MATRICES SYMÉTRIQUES RÉELLES, MATRICES HERMITIENNES.

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�� MATRICES SYMÉTRIQUES RÉELLES, MATRICES HERMITIENNES.

SoitnœN^ú. PourM œMⁿ(K), on noteM^ú=M^€.

I. Généralités

[Gou��, §�.�, p��]

I. A. Définitions et premières propriétés

D��. [�� ,�� ]

SoitM œMⁿ(R). On dit queMest symétrique (resp. anti-symétrique) siM =M^€(resp.

M = ≠M^€). On noteSⁿ(R)(resp.Aⁿ(R)) l’ensemble des matrices symétriques (resp.

anti-symétriques) réelles.

SoitM œMⁿ(C). On dit queM est hermitienne siM =M^€. On noteHⁿ(C)l’ensemble des matrices hermitiennes.

E��.

Q

a 1 2 3 2 4 5 3 5 6

R

bœSⁿ(R)et Q

a 1 ≠i 3 + 2i

i 1 1 +i

3≠2i 1≠i 6 R

bœHⁿ(C).

R��. Hⁿ(C)est unR-espace vectoriel mais pas unC-espace vectoriel.

P��. dim(Sⁿ(R)) = ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾₂ ,dim(Aⁿ(R)) = ⁿ⁽ⁿ₂^≠1)etdim_R(Hⁿ(C)) =n². P��. On aMⁿ(R) =Sⁿ(R)üAⁿ(R)etHⁿ(C) =Sⁿ(R)üiAⁿ(R).

E��.

Q

a 1 2 3 4 5 6 7 8 9

R b=

Q

a 1 3 5 3 5 7 5 7 9

R b+

Q

a 0 1 2

≠1 0 1

≠2 ≠1 0 R b.

P��. PourAœSⁿ(R)ouHⁿ(R), on aSp(A)µR. D��. On définit :

• Sn⁺(R)l’ensemble desSœSⁿ(R)telles queX^€SX Ø0pourX œRⁿ,

• Sn⁺⁺(R)l’ensemble desSœSn⁺(R)telles queX^€SX= 0 =∆X = 0,

• H⁺n(C)l’ensemble desH œHⁿ(C)telles queX^€HX Ø0pourXœCⁿ,

• H⁺n(C)l’ensemble desH œH⁺n(C)telles queX^€HX = 0 =∆X = 0.

I. B. Liens avec les formes bilinéaires symétriques / hermitiennes

SoitEunK-espace vectoriel de dimension finien, avecK=RouCselon le contexte.

D��. SoitK=R. SoitÏ:E◊E≠æRune forme bilinéaire.

• Ïest dite symétrique siÏ(x, y) =Ï(y, x)pourx, yœE,

• siÏest symétrique, l’application : E ≠æR, x‘≠æ Ï(x, x)est appelée forme quadratique associée àÏ.Ïest appelée forme polaire associée à (elle est unique).

D��. SoitK= C. SoitÏ : E◊E ≠æ Cune forme sesquilinéaire (pour tout xœE,Ï(x, .)est linéaire etÏ(., x)est anti-linéaire).

• Ïest dite hermitienne siÏ(x, y) =Ï(y, x)pourx, yœE,

• siÏest hermitienne, l’application : E ≠æ R, x ‘≠æ Ï(x, x)est appelée forme hermitienne associée àÏ.Ïest appelée forme polaire associée à (elle est unique) E��. DansC([0,1],C), l’applicationÏ: (f, g)‘≠æs1

0 f gest hermitienne, et induit sur C([0,1],R)une forme bilinéaire symétrique.

SurKⁿ,(X, Y)‘≠æX^€.Y est bilinéaire symétrique ou sesquilinéaire hermitienne.

P��. SoitB^E = (e1, . . . , en)une base deEetÏ : E◊E ≠æ Kune forme bilinéaire ou sesquilinéaire. Alors

• siK = R,Ïest symétrique si et seulement siA = M_B_E(Ï) = (Ï(ei, ej))1Æi,jÆn œ Sⁿ(R),

• siK=C,Ïest hermitienne si et seulement siAœHⁿ(R).

Pourx, yœE, on noteXetYleurs coordonnées dansB^E. Dans les deux cas on a alors’x, yœ E,Ï(x, y) =X^€AY.

P��. SiB^ÕEest une autre base deE, etPest la matrice de passage deB^Evers B^ÕE, alorsM_B^Õ_E(f) =P^€AP.

II. Réduction et applications

[Gou��, §�.�, p��]

II. A. Orthogonalité et théorème spectral

[Rom��, Ch��, p��]

Soit une forme quadratique (resp. hermitienne) de forme polaireÏ.

D��. Une baseBdeEest dite -orthogonale siÏ(e, e^Õ) = 0poure”=e^ÕœB.

ÉNS Paris-Saclay –��/�� AntoineB��–https://perso.ens-lyon.fr/antoine.barrier/fr/ Page��sur��

(2)

Agrégation – Leçons ��– Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.

