique de l’inverse de A. Montrer que (det(A))²det (A⁻¹)_s

= det(A_s).

On pourra considérer A(A⁻¹)sA^>.

On a

A(A⁻¹)sA^>= 1

2 A(A⁻¹+ (A−1)^>)A^>

=1

2(A^>+A) et donc, prenant le déterminant,

(det(A))²det (A⁻¹)s

= det(As)

I.C - Partie symétrique des matrices orthogonales

I.C.1) SoitA∈On(R). Montrer que les valeurs propres deAs sont dans[−1,1].

Soitλune valeur propre deA_s, X∈ Mn,1(R)\ {0} telle queA_sX=λX. Alors X^>AX=λX^>X+X^>AaX=λX^>X

d’aprèsI.B.2). MunissantMn,1(R)de son produit scalaire canonique, cela s’écrit (X|AX) =λkXk²

d’où, par inégalité de Cauchy-Schwarz,

|λ|kXk²≤ kXk kAXk

MaisA∈On(R), donckAXk ≤ kXk. Donc|λ|kXk²≤ kXk²et, commekXk²>0on conclut bien λ >0

I.C.2) Donner un exemple de matrice symétriqueSdansS₂(R)telle que sp_R(S)⊂[−1,1]et pour laquelle il n’existe pas de matrice A∈O2(R)vérifiantAs=S.

Il suffit de lire la question suivante. . .

Prenons S = 1/2 0 0 −1/2

!

. On a sp_R(S) = {−1/2,1/2} ⊂ [−1,1]. Une matrice A ∈ O2(R) vérifiantA_s=S est nécessairement de la forme

A= 1/2 a

−a −1/2

!

Ses colonnes étant orthogonales on aurait a= 0, orS 6∈ O_n(R).

I.C.3) SoitS∈ Sn(R).

a) On suppose que sp_R(S)⊂[−1,1]et que pour toute valeur propreλdeS dans]−1,1[, l’espace propre de S associé à λ est de dimension paire. Montrer qu’il existe A ∈ On(R) telle que A_s=S.

Par théorème spectral, il existeP ∈On(R)et Ddiagonale telles que S=P DP⁻¹=P DP^>

où la suite des coefficients diagonaux deD peut être écrite D= (1, . . . ,1

| {z }

ptermes

,−1, . . . ,−1

| {z }

q termes

, λ₁, λ₁, . . . , λ_r, λ_r)

avec chaqueλk dans]−1,1[(il peut ne pas y avoir de1et/ou ne pas y avoir de−1et/ou ne pas y avoir deλk). Soit, pour chaquek∈J1, rK,θk ∈Rtel quecosθk=λk, et soit

Rk= cosθk −sinθk

sinθ_k cosθ_k

!

∈O2(R)

Alors la matrice

Q=















 Ip

I_q R1

. .. R_r

















est dansO(n)et vérifie Qs=D. DoncQ=D+Qa avecQa ∈ An(R).

Mais alorsP QP^>=S+P QaP^>.

CommeOn(R)est un groupe stable par transposition,P QP^>∈On(R), etP QaP^>∈ An(R), donc en posant A=P QP^> on a bien As=S

b) Réciproquement, montrer que s’il existeA∈On(R)telle queAs=S, alors sp_R(S)⊂[−1,1]et pour toute valeur propreλdeS dans]−1,1[, l’espace propre deSassocié àλest de dimension paire.

Mais toute matriceA∈On(R)s’écrit, par théorème de réduction,A=P QP^> =P QP⁻¹avec Qde la forme donnée par blocs dans la question précédente. On en déduit que

As=P DP⁻¹=P DP^>

avec

D=diag(1, . . . ,1

| {z }

ptermes

,−1, . . . ,−1

| {z }

q termes

,cosθ1,cosθ1, . . . ,cosθr,cosθr)

ce qui conclut simplement la réciproque .

II Matrices F −singulières

Dans la suite de cette partie, on noteE_n=M_n,1(R)qu’on munit du produit scalaire(· | ·)défini par

∀X, Y ∈En, (X|Y) =X^TY où, comme au I.B.1, on identifie la matriceX^TY à son unique coefficient.

