ULP - IPST - Master IT 6 novembre 2007
Commande des Machines Examen de contrˆole continu
Correction
Enseignant : E. Laroche Dur´ee : une heure
Epreuve sans document et sans calculatrice´
A. Transform´ ee de Laplace inverse
Le signalY(s) se d´ecompose en ´el´ements simples sous la forme : Y(s) = λ1
s + λ2
s+ 2 + λ3
s+ 10
On d´etermine ensuite λ1 = 1/4,λ2 =−3/16 et λ3 =−1/16. On a alors : y(t) =
µ1 4 − 3
16exp(−2t)− 1
16exp(−10t)
¶ ue(t)
B. Moteur ` a courant continu
1.
Jdy(t)
dt =Ku(t)−f y(t) (1)
2. Y(s)
U(s) = K
Js+f (2)
3. En choisissant comme variable d’´etat x(t) = y(t), on peut ´ecrire :
˙
x(t) = Ax+Bu (3)
y(t) = Cx+Du (4)
1
10−1 100 101
−25
−20
−15
−10
−5 0
Gain (dB) − 20*log10(K/f)
10−1 100 101
−100
−80
−60
−40
−20 0
τ * Pulsation
Phase en deg.
Fig. 1 – Diagramme de Bode du syst`eme
avec A = fJ, B = KJ, C = 1 et D = 0. On peut ´egalement choisir x(t) = Jy(t) avec les matrices A= fJ, B =K, C= J1 etD= 0.
4. On peut soit r´esoudre l’´equation diff´erenteille avec second membre constant, soit ´ecrire la r´eponse dans le domaine de Laplace et reve- nir ensuite dans le domaine temporel. Dans tous les cas, la r´eponse obrtenue est :
y(t) = K
f (1−exp(−t
τ)) (5)
avec τ = Jf. 5. Voir figure 1.
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