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✌ Nom :
EXERCICE 1 QCM.
Une seule r´eponse exacte par question. Afin d’´eliminer les strat´egies de r´eponses au hasard, chaque r´eponse exacte est gratifi´ee de 1 point, tandis que chaque r´eponse fausse est p´enalis´ee par le retrait d’1 point.
0 1 2 3 4 5
−1 1 2
A pour expression :
f(t) =tU(t)−2(t−2)U(t−2) f(t) =U(t)−2U(t−2) +U(t−4) f(t) =tU(t)−(t−2)U(t−2) + (t−4)U(t−4)
⊠ f(t) =tU(t)−2(t−2)U(t−2) + (t−4)U(t−4)
La transform´ee de Laplace de f(t) = cos(3t)e−tU(t)
A pour expression :
F(p) = p+ 1
(p+ 1)2+ 9e−p+1×1 p
⊠ F(p) = p+ 1
(p+ 1)2+ 9
F(p) = p
p2+ 9× 1 p+ 1
F(p) = p+ 1
(p+ 1)2+ 9e−p+1
Si p+ 1 p2(p+ 2) = A
p2 +B p + C
p+ 2
Alors :
⊠ B= 1
4
B= 1
2
B= −3
4
B= −1
4
L’original deF(p) = 1
p+ 1(1−e−p)
est :
f(t) =e−tU(t) +e−tU(t−1) f(t) =etU(t)−et−1U(t−1)
⊠ f(t) =e−tU(t)−e−t+1U(t−1) f(t) =etU(t)−etU(t−1)
EXERCICE 2
On rappelle que la fonction ´echelon unit´e, not´eeU, est d´efinie sur l’ensemble des nombres r´eels par (U(t) = 0 sit <0
U(t) = 1 sit≥0
Une fonction d´efinie surRest causale si elle est nulle sur l’intervalle ]− ∞; 0[.
1. On consid`ere la fonction causalee d´efinie sur l’ensemble des nombres r´eels par : e(t) = 4 [U(t)−U(t−2)]
a. Tracer la repr´esentation graphique de la fonctionedans un rep`ere orthonormal.
1 2 3
−1 1 2 3 4
t e(t)
b b
b. On noteE la transform´ee de Laplace de la fonctione.
D´eterminerE(p).
Puisquee(t) = 4U(t)−4U(t−2), le cours donne E(p) =4 p−4
pe−2p On consid`ere la fonctionstelle que 4s′(t) +s(t) =e(t) et s(0) = 0
On admet que la fonctionsadmet une transform´ee de Laplace, not´eeS. Rappel :L(y′) =p×Y −y(0) 2. D´emontrer que :
S(p) = 1 p
p+1
4
1−e−2p
PuisqueL(s′) =p×S−s(0) ets(0) = 0, la transform´ee de l’´equation diff´erentielle s’´ecrit : 4
p×S(p)−0
+S(p) =4 p−4
pe−2p donc (4p+ 1)×S(p) =4
p×(1−e−2p) puisS(p) = 4
p(4p+ 1)×(1−e−2p)
3. D´eterminer les r´eelsaet btels que :
1 p
p+1
4 = a
p+ b p+1
4 NotonsG(p) = 1
p
p+1 4
= a
p+ b p+1
4 On a : lim
p→0p×G(p) = lim
p→0
1 p+1
4
= 1
1 4
= 4 =a+ 0 donca= 1 4 Puis : lim
p→−1 4
(p+1
4)×G(p) = lim
p→0
1 p = 1
−14 =−4 = 0 +b doncb=−1 4
4. Recopier et compl´eter le tableau ci-dessous dans lequelf repr´esente la fonction causale associ´ee `aF : F(p) 1
p 1
pe−2p 1 p+14
1 p+14e−2p
f(t) U(t) U(t−2) e−t/4U(t) e−(t−2)/4U(t−2)
5. a. D´eterminers(t),td´esignant un nombre r´eel quelconque.
PuisqueS(p) =
4
p− 4 p+14
1−e−2p On a :S(p) =
4
p− 4 p+14
− 4
p− 4 p+14
e−2p doncs(t) =
4U(t)−4e−t/4U(t)
−
4U(t−2)−4e−(t−2)/4U(t−2) b. V´erifier que :
s(t) = 0 sit <0 s(t) = 4−4e−4t si 0≤t <2 s(t) = 4e−t4
e12 −1
sit≥2
• Sit <0 alorsU(t) =U(t−2) = 0 donc s(t) = 0−0 = 0
• Si 06t <2 alorsU(t) = 1 etU(t−2) = 0 doncs(t) = 4−4e−t/4−0 = 4−4e−t/4
• Si 26talorsU(t) = 1 etU(t−2) = 1
doncs(t) = 4−4e−t/4−4 + 4e−(t−2)/4=−4e−t/4+ 4e−t/4+1/2= 4e−t/4(e1/2−1)
EXERCICE 3
Soit l’´equationy′′−5y′−14y=tU(t) ety(0) = 0 ety′(0) = 6
Rappel :L(y′′) =p2×Y −p×y(0)−y′(0) 1. Transformer cette expression avec la m´ethode de Laplace.