Une matrice deMn(R)est ditesingulière si elle n’est pas inversible.

SiF est un sous-espace vectoriel non réduit à{0}deEnet siK∈ Mn(R), on dit queKestF−singulière s’il existeX ∈F non nul tel que∀Z∈F, Z^TKX = 0. Dans le cas contraire, on dit queKestF−régulière.

II.A - Cas où F est un hyperplan

II.A.1) Montrer qu’une matrice deMn(R)est singulière si et seulement si elle estEn−singulière.

SoitK∈ Mn(R).

Si K est singulière, il existeX ∈E_n non nul tel queKX = 0. Mais alors∀Z ∈E_n, Z^>KX = 0.

DoncK estEn−singulière.

Si K estEn−singulière, soitX∈En non nul tel que

∀Z ∈En, Z^>KX= 0 En particulier,

(KX)^>KX = 0

DonckKXk²= 0oùk.kdésigne la norme euclidienne surE_n associée au produit scalaire(.|.). Et doncKX = 0, ce qui fait (X 6= 0) queK est singulière. Finalement

Kest singulière si et seulement si elle estE_n-singulière

Dans cette sous-partie II.A, on suppose désormaisn≥2. SoitF =H un hyperplan deEnet soitN ∈En

un vecteur unitaire normal àH.

II.A.2) Montrer que Aest H−singulière si et seulement s’il existe un vecteur non nulX deH et un réel λtels queAX=λN.

A H−singulière⇐⇒ ∃X∈H\ {0} ∀Z∈H (Z|AX) = 0

⇐⇒ ∃X∈H\ {0} AX∈H^>

⇐⇒ ∃X∈H\ {0} AX∈Vect(N)

carN étant vecteur non nul deH^> engendre cette droite vectorielle. On a donc bien AestH−singulière⇐⇒ ∃X∈H\ {0} ∃λ∈R AX=λN

II.A.3) En déduire que A est H−singulière si et seulement si la matriceAN = A N N^T 0

!

∈ Mn+1(R) est singulière.

SoitX ∈E_n,α∈R. Par blocs,

A N

N^T 0

! X α

!

= AX+αN N^>X

!

= AX+αN (N|X)

!

Or AN est singulière si et seulement s’il existe(X, α)6= (0,0) tels queAX+αN = (N|X) = 0.

Et, si X= 0, la condition AX+αN= 0impliqueα= 0carN 6= 0.

DoncA_N est singulière si et seulement s’il existeX6= 0 tel queAX=−αN etX ∈H.

En appliquant la question précédente,

AestH−singulière si et seulement si la matriceAN est singulière

Dans les questions suivantes,Aest une matrice inversible deMn(R).

II.A.4) Montrer qu’il existe une matrice B = B₁ B₂ B3 B4

!

avec B₁ ∈ Mn(R), B₂ ∈ Mn,1(R), B₃ ∈

M1,n(R), B4∈ M1(R)telle que :ANB= In 0 N^>A⁻¹ −N^>A⁻¹N

! .

Par blocs,

ANB = A N N^> 0

! B₁ B₂ B3 B4

!

= AB₁+N B₃ AB₂+N B₄ N^>B1 N^>B2

!

Prenons B1=A⁻¹,B3= 0,B2=−A⁻¹N, B4= 1 (avec bien sûrB3∈ M1,n(R)).

On a bien le résultat voulu.

II.A.5) En déduire que det(A_N) =−N^>A⁻¹Ndet(A).

Et donc, avec des déterminants triangulaires par blocs :

det(A_N)×B₄×det(B₁) =−N^>A⁻¹N ce qui donne bien det(AN) =−N^>A⁻¹Ndet(A)

II.A.6) Montrer que sidet (A⁻¹)s

= 0, alors il existe un hyperplanH deEntel queAestH−singulière.