P��. Il existe une base -orthogonale deE.

T��. [�� ]

SoitM œSⁿ(R)(resp.M œHⁿ(C)). Alors il existe une matricePorthogonale (resp. unitaire) telle queP^≠1M P=P^úM Pest diagonale réelle.

A�� ��. Soit S œ Sⁿ(R). Alors S œ Sn⁺(R) (resp. S œ Sn⁺⁺(R)) si et seulement siSp(S)µR+(resp.Sp(S)µR^ú+).

P��. SoitA œSc⁺⁺_n (R)etB œ Sⁿ(R), alors il existeP œGLⁿ(R)telle que P^€APetP^€BPsoient diagonales.

II. B. Signature d’une forme quadratique/hermitienne et réduction de G��

[Rom��, Ch��, p��]

T��. [�� G��]

Pour toute forme quadratique (resp. hermitienne) surE, il existerœN,(⁄i)1ÆiÆrœ(R^ú)^r et(¸i)1ÆiÆrœ(E^ú)^rindépendantes telles que =qr

i=1⁄i¸²_i (resp. =qr

i=1⁄i|¸i|²).

E��. ((x, y, z, t)) =xy+yz+zt+tx= ¹₄[(x+z+y+t)²≠(x+z≠y≠t)²].

T��. Il existe un unique couple(s, t)d’entiers naturels tels que pour toute base B = (ei)1ÆiÆn -orthogonale, alors il y a exactementsvecteurs deBen lesquels >0,t vecteurs deBen lesquels <0etn≠s≠tvecteurs deBen lesquels = 0. On as+t= rg( ).

D��. Le couples, test appelé signature de .

E��. ((x, y, z, t)) =xy+yz+zt+txa pour signature(1,1)et pour rang2.

C��. SiAœ Sⁿ(R)(resp.Aœ Hⁿ(R)) est de rangr, il existes, tœNtels que s+t=retP œGLⁿ(R)(respP œGLⁿ(C)) telle queP^€AP(resp.P^úAP) est diagonale par blocs avec pour blocsIs,≠Itet0n≠r.

III. Propriétés topologiques en lien avec les matrices symé- triques réelles

^[CG��]

P��. Sn⁺⁺(R) =Sn⁺(R)µGLⁿ(R)est un ouvert deMⁿ(R).

L��. SoitAœSn⁺(R). Alors il existeSœSn⁺(R)unique telle queA=S².

T��. [�� ]

L’application Oⁿ(R)◊Sn⁺⁺(R) ≠æ GLⁿ(R)

(O, S) ‘≠æ OS est un homéomorphisme.

A��. Oⁿ(R)est le seul sous-groupe compact deGLⁿ(R)contenantOⁿ(R).

A��. PourAœMⁿ(R), on a|||A|||2=

ﬂ(A^€A).

D��. PourAœMⁿ(R), on poseexp(A) =q

nØ0Aⁿ n!. E��. On aexp(diag(⁄1, . . . ,⁄n)) = diag(e^⁄¹, . . . ,e^⁄ⁿ).

T��. exp :Sⁿ(R)≠æSn⁺⁺(R)est un homéomorphisme.

C��. GLⁿ(R)est homéomorphe àOⁿ(R)◊R^n(n+1)/2.

IV. Applications

IV. A. Di�érentielle seconde d’une fonction C

² [Rou��, p��] [Gou��, §�.�, p��]

T��. [�� S��]

Soitfune fonction de classeC²définie sur un ouvertUdeRⁿ. AlorsD²f œMⁿ(R)est une matrice symétrique.

L��. SoitA0œSⁿ(R)ﬂGLⁿ(R). Alors il existeV œV(A0)etgœC¹(V,GLⁿ(R)) telle que’AœV, A=g(A)^€A0g(A).

T��. [�� M��]

Soitf :U ≠æRune fonction de classeC³définie sur un ouvertUdeRⁿcontenant0. On suppose quedf(0) = 0etd²f(0)est non dégénérée, de signature(p, n≠p).

Alors il existe unC¹-di�éomorphismeÏentre deux voisinages de l’origine deRⁿtel que Ï(0) = 0etf(x)≠f(0) =Ï(x)²₁+· · ·+Ï(x)²p≠Ï(x)²_p+1≠· · ·≠Ï(x)²nau voisinage de0.

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A��. Soitx0un point critique deftel que la hessienne defest non dégénérée.

Alors c’est un minimum (resp. maximum) local si et seulement si la hessienne est de signature (n,0)(resp.(0, n)).

De plus, si la hessienne est de signature(p, n≠p)pour1ÆpÆn≠1, alors on a des directions vpour lesquellesx0sera minimum local deh‘≠æf(x+hv)et d’autres pour lesquellesx0sera maximum local.

