Vérifier que la matrice inverse de A est

L.H.T Série d’exercices (Matrices) 4 Info

Prof : M- Samir 2013/2014 Exercice N°1 :

On considère les matrices suivantes : A=

1 −1 2

3 4 2

−1 0 1

; B =

2 3 1

0 −2 −1

−4 2 −3

; C =

1 2

−1 3

−2 −3

; D = −1 1

2 1 ; E = 3 3 2 2 1) Calculer les matrices suivantes : A + B ; A - B ; 2A + 3B ; A x B ; B x A ; A x C ; B x C ; E x D . 2) Calculer les déterminants des matrices A , B , D et E.

3) Ces matrices sont-elle inversibles ?.justifier.

Exercice N°2 :

On considère les matrices A et B définies par A=

−3 5 6

−1 2 2

1 −1 −1

et B =

0 1 2

−1 3 0

1 −2 1

1) Vérifier que dét(A) = -1.Déduire que la matrice A est inversible.

2) Calculer A x B et B x A. Conclure.

Exercice N°3 :

On donne la matrice A définie par A =

1 2 −1

3 4 2

1 0 5

.

1) Calculer dét (A) . La matrice A est-elle inversible ? 2) On considère le système suivant :

(S)

𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 1 3𝑥 + 4𝑦 + 2𝑧 = 2 𝑥 + 5𝑧 = 3

a) Ecrire la matrice associée au système (S) . b) On donne la matrice A’ définie par A’ =

−10 5 −4

13

2 −3 ⁵

2

2 −1 1

. Vérifié que A’ est l’inverse de A .

c) Résoudre alors le système (S) par un calcule matricielle.

Exercice N°4 :

On considère les matrices A et B définies par A=

1 −1 0

2 1 1

−1 0 1

et B =

1 1 −1

−3 1 −1

1 1 3

1) Calculer dét (A) . La matrice A est-elle inversible ? 2) Calculer la matrice 𝐶 = ¹

4𝐵

3) Calculer la matrice AxC. Déduire la matrice inverse de A.

4) Résoudre alors le système (S) par un calcule matricielle. (S)

𝑥 − 𝑦 = 1 2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 2

−𝑥 + 𝑧 = 3

Exercice N°5 : Soit 𝐴 =

𝑎 + 3 5 3 𝑎² 3 2

1 2 2

avec 𝑎 ∈ 𝐼𝑅

1)

Pour quelle valeur de 𝒂 la matrice A n’est pas inversible.

2)

Dans la suite on prend 𝒂 = −𝟏

a) Calculer le déterminant de A et déduire que A est inversible.

b)

Vérifier que la matrice inverse de A est 𝐴

=

2 −4 1 0 1 −1

−1 1 1

3) Résoudre par un calcul matriciel le système (𝑆) suivant : (𝑆) :

2𝑥 + 5𝑦 + 3𝑧 = 1 𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = −1 𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 1

Exercice N° 6 :

Soit A la matrice définie par : 𝐴 =

2 −1 3

−3 1 −1

1 1 1

1) Calculer le déterminant de la matrice A, conclure.

2) Vérifier que la matrice inverse de A est

𝐴

= −

10

2 4 −2 2 −1 −7

−4 −3 −1

a- Calculer 𝐴² puis 𝐵.

b- Calculer 𝐴x𝐵 . conclure.

c- Retrouver l’expression de 𝐴⁻¹. Exercice N° 7 :