Il existeN ∈En\ {0}tel que (A⁻¹)sN = 0. Alors N^> (A⁻¹)_s+ (A⁻¹)_a

N =N^>(A⁻¹)_sN+N^>(A⁻¹)_aN = 0 (on utiliseI.B.2.). Et doncN^>A⁻¹N = 0. Avec 5.et3. on en tire que

Il existe un hyperplanH deEn tel queAest H−singulière.

(on peut imposer àN d’être unitaire, mais cela n’a pas d’importance).

II.A.7) En déduire que si det(As) = 0, alors il existe un hyperplanH deEn tel queAest H−singulière.

I.B.5. et le fait que det(A)6= 0 ramène cette question à la précédente, car si det(As) = 0, on a det (A⁻¹)s

= 0.

II.A.8) On suppose queAs∈ S_n⁺⁺(R). Montrer queAest H−régulière pour tout hyperplanH deEn.

On a pour toutX 6= 0dansE_n,

X^>AX=X^>AsX >0

Mais alors, pour toutN ∈En\ {0}, il existeX ∈En\ {0} tel queN =AX. Alors N^>A⁻¹N =X^>A^>X =X^>AX >0

DoncN^>(A⁻¹)sN =N^>A⁻¹N >0. On a donc, parII.A.5,AN inversible, et donc AestH−régulière pour tout hyperplanH deE_n

II.B - ExempleOn traitera l’exemple

A=A(µ) =







2−µ −1 µ

−1 2−µ µ−1

0 −1 1







II.B.1) Montrer queA(µ)est inversible pour tout réel µ.

En ajoutant la troisième colonne à la deuxième :

det(A(µ)) =

2−µ −1 +µ µ

−1 1 µ−1

0 0 1

et on développe par rapport à la dernière ligne : det(A(µ)) = 1. Donc A(µ)est inversible

II.B.2) CalculerA(µ)_s et montrer queA(µ)_sest singulière pourµ= 1,1−√

3,1 +√ 3.

On a

A(µ)s=







2−µ −1 µ/2

−1 2−µ µ/2−1 µ/2 µ/2−1 1







Pour calculer son déterminant, en ajoutant la deuxième colonne à la première :

det[A(µ)s] = (1−µ)

1 −1 µ/2

1 2−µ µ/2−1

−1 µ/2−1 1

On ajoute la dernière ligne à chacune des précédentes :

det[A(µ)_s] = (1−µ)

0 µ/2−2 µ/2 + 1 0 1−µ/2 µ/2

−1 µ/2−1 1 puis on développe par rapport à la première colonne :

det[A(µ)s] = (µ−1) [(µ/2−2)µ/2−(1−µ/2)(1 +µ/2)] = (µ−1)

µ²/2−µ−1 et on trouve bien en résolvant µ²/2−µ−1 = 0:

A(µ)_s est singulière pourµ= 1,1−√

3,1 +√ 3

II.B.3) Déterminer un hyperplanH tel que A(1)soitH−singulière.

Cherchonsα, β, γ tels que

B =











1 −1 1 α

−1 1 0 β

0 −1 1 γ

α β γ 0











soit singulière, i.e., en ajoutant la deuxième ligne à la première, telle que

B⁰=











0 0 1 α+β

−1 1 0 β

0 −1 1 γ

α β γ 0











le soit. Ajoutons encore la première et la deuxième colonne à la troisième ; B est singulière si et seulement si

B⁰⁰=











0 0 1 α+β

−1 1 0 β

0 −1 0 γ

α β γ+β+α 0











l’est. Or le déterminant de cette dernière vautα²+αβ+β²(développement par la première colonne par exemple, puis règles de Sarrus sur les mineurs associés). On peut donc prendre α=β = 0, γ= 1, l’hyperplanz= 0convient.

III Matrices positivement stables

On dit qu’une matriceA deMn(R)est positivement stable si toutes ses valeurs propres complexes ont une partie réelle strictement positive.

III.A - Exemples

III.A.1) SoitA∈ M2(R). Montrer queAest positivement stable si et seulement si Tr(A)>0etdet(A)>0.

Le polynôme caractéristique de Aest

PA=X²−Tr(A)X+ det(A) On note Sp_C(A) ={α, β} (α=β éventuellement).

