III Matrices positivement stables

mp* 20-21 : DM6

22/02/2021

Notations

Si n et psont des entiers naturels non nuls, on note M_n,p(R) l’espace vectoriel des matrices réelles à nlignes et p colonnes et Mn(R) l’espace vectoriel des matrices carrées Mn,n(R). On définit de façon analogueM_n,p(C)etM_n(C).

La transposée d’une matriceAdeMn,p(R)est notée A^>. On rappelle qu’une matriceAdeMn(R)est ditesymétrique siA^>=Aet qu’elle est diteantisymétriquesiA^>=−A.

Le sous-espace vectoriel de Mn(R) constitué des matrices symétriques est notéSn(R). Le sous-espace vectoriel deMn(R)constitué des matrices antisymétriques est notéAn(R).

Le groupe des matrices orthogonales ànlignes etncolonnes est noté On(R).

On noteI_n la matrice identité dansMn(R).

Pour toute matrice carrée A∈ Mn(R), on noteAs = ¹₂ A+A^>

et Aa = ¹₂ A−A^>

. Ainsi, As est une matrice symétrique,A_a est une matrice antisymétrique etA=A_s+A_a. On dit queA_s est lapartie symétrique deAet queAa est sapartie antisymétrique.

PourA∈ Mn(R), on note sp_R(A)le spectre réel deA, c’est-à-dire l’ensemble des valeurs propres réelles deA.

Une matrice symétrique réelle est ditepositive si ses valeurs propres sont positives et elle est ditedéfinie positive si ses valeurs propres sont strictement positives.

On note S_n⁺(R) l’ensemble des matrices symétriques positives de Mn(R) et S_n⁺⁺(R) l’ensemble des matrices symétriques définies positives deMn(R).

Objectif

L’objectif du problème est d’étudier certaines propriétés des matrices réelles carrées dont la partie symé- trique est définie positive.

La première partie apporte quelques résultats préliminaires.

La deuxième partie, où on étudie les matricesF−singulières, et la troisième partie, qui traite des matrices positivement stables, sont largement indépendantes.

I Résultats préliminaires

I.A - Distance de A à A_s

On munitMn(R)du produit scalaire canonique donné par(M, N)7→Tr(M^>N)où Tr désigne la trace.

On notek · k2 la norme euclidienne associée.

I.A.1) Montrer queSn(R)etAn(R)sont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires orthogonaux dans Mn(R)et préciser leurs dimensions.

I.A.2) SoitA∈ Mn(R). Montrer que pour toute matriceS∈ Sn(R),kA−Ask2≤ kA−Sk2. Préciser à quelle condition sur S∈ S_n(R), cette inégalité est une égalité.

I.B - Valeurs propres deA_s On considèreA∈ Mn(R).

I.B.1) Si M ∈ Mn(R)et X, Y ∈ Mn,1(R), la matrice X^>M Y appartient à M1(R)et on convient de l’identifier au nombre réel égal à son unique coefficient.

Montrer que, si M ∈ Sn(R),

Min(sp_R(M)) =Min

X^>M X

X^>X ; X ∈ Mn,1(R)\ {0}

En déduire queAs∈ S_n⁺(R)si et seulement si∀X ∈ Mn,1(R), X^>AsX ≥0et queAs∈ S_n⁺⁺(R) si et seulement si∀X∈ Mn,1(R)\ {0}, X^>A_sX >0.

I.B.2) Montrer d’autre part que, siM ∈ An(R), alors∀X∈ Mn,1(R), X^>M X= 0.

I.B.3) Pour toute valeur propre réelle λdeA, montrer que min sp_R(As)≤λ≤max sp_R(As).

En déduire que si As∈ S_n⁺⁺(R)alorsAest inversible.

I.B.4) On suppose queAs∈ S_n⁺⁺(R).

a) Montrer qu’il existe une matriceB deS_n⁺⁺(R)telle que B²=As .

b) En déduire qu’il existe une matrice QdeAn(R)telle quedet(A) = det(As) det(In+Q).

c) Montrer que(det(In+Q))²= det(In−Q²).

d) Montrer queQ²∈ S_n(R)et que sp_R(Q²)⊂R⁻. e) Conclure quedet(A)≥det(A_s).

