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Deux matrices quelconques A et B de M

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

MPSI B 29 juin 2019

Énoncé

Dans tout ce problème, E est un R-espace vectoriel de dimension 3 .

Soit p un entier naturel non nul. Dans tout le problème sauf dans la qestion 1. l'entier p est égal à 3 .

Deux matrices quelconques A et B de M

p

( R ) sont dites semblables si et seulement si il existe une matrice inversible P ∈ GL

p

( R ) telle que B = P

−1

AP . On notera alors A ∼ B . L'objet de ce problème est de donner des exemples de matrices semblables à leurs inverses.

1. (question de cours) On rappelle que la trace d'une matrice est la somme des termes de sa diagonale. Montrer que deux matrices semblables ont la même trace.

2. Soit

A =

1 1 1 1 2 1 1 2 3

Montrer que A est inversible, préciser son inverse. La matrice A est-elle semblable à son inverse ?

3. Soit f ∈ L(E) telle que f

3

= f ◦ f ◦ f = 0

L(E)

. On pose g = −f + f

2

= −f + f ◦ f . a. On suppose f 6= 0

L(E)

et f

2

= 0

L(E)

.

Montrer que rg(f ) = 1 et qu'il existe une base A = (a

1

, a

2

, a

3

) de E telle que Mat

A

f =

0 0 1 0 0 0 0 0 0

b. On suppose f

2

6= 0

L(E)

.

Montrer qu'il existe une base A = (a

1

, a

2

, a

3

) de E telle que Mat

A

f =

0 1 0 0 0 1 0 0 0

c. Calculer (id

E

+f ) ◦ (id

E

+g) . Que peut-on en déduire pour id

E

+f ? d. Montrer que g

3

= 0

L(E)

et que g

2

= 0

L(E)

si et seulement si f

2

= 0

L(E)

. 4. On va montrer ici que toute matrice de la forme I

3

+ N avec

N =

0 α γ 0 0 β 0 0 0

 et (α, β, γ) ∈ R

3

est semblable à son inverse.

a. Montrer que I

3

+ N est inversible. Calculer N

2

et N

3

.

b. Soit A une base de E . On dénit un endomorphisme f ∈ L(E) par : Mat

A

f = N

En utilisant f , montrer que I

3

+ N est semblable à son inverse.

5. Donner un exemple de matrice dans M

3

( R ) qui est inversible et semblable à son inverse mais qui n'est pas semblable à une matrice de la forme de la question 4.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1

Rémy Nicolai Amat4

(2)

MPSI B 29 juin 2019

Corrigé

1. La relation tr(AB) = tr(BA) fait partie du cours (voir Les matrices pour elles mêmes).

On en déduit que deux matrices semblables ont la même trace car tr(P

−1

AP) = tr(AP P

−1

) = tr(A)

2. La matrice A est inversible car l'algorithme du pivot partiel permet de se ramener à une forme triangulaire, on peut poursuivre alors pour calculer l'inverse. On indique les opérations puis les matrices transformées à partir de A et de I

3

.

L

3

← L

3

− L

2

, L

2

← L

2

− L

1

1 1 1 0 1 0 0 0 2

1 0 0

−1 1 0 0 −1 1

L

1

← L

1

− L

2

, L

3

← 1

2 L

3

, L

1

← L

1

− L

3

1 0 0 0 1 0 0 0 1

2 −

12

12

−1 1 0 0 −

12 12

 = A

−1

La matrice A n'est pas semblable à son inverse car les traces sont diérentes, respec- tivement 6 et

72

.

3. a. Ici f

2

= 0 entraine Im f ⊂ ker f . On a donc rg f ≤ dim ker f avec rg f + dim ker = 3 (théorème du rang) et rg f > 0 car f n'est pas nulle. On en déduit rg f = 1 . Il existe un vecteur (notons le a

3

) dont l'image par f est non nulle. Posons a

1

= f (a

3

) . Comme f

2

est nulle, a

1

est un vecteur non nul du noyau. On peut le compléter par un vecteur a

2

du noyau de sorte que (a

1

, a

2

) soit une base du noyau.

La famille (a

1

, a

2

, a

3

) vérie alors :

f(a

1

) = 0

E

, f (a

2

) = 0

E

, f(a

3

) = a

1

C'est une base car elle est libre. Supposons λ

1

a

1

2

a

2

3

a

3

= 0

E

. En composant par f , on obtient λ

3

a

1

= 0

E

donc λ

3

= 0 puis λ

1

et λ

2

nuls car (a

1

, a

2

) est libre.

La matrice de f dans cette base est de la forme demandée.

b. Comme f

2

n'est pas la fonction nulle, il existe un vecteur (notons le a

3

) dont l'image par f

2

n'est pas nulle. On note a

2

= f (a

3

) et a

1

= f (a

2

) = f

2

(a

3

) . En composant par f , on vérie facilement que (a

1

, a

2

, a

3

) est libre donc une base de E . La matrice de f dans cette base est de la forme demandée.

c. On peut utiliser sereinement les règles de calculs usuelles car id

E

commute avec f . On obtient

(id

E

+f ) ◦ (id

E

+g) = id

E

−f

3

= id

E

On en déduit que id

E

+f est bijective de bijection réciproque id

E

+g .

d. De la dénition de g , on tire g

2

= f

2

puis g

3

= f

3

. On a donc évidemment g

3

nulle et d'autre part g

2

nulle si et seulement si f

2

est nulle.

4. a. La matrice I

3

+ N est inversible car triangulaire avec des 1 sur la diagonale donc de rang 3 . De plus,

N

2

=

0 0 αβ 0 0 0 0 0 0

 N

3

= 0

M3(R)

b. Par dénition de f , I

3

+ N = Mat

A

(id

E

+ f ) et (I

3

+ N )

−1

= Mat

A

(id

E

+ f )

−1

= Mat

A

(id

E

+ g) Si N est nulle, la similitude est évidente. Dans la cas général, on a f

3

et g

3

nulles avec f et g non nulles. Les fonctions f

2

et g

2

peuvent être nulles mais alors elles le sont ensemble. Il existe donc des bases B et B

0

telles que Mat

A

(id

E

+ f ) et Mat

A

(id

E

+ g) soient égales à une des matrices de 3.a ou 3.b. La formule de changement de base pour la matrice d'un endomorphisme montre alors que I

3

+N est semblable à son inverse.

5. On peut choisir une matrice diagonale avec des termes non nuls sur la diagonale et stables par inversion. Par exemple

A =

2 0 0 0

12

0 0 0 1

 A

−1

=

0

12

0 2 0 0 0 0 1

alors A

−1

= P

−1

AP avec pour P une matrice de permutation P =

0 1 0 1 0 0 0 0 1

La matrice A n'est pas semblable à une matrice de la forme de la question 4 car sa trace n'est pas égale à 3 .

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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Rémy Nicolai Amat4

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