SupposonsApositivement stable.

Si α et β sont réels, alors α > 0 et β >0, donc Tr(A) =α+β >0 et det(A) =αβ >0. Sinon, β =α, donc Tr(A) = 2Re(α)>0 et det(A) =|α|²>0 carα6= 0.

Supposons que Tr(A) > 0 et det(A) > 0. Si α et β sont réels, ils ont même signe et sont non nuls (car αβ= det(A)), donc sont du même signe que leur somme Tr(A), donc sont strictement positifs. Sinon, Re(α) =Re(β) = 1

2Tr(A)>0.

On a bien montré :

Aest positivement stable si et seulement si Tr(A)>0etdet(A)>0

III.A.2)

a) La somme de deux matrices positivement stables deM2(R)est-elle nécessairement positive- ment stable ?

On sait que la réponse est non. . .si on ne le sait pas, c’est qu’on n’a pas regardé la question suivante. . .et donc qu’on ne sait pas bien lire un énoncé ! On cherche donc un peu à tâtons un contre exemple, en disposant comme outil de la question précédente.

SoitA = 0 1

−1 1

!

et B = 0 −1

1 1

!

, A+B = 0 0 0 1

!

. Tr(A) = Tr(B) = 1>0,detA= detB= 1>0,det(A+B) = 0doncAetBsont positivement stables, pasA+B. Donc NON .

b) Soit(u, v)∈L(Cⁿ)²deux endomorphismes deCⁿqui commutent (u◦v=v◦u). Soitw=u+v.

On considère une valeur propreλ∈Cdew, etEλ(w)le sous-espace propre associé.

Montrer queE_λ(w)est stable par u.

En déduire queEλ(w)contient au moins un vecteur propre deu, puis qu’il existeαetβ valeurs propres deuetv respectivement tels queλ=α+β.

ucommute avecv, et avec u, donc avecw, ce qui fait que Eλ(w)est stable paru.

On peut alors définiru1 endomorphisme induit par usur Eλ(w). Comme on est surC, u1 a au moins une valeur propre, donc au moins un vecteur propre, qui est donc

un vecteur propre deudansEλ(w).

Soitxun tel vecteur propre :u(x) =αxavecα∈Sp(u), orw(x) =λx, doncv(x) = (λ−α)x.

Etx6= 0_E, doncβ=λ−αest valeur propre dev. Et donc

Il existeαetβ valeurs propres deuetv respectivement tels queλ=α+β

c) SoitA, B dansMn(R)deux matrices positivement stables qui commutent. Montrer queA+B est positivement stable.

La question précédente appliquée aux endomorphismes canoniquement associés à A et B montre que toute valeur propre λ de A +B est somme d’une valeur propre α de A et d’une valeur propre β de B. Et donc Re(λ) = Re(α) +Re(β) > 0. On a donc montré que

A+B est positivement stable

III.A.3) SoitA∈ Mn(R)telle queA_ssoit définie positive.

a) SoitX =Y +iZ une matrice colonne deMn,1(C), oùY et Z appartiennent àMn,1(R). On poseX =Y −iZ et on identifie la matriceX^TAX∈ M1(C)au nombre complexe égal à son unique coefficient.

Montrer que, siX 6= 0, alors Re

X^TAX

>0, où Re(z)désigne la partie réelle dez∈C.

X^TAX= (Y −iZ)^TA(Y +iZ)

=Y^TAY +Z^TAZ+i Y^TAZ−Z^TAY Donc, utilisantI.B.2.,

Re

X^TAX

=Y^TAY +Z^TAZ

=Y^TAsY +Z^TAsZ

Mais (Y, Z)6= (0,0)(car X 6= 0), donc Y^TAsY ≥0, Z^TAsZ ≥0, et l’un des deux au moins est non nul. Par conséquent Re

X^TAX

>0

b) Montrer queAest positivement stable.