I.B.5) On suppose A inversible et, conformément aux notations du problème, (A⁻¹)_s désigne la partie symétrique de l’inverse de A. Montrer que (det(A))²det (A⁻¹)s

= det(As).

On pourra considérer A(A⁻¹)sA^>.

I.C - Partie symétrique des matrices orthogonales

I.C.1) SoitA∈On(R). Montrer que les valeurs propres deAs sont dans[−1,1].

I.C.2) Décrire sans démonstration l’ensemble des matrices deO2(R).

Donner un exemple de matrice symétriqueSdansS2(R)telle que sp_R(S)⊂[−1,1]et pour laquelle il n’existe pas de matrice A∈O₂(R)vérifiantA_s=S.

I.C.3) SoitS∈ Sn(R).

a) On suppose que sp_R(S)⊂[−1,1]et que pour toute valeur propreλdeS dans]−1,1[, l’espace propre de S associé à λ est de dimension paire. Montrer qu’il existe A ∈ O_n(R) telle que As=S.

b) Réciproquement, montrer que s’il existeA∈On(R)telle queAs=S, alors sp_R(S)⊂[−1,1]et pour toute valeur propreλdeS dans]−1,1[, l’espace propre deSassocié àλest de dimension paire.

On pourra utiliser le théorème de réduction des matrices orthogonales.

II Matrices F −singulières

Dans la suite de cette partie, on noteEn=Mn,1(R)qu’on munit du produit scalaire(· | ·)défini par

∀X, Y ∈En, (X |Y) =X^>Y où, comme au I.B.1, on identifie la matriceX^>Y à son unique coefficient.

Une matrice deMn(R)est ditesingulière si elle n’est pas inversible.

SiF est un sous-espace vectoriel non réduit à{0}deE_net siK∈ Mn(R), on dit queKestF−singulière s’il existeX ∈F non nul tel que∀Z ∈F, Z^>KX= 0. Dans le cas contraire, on dit queKestF−régulière.

II.A - Cas où F est un hyperplan

II.A.1) Montrer qu’une matrice deM_n(R)est singulière si et seulement si elle estE_n−singulière.

Dans cette sous-partie II.A, on suppose désormaisn≥2. SoitF =H un hyperplan deE_net soitN ∈E_n un vecteur unitaire normal àH.

II.A.2) Montrer que Aest H−singulière si et seulement s’il existe un vecteur non nulX deH et un réel λtels queAX=λN.

II.A.3) En déduire que Aest H−singulière si et seulement si la matriceAN = A N N^> 0

!

∈ Mn+1(R) est singulière.

Dans les questions suivantes,Aest une matrice inversible deMn(R).

II.A.4) Montrer qu’il existe une matrice B = B1 B2

B₃ B₄

!

avec B1 ∈ Mn(R), B2 ∈ Mn,1(R), B3 ∈ M1,n(R),

B₄∈ M1(R)telle que :A_NB= I_n 0 N^>A⁻¹ −N^>A⁻¹N

! . II.A.5) En déduire que det(AN) =−N^>A⁻¹Ndet(A).

II.A.6) Montrer que sidet (A⁻¹)s

= 0, alors il existe un hyperplanH deEntel queAestH−singulière.

II.A.7) En déduire que si det(As) = 0, alors il existe un hyperplanH deEn tel queAest H−singulière.

II.A.8) On suppose queA_s∈ S_n⁺⁺(R). Montrer queAest H−régulière pour tout hyperplanH deE_n.

II.B - ExempleOn traitera l’exemple

A=A(µ) =







2−µ −1 µ

−1 2−µ µ−1

0 −1 1







II.B.1) Montrer queA(µ)est inversible pour tout réel µ.

II.B.2) CalculerA(µ)_s et montrer queA(µ)_sest singulière pourµ= 1,1−√

3,1 +√ 3.

II.B.3) Déterminer un hyperplanH tel que A(1)soitH−singulière.

III Matrices positivement stables

On dit qu’une matriceA deMn(R)est positivement stable si toutes ses valeurs propres complexes ont une partie réelle strictement positive.

III.A - Exemples

III.A.1) SoitA∈ M2(R). Montrer queAest positivement stable si et seulement si Tr(A)>0etdet(A)>0.

