2 Repr´ esentation graphique d’un nombre complexe

(1)

L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB2−2011-2012

D. Blotti`ere Math´ematiques

Chapitre II

Nombres complexes et trigonom´ etrie

Table des mati` eres

1 Nombres complexes et forme alg´ebrique 2

2 Repr´esentation graphique d’un nombre complexe 3

3 Conjugaison complexe 5

4 Module d’un nombre complexe 6

5 Rappels de trigonom´etrie 7

5.1 Enroulement de la droite r´eelle autour du cercle unit´e . . . 7

5.2 D´efinition du cosinus et du sinus d’un nombre r´eel . . . 7

5.3 Valeurs remarquables de cosinus et de sinus . . . 7

5.4 Formules de trigonom´etrie . . . 8

6 Les nombres complexes de la formeeîθ, avec θ∈R 9 7 Les formules d’Euler 10 8 Les formules de de Moivre 10 9 Nombres complexes de module 1 10 10 Formes trigonométriques et arguments d’un nombre complexe non nul 11 11 Synthèse sur trois aspects des nombres complexes 13 12 Résolution dans C des équations du second degré à coefficients réels 13 13 Somme et produit des racines d’un trinôme du second degré à coefficients réels 14 14 Équations trigonométriques 15 14.1 Cas d’égalité de cosinus, cas d’égalité de sinus . . . 15

14.2 ´Etude de l’´equationacos(x) +bsin(x) =c, aveca, b∈R^∗ etc∈R . . . 15

(2)

1 Nombres complexes et forme alg´ ebrique

Théorème 1 (existence et caractérisation de l’ensemble des nombres complexes) : Il existe un unique ensemble muni d’une addition et d’une multiplication, appelé ensemble des nombres complexes, notéC, vérifiant :

1. CcontientR;

2. l’addition et la multiplication dans Cprolongent celles de Ret suivent les mêmes règles de calcul ; 3. il existe un élémentideCvérifianti²=−1 ;

4. tout élémentz deCs’écrit de manière unique sous la forme : z=a+ib, avecaet bréels appelée forme algébrique de z.

Remarques

1. Soita∈R. Alors, d’après le 1. du théorème 1, on a :a∈C. Sa forme algébrique est : a+i0

que l’on note simplement a.

2. La forme alg´ebrique du nombre complexeiest : 0 +i1 que l’on note simplement i.

Exemple 1 :Les nombres−1 +i, 1 3 +7

5iet√ 2−3

7isont des nombres complexes.

Définition (partie réelle, partie imaginaire, module d’un nombre complexe) : Soit z ∈ C. Alors d’après la propriété 4 du théorème 1, il existe un unique couple (a, b)∈R² tel que :z=a+ib. On dit que :

1. aest la partie réelle dez et est notéeRe(z) ; 2. b est la partie imaginaire dez et est notéeIm(z) ; Remarques

1. La partie r´eelle et la partie imaginaire d’un nombre complexe sont des nombres r´eels.

2. On peut reformuler la propriété 4 du théorème 1 comme suit. Pour tout z1, z2∈C, on a : z1=z2⇐⇒







Re(z1) =Re(z2) et

Im(z1) =Im(z2) .

On peut ainsi ramener une égalité entre nombres complexes à deux égalités entre nombres réels ; ceci peut s’avérer très utile dans la résolution de certaines équations mettant en jeu des nombres complexes (cf.

exercices 5 et 6).

⋄ Exercice 1

1. Simplifier l’´ecriture de :i²,i³,i⁴,i⁵,i⁶,i⁷,i⁸,i⁹. 2. (a) Soient z1et z2les nombres complexes d´efinis par :

z1= 2−i ; z2= 1 + 3i.

Déterminer la forme algébrique, la partie réelle et la partie imaginaire des nombres complexes suivants.

a) z1+z2 b) z1−z2 c) z²₁ d) z₂²

e) z1z2 f) (z1+z2)² g) z²₁+ 2z1z2+z2 h) (z1−z2)² i) z₁²−2z1z2+z²₂ j) z₁²−z₂² k) (z1−z2)(z1+z2)

(3)

(b) Qu’observe-t-on ?

Propriété (caractérisation des nombres réels) :Un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, i.e. :

∀z∈C z∈R⇐⇒Im(z) = 0.

Définition (imaginaire pur) : Un nombre complexe est appelé imaginaire pur si sa partie réelle est nulle.

Exemple 2 :Les nombres 2i,−2 9iet i√

7 sont des imaginaires purs.

⋄ Exercice 2 :D´emontrer que pour tout nombre complexez, on a :

z²∈R⇐⇒







z∈R ou

z est imaginaire pur .

Théorème 2 (inversibilité et inverse d’un nombre complexe non nul) :Soit z un nombre complexe non nul.

1. Il existe un unique nombre complexez^′, appel´e inverse dez, not´ez⁻¹ ou 1

z, tel que : zz^′ =z^′z= 1.