Soitλune valeur propre deA, X un vecteur propre associé. Alors X^TAX=λ X^TX

Mais, siX = (x₁ . . . x_n)^T,X^TX =

n

X

i=1

|xi|²∈R⁺_∗ (carX 6= 0). Donc

Re

X^TAX

=X^TX Re(λ) et donc, para., Re(λ)>0. On a donc bien

A est positivement stable

III.A.4) Donner un exemple de matrice Apositivement stable telle queAs n’est pas définie positive.

SoitA= 0 1

−1 1

!

. AlorsA_s= 0 0 0 1

!

n’est pas définie positive car n’est pas inversible.

III.B -Dans cette sous-partie III.B, on établit un résultat sur l’exponentielle de matrice qui sera utile par la suite.

III.B.1) Soitλ∈Ctel que Re(λ)>0. Soituune fonction à valeurs complexes de classeC¹surR⁺. On suppose que la fonction v=u⁰+λu est bornée surR⁺. Montrer queuest bornée surR⁺.

On pourra considérer l’équation différentielle y⁰+λy=v.

Remarquons quev est continue. On a

∀t≥0 y⁰(t) +λ y(t) =v(t)⇐⇒ ∀t≥0 e^λt(y⁰(t) +λ y(t)) =e^λtv(t)

⇐⇒ ∃c∈C ∀t≥0 e^λty(t) =c+ Z t

0

e^λsv(s)ds

Commeuest clairement solution de l’équation, il existectel que

∀t≥0 u(t) =ce^−λt+ Z t

0

e^λ(s−t)v(s)ds

Remarquons que, comme

∀t∈R e^λt=e^Re(λ)te^iIm(λ)t on a

e^λt

=e^Re(λ)t SoitM tel que

∀t≥0 |v(t)| ≤M Alors

∀t≥0 |u(t)| ≤ |c|e^−Re(λ)t+M Z t

0

e^{Re(λ)(s−t)}ds d’où

∀t≥0 |u(t)| ≤ |c|+M1−e^−Re(λ)t

Re(λ) ≤ |c|+ M Re(λ) et donc uest bornée surR⁺

III.B.2) SoitT ∈ Mn(C)une matrice triangulaire supérieure à coefficients complexes. On suppose que les coefficients diagonaux deT sont des nombres complexes de partie réelle strictement positive. Soit u₁, . . . , u_n des fonctions à valeurs complexes, définies et de classe C¹ sur R⁺ et soit, pour tout t∈R⁺,

U(t) =







 u1(t)

... un(t)









On suppose que, pour toutt∈R⁺,U⁰(t) +T U(t) = 0.

Montrer que les fonctions u_j, où1≤j≤n, sont bornées surR⁺.

On a ∀t ∈ R⁺ u⁰_n(t) +tn,nun(t) = 0 et Re(tn,n) < 0, donc par la question précédente (e0 est bornée surR⁺) la fonctionun est bornée surR⁺.

On a aussi

∀t∈R⁺ u⁰_n−1(t) +tn−1,n−1un−1(t) =−tn−1,nun(t)

et, commeu_n est bornée surR⁺,−t_n−1,nu_n l’est, et Re(t_n−1,n−1)<0, par la question précédente la fonction u_n−1 est bornée surR⁺.

Mais, pour toutk∈J0, n−1K,

∀t∈R⁺ u⁰_n−k(t) +t_n−k,n−ku_n−k(t) =−

k−1

X

j=0

t_n−k,n−ju_n−j

et Re(t_n−k,n−k)<0, ce qui permet avec la question précédente de montrer par récurrence sur k que pour toutk∈J0, n−1K,u_n−k est bornée. Et donc

les fonctionsuj, où1≤j≤n, sont bornées surR⁺ ce qui d’ailleurs revient à dire queU est bornée.

III.B.3) SoitA∈ Mn(R)une matrice positivement stable de valeurs propres complexes λ₁, . . . , λ_n et soit αun réel tel que0< α < min

1≤j≤nRe(λj).

Montrer que la fonction t7→e^αtexp(−tA)est bornée surR⁺.

On pourra appliquer la question III.B.2 à une matrice triangulaire T semblable à A−αI_n.

Indication un peu superflue, puisqu’évidemment il faut utiliser la question précédente.