III.A.2)

a) La somme de deux matrices positivement stables deM2(R)est-elle nécessairement positive- ment stable ?

b) Soit(u, v)∈[L(Cⁿ)]²deux endomorphismes deCⁿqui commutent (u◦v=v◦u). Soitw=u+v.

On considère une valeur propreλ∈Cdew, etEλ(w)le sous-espace propre associé.

Montrer queE_λ(w)est stable par u.

En déduire queEλ(w)contient au moins un vecteur propre deu, puis qu’il existeαetβ valeurs propres deuetv respectivement tels queλ=α+β.

c) SoitA, B dansMn(R)deux matrices positivement stables qui commutent. Montrer queA+B est positivement stable.

III.A.3) SoitA∈ M_n(R)telle queA_ssoit définie positive.

a) SoitX =Y +iZ une matrice colonne deMn,1(C), oùY et Z appartiennent àMn,1(R). On poseX =Y −iZ et on identifie la matriceX^TAX∈ M1(C)au nombre complexe égal à son unique coefficient.

Montrer que, siX 6= 0, alors Re

X^TAX

>0, où Re(z)désigne la partie réelle dez∈C.

b) Montrer queAest positivement stable.

III.A.4) Donner un exemple de matrice Apositivement stable telle queAs n’est pas définie positive.

III.B -Dans cette sous-partie III.B, on établit un résultat sur l’exponentielle de matrice qui sera utile par la suite.

III.B.1) Soitλ∈Ctel que Re(λ)>0. Soituune fonction à valeurs complexes de classeC¹surR⁺. On suppose que la fonction v=u⁰+λu est bornée surR⁺. Montrer queuest bornée surR⁺. On pourra résoudre l’équation différentielle y⁰+λy=v.

III.B.2) SoitT ∈ Mn(C)une matrice triangulaire supérieure à coefficients complexes. On suppose que les coefficients diagonaux deT sont des nombres complexes de partie réelle strictement positive. Soit u1, . . . , un des fonctions à valeurs complexes, définies et de classe C¹ sur R⁺ et soit, pour tout t∈R⁺,

U(t) =







 u1(t)

... u_n(t)









On suppose que, pour toutt∈R⁺,U⁰(t) +T U(t) = 0.

Montrer que les fonctions uj, où1≤j≤n, sont bornées surR⁺.

III.B.3) SoitA∈ M_n(R)une matrice positivement stable de valeurs propres complexes λ₁, . . . , λ_n et soit αun réel tel que0< α < min

1≤j≤nRe(λj).

Montrer que la fonction t7→e^αtexp(−tA)est bornée surR⁺. III.C - Une caractérisation des matrices positivement stables

SoitA∈ Mn(R)une matrice positivement stable. On considère l’endomorphismeΦdeMn(R)tel que

∀M ∈ Mn(R), Φ(M) =A^>M +M A.

III.C.1) Montrer queΦest positivement stable.

On pourra commencer par calculer les valeurs propres complexes de M 7−→M A en fonction de celles de A.

III.C.2)

a) Montrer qu’il existe une unique matriceB∈ Mn(R)telle queA^>B+BA=In. b) Montrer queB est symétrique.

c) AvecI.B.4.montrer que det(BA)>0; en déduire quedet(B)>0.

III.C.3) Pour tout réelt, on poseV(t) = exp(−tA^>) exp(−tA)et W(t) = Z t

0

V(s)ds.

a) Montrer que, pour tout réelt,V(t)∈ S_n⁺⁺(R)et que, si t >0, W(t)∈ S_n⁺⁺(R).

b) Montrer que, pour tout réelt,A^>W(t) +W(t)A=I_n−V(t).

c) On admet l’existence d’une normek.ksurMn(R)telle que

∀(U, V)∈ M_n(R)² kU Vk ≤ kUk kVk Montrer que pour tout couple (i, j) ∈ J1, nK

2 l’applicationt 7−→ (V(t))_i,j est intégrable sur [0,+∞[.

d) Qu’obtient-on en faisant tendret vers+∞dans l’égalité dub)? En déduire que la matriceB de la question III.C.2 est définie positive.