2. Si z=a+ib(a, b∈R) est la forme alg´ebrique dez, alors la forme alg´ebrique de 1

z est donn´ee par : 1

z = a

a²+b² −i b a²+b².

Notation :Si z1et z2sont deux nombres complexes, alors on note : z1

z2

le nombre complexez1z₂⁻¹=z1

1 z2

.

⋄ Exercice 3 :Soientz1 etz2 les nombres complexes d´efinis par : z1= 1

2−3i ; z2= 3−4i 1 +i. D´eterminer la forme alg´ebrique dez1 et dez2.

2 Repr´ esentation graphique d’un nombre complexe

Pour toute la suite de ce texte, on fixe un rep`ere orthonorm´e (O;−→i ,−→j) du plan.

Définition (point du plan associé à un nombre complexe) :Soitz∈R. On notez=a+ib(a, b∈R) sa forme algébrique. On définit le pointM(z) du plan comme étant le point du plan de coordonnées (a, b) dans le repère (O;−→i ,−→j). Le pointM(z) est appelé point du plan associé àz.

Exemple 3 :Ci-dessous, est représenté le pointM(3 + 2i) associé au nombre complexe 3 + 2i.

(4)

1 2 3

−1

1 2 3 4 5

−1

bM

⋄ Exercice 4 :Repr´esenter graphiquement les points suivants.

a) M(0) b) M(1) c) M(−3) d) M(i)

e) M(−2i) f) M(5 + 2i) g) M(5−2i) h) M(−5 + 2i)

Définition (affixe d’un point du plan) : Soit M un point du plan, de coordonnées (a, b) dans le repère (O;−→i ,−→j). On appelle affixe deM, et on notezM, le nombre complexea+ib.

Exemple 4 :On consid`ere les trois pointsM1,M2et M3du graphique suivant.

1 2 3 4 5 6

−1

1 2 3 4 5 6

−1

−2

b

M1

b M2

bM3

L’affixe deM1 estzM₁ =−1 + 2i, celle du pointM2est zM₂ = 3−iet celle du point M3 estzM₃= 4 + 5i.

Propri´et´e (Cest en bijection avec les points du plan) : L’application : z7→M(z)

deC vers l’ensemble des points du plan est bijective. Sa bijection r´eciproque, qui va de l’ensemble des points du plan versC, est donn´ee par :

M 7→zM.

Remarques

1. Cette correspondance biunivoque entreCet l’ensemble des points du plan nous permettra de^≪visualiser^≫ non seulement Clui-même, mais aussi plusieurs notions introduites ci-après. Elle ne sera utilisée, ici, que comme un moyen de rendre concrets des concepts, qui, sans l’illustration géométrique, seraient peut-être moins évidents à saisir.

2. On souligne que ce lien ténu entre C et l’ensemble des points du plan fournit un outil puissant pour démontrer des résultats en géométrie, par exemple, via des calculs sur les nombres complexes. Cet aspect des nombres complexes n’est pas au programme de TB.

(5)

⋄ Exercice 5 :Montrer que l’ensembleE des pointsM du plan d’affixez v´erifiant : z² est imaginaire pur

est la réunion de deux droites du plan. On donnera une équation cartésienne de chacune de ces droites et on les représentera graphiquement.

3 Conjugaison complexe

Définition (conjugué d’un nombre complexe) :Soitzun nombre complexe, de forme algébriquez=a+ib (a, b∈R). On définit le conjugué dez, notéz, par :

z=a−ib.

Exemple 5 :Le conjugu´e dez1=−2 + 3i estz1=−2−3i, celui dez2= 1−iestz2= 1 +i.

⋄ Exercice 6 :R´esoudre l’´equation :

(E) : iz−2z=−1 +i d’inconnuez∈C.

Théorème 3 (caractérisation des réels et des imaginaires purs) :Soitz∈C. On a les deux équivalences suivantes.

1. z∈Rsi et seulement siz=z.

2. z est imaginaire pur si et seulement siz=−z.

⋄ D´emonstration

Propriété (représentation graphique du conjugué d’un nombre complexe) :Soitz∈C. Alors le point du planM(z) associé àz est le symétrique du point du planM(z) associé àzpar rapport à l’axe des abscisses (Ox).

bM(z)

Remarque :Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si leurs conjugués sont égaux.

Théorème 4 (propriétés algébriques de la conjugaison complexe) 1. ∀z1, z2∈C z1+z2=z1+z2

2. ∀z1, z2∈C z1−z2=z1−z2

3. ∀z1, z2∈C z1z2=z1z2

4. ∀z∈C^∗=C\ {0} 1

z

= 1 z 5. ∀z1∈C ∀z2∈C^∗

z1

z2

= z1

z2

⋄ D´emonstration

⋄ Exercice 7 :Soitn∈N^∗. Montrer que le nombre complexeZ d´efini par : Z= (3 + 4i)ⁿ+ (3−4i)ⁿ est r´eel.

