A. Transform´ ee de Laplace inverse

ULP - IPST - Master IT 6 novembre 2007

Commande des Machines Examen de contrˆole continu

Correction

Enseignant : E. Laroche Dur´ee : une heure

Epreuve sans document et sans calculatrice´

A. Transform´ ee de Laplace inverse

Le signalY(s) se d´ecompose en ´el´ements simples sous la forme : Y(s) = λ1

s + λ2

s+ 2 + λ3

s+ 10

On d´etermine ensuite λ₁ = 1/4,λ₂ =−3/16 et λ₃ =−1/16. On a alors : y(t) =

µ1 4 − 3

16exp(−2t)− 1

16exp(−10t)

¶ ue(t)

B. Moteur ` a courant continu

1.

Jdy(t)

dt =Ku(t)−f y(t) (1)

2. Y(s)

U(s) = K

Js+f (2)

3. En choisissant comme variable d’´etat x(t) = y(t), on peut ´ecrire :

˙

x(t) = Ax+Bu (3)

y(t) = Cx+Du (4)

1

10⁻¹ 10⁰ 10¹

−25

−20

−15

−10

−5 0

Gain (dB) − 20*log10(K/f)

10⁻¹ 10⁰ 10¹

−100

−80

−60

−40

−20 0

τ * Pulsation

Phase en deg.

Fig. 1 – Diagramme de Bode du syst`eme

avec A = ^f_J, B = ^K_J, C = 1 et D = 0. On peut ´egalement choisir x(t) = Jy(t) avec les matrices A= ^f_J, B =K, C= _J¹ etD= 0.

4. On peut soit r´esoudre l’´equation diff´erenteille avec second membre constant, soit ´ecrire la r´eponse dans le domaine de Laplace et reve- nir ensuite dans le domaine temporel. Dans tous les cas, la r´eponse obrtenue est :

y(t) = K

f (1−exp(−t

τ)) (5)

avec τ = ^J_f. 5. Voir figure 1.

2