La transform´ee donne :p2×Y −p×y(0)−y′(0)−5(pY −y(0))−14Y = 1
p2 ory(0) = 0 ety′(0) = 6
2. Montrer queY(p) = 1 + 6p2 p2(p+ 2)(p−7). On a :p2Y −5pY −14Y −6 = 1
p2 donc (p2−5p−14)Y = 6 + 1 p2 donc (p2−5p−14)Y = 6p2+ 1
p2 et enfinY = 6p2+ 1 p2(p2−5p−14) 3. D´eterminer les r´eelsA,B,C etD pour que : 1 + 6p2
p2(p+ 2)(p−7) = A p2 +B
p + C
p+ 2 + D p−7. NotonsG(p) = 1 + 6p2
p2(p+ 2)(p−7) = A p2+B
p + C
p+ 2+ D p−7 D´etaillons totalement tous les calculs :
•Pour trouverAassoci´e `ap2, on multiplieG(p) parp2, on simplifie et on fait tendrepvers 0 On obtient :p2×G(p) =p2× 1 + 6p2
p2(p+ 2)(p−7) =p2× A
p2 +p2×B
p +p2× C
p+ 2 +p2× D p−7 puisp2×G(p) = 1 + 6p2
(p+ 2)(p−7) =A+p×B+p2× C
p+ 2+p2× D p−7 puis lim
p→0p2×G(p) = lim
p→0
1 + 6p2
(p+ 2)(p−7) = lim
p→0A+ lim
p→0p×B+ lim
p→0p2× C
p+ 2 + lim
p→0p2× D p−7 donc lim
p→0p2×G(p) =−1
14 =A+ 0 + 0 + 0 doncA= −1 14
•Pour trouverB associ´e `a (p+ 2), on multiplieG(p) par (p+ 2), on simplifie et on fait tendrepvers−2 On obtient : (p+2)×G(p) = (p+2)× 1 + 6p2
p2(p+ 2)(p−7) = (p+2)×A
p2+(p+2)×B
p+(p+2)× C
p+ 2+(p+2)× D p−7 puis (p+ 2)×G(p) = 1 + 6p2
p2(p−7) = (p+ 2)×A
p2 +(p+ 2)×B
p +C+(p+ 2)×D p−7 puis lim
p→−2(p+ 2)× ×G(p) = lim
p→−2
1 + 6p2
p2(p−7) = lim
p→−2
(p+ 2)×A p2 + lim
p→−2
(p+ 2)×B
p +C+ lim
p→−2
(p+ 2)×D p−7 donc lim
p→−2(p+ 2)×G(p) = 25
−36 = 0 + 0 +C+ 0 doncC=−25 36
•Pour trouverC associ´e `a (p−7), on multiplieG(p) par (p−7), on simplifie et on fait tendrepvers 7 On obtient : (p−7)×G(p) = (p−7)× 1 + 6p2
p2(p+ 2)(p−7) = (p−7)×A
p2+(p−7)×B
p+(p−7)× C
p+ 2+(p−7)× D p−7 puis (p−7)×G(p) = 1 + 6p2
p2(p+ 2) = (p−7)×A
p2 +(p−7)×B
p +(p−7)×C p+ 2 +D puis lim
p→7(p−7)× ×G(p) = lim
p→7
1 + 6p2
p2(p+ 2) = lim
p→7
(p−7)×A p2 + lim
p→7
(p−7)×B
p + lim
p→7
(p−7)×C p−7 +D donc lim
p→7(p−7)×G(p) =295
441 = 0 + 0 + 0 +DdoncD= 295 441
•Pour trouverB associ´e `ap, on multiplieG(p) par p, on simplifie et on fait tendrepvers∞ ici
On obtient :p×G(p) =p× 1 + 6p2
p2(p+ 2)(p−7) =p× A
p2 +p×B
p +p× C
p+ 2+p× D p−7
4. En d´eduire l’originaley deY.
Puisquep2−5p−14 = (p+ 2)(p−7) et que Y = 6p2+ 1
p2(p2−5p−14) on a doncY = 1 + 6p2 p2(p+ 2)(p−7) On a donc obtenu que :Y = −1
14 × 1 p2+ 5
196×1 p−25
36× 1
p+ 2 +295 441× 1
p−7 On peut alors lire les originaux :
y(t) =−1
14 ×t×U(t) + 5
196×U(t)−25
36 ×e−2t×U(t) +295
441×e7t×U(t)
