Lyc´ee Schuman Perret
Octobre 2020 CONTR ˆOLE SUR LA TRANSFORM´EE DE LAPLACE Cira2
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✌ Nom :
EXERCICE 1 QCM.
Une seule r´eponse exacte par question. Afin d’´eliminer les strat´egies de r´eponses au hasard, chaque r´eponse exacte est gratifi´ee de 1 point, tandis que chaque r´eponse fausse est p´enalis´ee par le retrait d’1 point.
0 1 2 3 4 5
−1 1 2
A pour expression :
f(t) =tU(t)−2(t−2)U(t−2) f(t) =U(t)−2U(t−2) +U(t−4) f(t) =tU(t)−(t−2)U(t−2) + (t−4)U(t−4) f(t) =tU(t)−2(t−2)U(t−2) + (t−4)U(t−4)
La transform´ee de Laplace de f(t) = cos(3t)e−tU(t)
A pour expression :
F(p) = p+ 1
(p+ 1)2+ 9e−p+1×1 p
F(p) = p+ 1
(p+ 1)2+ 9
F(p) = p
p2+ 9× 1 p+ 1
F(p) = p+ 1
(p+ 1)2+ 9e−p+1
Si p+ 1 p2(p+ 2) = A
p2 +B p + C
p+ 2
Alors :
B= 1
4
B= 1
2
B= −3
4
B= −1
4
L’original deF(p) = 1
p+ 1(1−e−p)
est :
f(t) =e−tU(t) +e−tU(t−1) f(t) =etU(t)−et−1U(t−1) f(t) =e−tU(t)−e−t+1U(t−1) f(t) =etU(t)−etU(t−1)
St´ephane Le M´eteil Page 1 sur2
Lyc´ee Schuman Perret
Octobre 2020 CONTR ˆOLE SUR LA TRANSFORM´EE DE LAPLACE Cira2
EXERCICE 2
On rappelle que la fonction ´echelon unit´e, not´eeU, est d´efinie sur l’ensemble des nombres r´eels par (U(t) = 0 sit <0
U(t) = 1 sit≥0
Une fonction d´efinie surRest causale si elle est nulle sur l’intervalle ]− ∞; 0[.
1. On consid`ere la fonction causalee d´efinie sur l’ensemble des nombres r´eels par : e(t) = 4 [U(t)−U(t−2)]
a. Tracer la repr´esentation graphique de la fonctionedans un rep`ere orthonormal.
b. On noteE la transform´ee de Laplace de la fonctione.
D´eterminerE(p).
On consid`ere la fonctionstelle que 4s′(t) +s(t) =e(t) et s(0) = 0
On admet que la fonctionsadmet une transform´ee de Laplace, not´eeS. Rappel :L(y′) =p×Y −y(0) 2. D´emontrer que :
S(p) = 1 p
p+1
4
1−e−2p
3. D´eterminer les r´eelsaet btels que :
1 p
p+1
4 = a
p+ b p+1
4
4. Recopier et compl´eter le tableau ci-dessous dans lequelf repr´esente la fonction causale associ´ee `aF : F(p) 1
p 1
pe−2p 1 p+14
1 p+14e−2p
f(t)
5. a. D´eterminers(t),td´esignant un nombre r´eel quelconque.
b. V´erifier que :
s(t) = 0 sit <0 s(t) = 4−4e−4t si 0≤t <2 s(t) = 4e−t4
e12 −1
sit≥2
EXERCICE 3
Soit l’´equationy′′−5y′−14y=tU(t) ety(0) = 0 ety′(0) = 6 1. Transformer cette expression avec la m´ethode de Laplace.
Rappel :L(y′′) =p2×Y −p×y(0)−y′(0) 2. Montrer queY(p) = 1 + 6p2
p2(p+ 2)(p−7).
3. D´eterminer les r´eelsA,B,C etD pour que : 1 + 6p2
p2(p+ 2)(p−7) = A p2 +B
p + C
p+ 2 + D p−7. 4. En d´eduire l’originaley deY.
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