E��. [��n= 2]Soitx0un point critique deftelle queD²f(x0) =3 r s s t

4 . Alors

• sirt≠s²>0etr+t >0,x0est un minimum local,

• sirt≠s²>0etr+t <0,x0est un maximum local,

• sirt≠s²<0,x0n’est pas un extremum,

• sirt≠s²= 0, on ne peut pas conclure.

E��. Pour le dernier cas, on peut considérer :

f(x, y) =x⁴ f(x, y) =≠x⁴ f(x, y) =x⁴≠y⁴

IV. B. Analyse matricielle numérique

[AK��, PIII/Ch�, p��/��]

T��. [��LU]

SoitA œGLⁿ(R)une matrice dont tous les mineurs principaux sont non nuls. Alors il existe un unique couple(L, U)de matrices tel queLest triangulaire inférieure avec diagonale de1, Uest triangulaire supérieure etA=LU.

E��. = Q

a 3 1 4 12 6 19 24 14 42

R b=

Q

a 1 0 0 4 1 0 8 3 1

R b

Q

a 3 1 4 0 2 3 0 0 1

R b.

C��. Si de plusAœSⁿ(R), il existeLtriangulaire inférieure à diagonale de1et Ddiagonale telle queA=LDL^€.

T��. [�� C��]

SoitA œ Sn⁺⁺(R). Alors il existe une unique matriceBtriangulaire inférieure telle que tous ses éléments diagonaux soient positifs etA=BB^€.

A��. [�� ]

Soientn, pœNetAœM^{n, p}(R)etbœRⁿ. On cherche un vecteurxœR^ptel queÎb≠AxÎ2= infyœR^pÎb≠AyÎ2.

(i) Il existe toujours une solution au problème, (ii) xest solution si et seulement siA^€Ax=A^€b,

(iii) SinØpetrg(A) =p,A^€Aest inversible et il existe une unique matrice réelleBtriangu- laire inférieure, à diagonale positive, telle queA^€A=BB^€, et alorsx= (BB^€)^≠1A^€b est une solution.

IV. C. Vecteurs gaussiens

[BL��, §IV.�, p��]

Soit( ,A,P)un espace probabilisé. SoitdœN^ú. D��. [�� ]

Une variable aléatoireX = (X1, . . . , Xd)à valeurs dansR^dest un vecteur gaussien si toute combinaison linéaire des(Xi)1ÆiÆdsuit une loi gaussienne.

E�� ��. Si les (Xi)1ÆiÆd sont indépendantes et identiquement distribuées de loi N(0,1), alorsXest un vecteur gaussien. On note alorsX≥N(0, Id).

P�� ��. La loi d’un vecteur gaussien X est entièrement déterminée par sa moyennem = E[X]et sa matrice de covariance = (Cov(Xi, Xj))1Æi,jÆd œ Sd⁺(R). On note alorsX ≥N(m, ).

P��. SoitmœR^d, œSn⁺(R). SoitX ≥N(0, Id).

Il existeAœM^d(R)telle que =AA^€et alorsm+AX≥N(m, ).

P��. SoitX≥N(m, ). Alors est inversible si et seulement si il n’existe pas de relation a�ine entre les(Xi)1ÆiÆdpresque surement.

Dans ce cas,Xadmet pour densitéf :x‘≠æ _(2ﬁ)^d₂Ô¹_{det( )}exp1

≠¹₂^t(x≠m) ^≠1(x≠m)2 .

(4)

��

On peut parler de probabilités avec la notion de covariance, les vecteurs gaussiens et le théo- rème deC��(cf [Ouv��]).

��

Q Montrer queGL2(R)a exactement2composantes connexes.

R Il y en a au moins2en considérant le déterminant. Ensuite on utilise l’homéomorphisme O2(R)◊R³lorsqueAœSO2(R)et

Q Donner une réduction deG��def(x, y, z, t) = 2xy≠y²+z²+t². R f(x, y, z, t) =≠(y≠1/2(2x≠3t))²+¹₄(2x≠3t)²+z²+t².

��

[AK��] G.A��et S.-M.K��:Algèbre linéaire numérique. Ellipses,��.

[BL��] P.B��et M.L��:Probabilité. EDP Sciences,��.

[CG��] P.C��et J.G��: Histoires hédonistes de groupes et de géométries - Tome�.

Calvage et Mounet,��.

[Gou��] X.G��:Les maths en tête - Analyse. Ellipses,�^èmeédition,��.

[Gou��] X.G��:Les maths en tête - Algèbre. Ellipses,�^èmeédition,��.

[Ouv��] J.-Y.O��:Probabilités : Tome�. Cassini,�^èmeédition,��.

[Rom��] J.-E.R��: Mathématiques pour l’agrégation : Algèbre et géométrie. De Boeck,

��.

[Rou��] F.R��:Petit guide de calcul di�érentiel. Cassini,��.

￿￿￿ MATRICES SYMÉTRIQUES RÉELLES, MATRICES HERMITIENNES.