Notons U(t) =e^αtexp(−tA)pour toutt≥0. Les applicationst7−→exp(−tA)et t7−→e^αt étant de classeC¹surR,U l’est, et par bilinéarité :

∀t≥0 U⁰(t) =αe^αtexp(−tA) +e^αt[−Aexp(−tA)] = (αIn−A)U(t)

Aest trigonalisable surMn(C), soient doncP ∈GLn(C)etTtriangulaire supérieure à coefficients complexes telles que

A=P T P⁻¹

AlorsA−αIn =P(−αIn+T)P⁻¹. Et posant V(t) = P⁻¹U(t) on a (dérivation de la composée d’une applicationC¹ par l’application linéaireM 7−→P⁻¹M) :

∀t≥0 V⁰(t) + (αIn−T)V(t) = 0

Or les coefficients diagonaux de T sont valeurs propres deT, donc deA, et donc les coefficients diagonaux deαIn−Tsont tous de partie réelle strictement négative. D’après la question précédente, V est bornée surR⁺, doncU l’est aussi. Finalement

la fonctiont7→e^αtexp(−tA)est bornée surR⁺

III.C - Une caractérisation des matrices positivement stables

SoitA∈ Mn(R)une matrice positivement stable. On considère l’endomorphismeΦdeMn(R)tel que

∀M ∈ Mn(R), Φ(M) =A^>M +M A.

III.C.1) Montrer que Φest positivement stable, c’est-à-dire que sa matrice dans une base quelconque de Mn(R)est positivement stable.

Méthode 1 Soit Q∈C[X]. SoitΨdéfinie par

∀M ∈ Mn(R), Ψ(M) =M A.

Par récurrence que k,

∀k∈N ∀M ∈ Mn(R), Ψ^k(M) =M A^k Par combinaison linéaire de ces résultats,

∀Q∈C[X] ∀M ∈ Mn(R), Q(Ψ)(M) =M Q(A) Donc les polynômes annulateurs de Ψsont les polynômes annulateurs deA:

Q(Ψ) = 0 ⇐⇒ ∀M ∈ Mn(R) M Q(A) = 0 ⇐⇒ Q(A) = 0

Donc le polynôme minimal de Aest celui de Ψ, et donc les valeurs propres deΨsont les mêmes que celles deA.

De même, si Ψ⁰ est définie par

∀M ∈ Mn(R), Ψ⁰(M) =A^>M alors les valeurs propres deΨsont celles deA^>, donc celles deA.

On en déduit queΨetΨ⁰ sont positivement stables, et commeΨ◦Ψ⁰ = Ψ⁰◦Ψ : M 7−→A^>M A, parIII.A.2.c), Φest positivement stable

Méthode 2 On écrit

Ψ(M) =λM ⇐⇒ ∀i∈J1, nK M ci=λci

où lesci sont les colonnes deM. On conclut alors que les valeurs propres deΨsont celles de M. Et on continue comme dans la méthode 1.

III.C.2)

a) Montrer qu’il existe une unique matriceB∈ Mn(R)telle queA^>B+BA=In.

La question précédente montre que06∈Sp(Φ). On est en dimension finie, doncΨ∈GL(Mn(R)).

Et donc

il existe une unique matrice B∈ Mn(R)telle que A^>B+BA=In

b) Montrer queB est symétrique et quedet(B)>0.

Transposant l’égalité précédente, il vient :

B^>A+A^>B^> =In

Donc par unicité,B^> =B, et donc B est symétrique . On a d’autre part

(BA)^> =A^>B^>=A^>B donc

BA+ (BA)^>=In

Par conséquent, (BA)s = 1

2In. Par I.B.4.on en tire que det(BA)≥ 1

2ⁿ >0. Or det(A)>0 (det(A)est le produit des valeurs propres deAcomptées avec leurs multiplicités, or ces valeurs propres sont réelles strictement positives ou complexes non réelles deux à deux conjuguées).

On a donc bien, comme det(BA) =det(B)det(A), det(B)>0

III.C.3) Pour tout réelt, on poseV(t) = exp(−tA^>) exp(−tA)et W(t) = Z t

0

V(s)ds.

a) Montrer que, pour tout réelt,V(t)∈ S_n⁺⁺(R)et que, si t >0, W(t)∈ S_n⁺⁺(R).

DéfinissonsM = exp(−tA); on sait queM ∈GL_n(R), et d’autre part M^>= exp (−tA)^>

= exp −t A^>

(justification classique, transposition des sommes partielles, passage à la limite par continuité de la transposition. . .à ce stade du problème, on nous ferait peut-être crédit ?).

Donc(V(t))^> = (M^>M)^>=M^>M =V(t)et doncV(t)∈ S (R).

Soitλ∈Sp(V(t)),X ∈ Mn,1(R)tel queV(t)X =λX.

AlorsX^>(λX) =X^>M^>M X= (M X)^>(M X) =kM Xk²>0.

OrX^>(λX) =λkXk². Doncλ >0.

On a bien montré V(t)∈ S_n⁺⁺(R).

Donc (image de l’intégrale par une application linéaire, ici la transposition) : (W(t))^> =

Z s 0

V(s)^>ds= Z s

0

V(s)ds=W(t)

et, pour toutX ∈ M_n,1(R)\ {0}, encore par image de l’intégrale par une application linéaire (deux fois appliquée, une fois parM 7−→M X, une fois parM 7−→X^>M) :

X^>W(t)X = Z t

0

X^>V(s)Xds

cars7−→X^>V(s)X est continue strictement positive sur[0, t]avec0< t.

On a donc bien W(t)∈ S_n⁺⁺(R)sit >0

b) Montrer que, pour tout réelt,A^>W(t) +W(t)A=In−V(t).

Encore en utilisant l’image d’une intégrale par une application linéaire, sitest un réel :

A^>W(t) +W(t)A= Z t

0

A^>exp(−sA^>) exp(−sA) + exp(−sA^>) exp(−sA)A ds Mais, par bilinéarité du produit matriciel, la dérivée de

s7−→exp(−sA^>) exp(sA) est

s7−→ −A^>exp(−sA^>) exp(−sA)−exp(−sA^>) exp(−sA)A ce qui donne tout de suite en intégrant : A^>W(t) +W(t)A=In−V(t)

c) Qu’obtient-on en faisant tendretvers+∞dans l’égalité précédente ? En déduire que la matrice B de la question III.C.2 est définie positive.

Soit k.k une norme sous-multiplicative sur Mn(R). Si α est choisi comme en III.B.3., alors il existeM et M⁰ tels que

∀t∈R⁺ kexp(−tA)k ≤e^−αtM et kexp(−tA^>)k ≤e^−αtM⁰ (car Sp(A) =Sp(A^>)) et donc

∀t∈R⁺ kexp(−tA^>) exp(−tA)k ≤M M⁰e^−2αt (1)

Soit(i, j)∈J1, nK

2. L’applicationπi,j : M 7−→Mi,j (coefficient en ligneiet colonnej deM) est linéaire continue surMn(R)qui est de dimension finie, ce qui assure l’existence d’une constante k_i,j telle que

∀M ∈ Mn(R) |Mi,j| ≤ki,jkMk Mais alors

∀s≥0

(V(s))_i,j

≤ki,jM M⁰e^−2αs

Par comparaison, l’application continues7−→(V(s))_i,j est intégrable sur[0,+∞[. Et donc W(t)i,j−−−−→

t→+∞

Z +∞

0

(V(s))i,jds Cela montre queW(t)−−−−→

t→+∞ MoùM ∈ M_n(K). Mais aussi l’inégalité(1)montre queV(t)−−−−→

t→+∞

0. Prenant les limites quandt→+∞dansb), on obtient A^>M+M A=In

Donc, par unicité, M = B. Or il est classique (mais il faut le réécrire !) que S_n⁺(R) est fermé.

Donc, avec a), on obtientB ∈ S_n⁺(R)et, finalement, avecC.2.b), B ∈ S_n⁺⁺(R)

• • •FIN• • •