(6)

4 Module d’un nombre complexe

Définition (module d’un nombre complexe) :Soitzun nombre complexe, de forme algébriquez=a+ib (a, b∈R). On définit le module dez, noté|z|, par :

|z|=p a²+b².

Remarque :Le module d’un nombre complexe est un nombre r´eel positif ou nul.

Exemple 6 :Le module dez= 1−2iest|z|=p

1²+ (−2)²=√ 5.

Propriété (interprétation géométrique du module d’un nombre complexe) :

1. Soit z ∈ C. Alors le module de |z| est égal à la distance OM(z) de l’origine O au point du plan M(z) associé à z.

2. Soient z1, z2∈C. Alors|z1−z2|est ´egal `a la longueurM(z1)M(z2).

1 2 3 4 5

−1

1 2 3 4 5 6

−1

−2

−3

−4

−5

|z₁−z₂|=M(z₁)M(z₂)

|z|=OM(z)

bM(z)

b

O

b

M(z1)

b

M(z2)

⋄ Exercice 8 : Calculer |1|,|i|,|1 +i|et | −√ 2 + 2i|.

⋄ Exercice 9 :Montrer que l’ensembleCdes pointsM du plan d’affixezv´erifiant :

|z−1 + 2i|= 50

est un cercle. On donnera une équation cartésienne de ce cercle et on le représentera graphiquement.

Théorème 5 (propriétés du module) 1. ∀z∈C zz=|z|²

2. ∀z1, z2∈C |z1z2|=|z1| |z2| 3. ∀z∈C^∗

1 z

= 1

|z| 4. ∀z1∈C ∀z2∈C^∗

z1

z2

=|z1|

|z2|

5. ∀z1, z2∈C | |z1| − |z2| | ≤ |z1+z2| ≤ |z1|+|z2| (in´egalit´e triangulaire)

⋄ D´emonstration

⋄ Exercice 10 :Soient z1et z2les nombres complexes d´efinis par : z1= 3−4i ; z2= 2 + i

2. 1. Calculer|z1|et |z2|.

2. Calculer|z1+z2|,|z1z2|et

z1

z2

. 3. Soitn∈N^∗. Calculer|z1|ⁿ.

(7)

5 Rappels de trigonom´ etrie

5.1 Enroulement de la droite r´ eelle autour du cercle unit´ e

Soient (O;−→i ,−→j) un rep`ere orthonorm´e du plan.

On note :

• Ile point du plan tel que−→OI =−→i ;

• I^′ le sym´etrique de Ipar rapport `a O;

• J le point du plan tel que−→

OJ =−→ j ;

• J^′ le sym´etrique de J par rapport `a O.

Soit C le cercle de centre O et de rayon 1. La tangente au cercle C en I, graduée comme il est indiqué ci-contre, représente l’ensembleRdes nombres réels.

On enroule cette droite autour du cercleC. Ainsi, à chaque nombre réelxde la droite correspond un point deC, noté m(x).

Comme le périmètre du cercleC (de rayon 1) vaut 2π, par cet enroulement, le réel

• 0 est envoy´e surI, doncm(0) =I;

• ^π₂ est envoy´e surJ, doncm(^π₂) =J;

• −^π₂ est envoy´e surJ^′, doncm(−^π₂) =J^′;

• πest envoy´e surI^′, doncm(π) =I^′;

• 2πest envoy´e surI, doncm(2π) =I.

R

b

O

b

×

0 I C

b

J

bI^′

b

J^′

b

m(x)

×

¹

×

−1

×

^x

5.2 D´ efinition du cosinus et du sinus d’un nombre r´ eel

On conserve les notations introduites dans la section pr´ec´edente.

D´efinition (cosinus et sinus d’un r´eel) :Soitx∈R.

•Le cosinus dex, not´e cos(x), est l’abscisse du pointm(x).

• Le sinus dex, not´e sin(x), est l’ordonn´ee du pointm(x).

Remarque : On a vu dans le cours de géométrie dans le plan qu’il existe un lien ténu entre le cosinus et le produit scalaire deR².

Exemple 7

• Dem(0) =I, on d´eduit cos(0) = 1 et sin(0) = 0.

• Dem(^π₂) =J, on d´eduit cos(^π₂) = 0 et sin(^π₂) = 1.

• Dem(π) =I^′, on d´eduit : cos(π) =−1 et sin(π) = 0.

⋄ Exercice 11 : Appliquer le théorème de Pythagore à des triangles^≪bien choisis^≫, pour répondre aux questions suivantes.

1. D´eterminer cos(^π₄) et sin(^π₄).

2. D´eterminer cos(^π₃) et sin(^π₃). ^R

b

O

b

×

0 I C

b

J

bI^′

b

J^′

b

m(x)

×

¹

×

−1

×

^x

b

sin(x)

b

cos(x)

5.3 Valeurs remarquables de cosinus et de sinus

La table des valeurs de cosinus et sinus suivante, est à connaˆıtre par coeur, ou (mieux) à savoir retrouver à l’aide du cercle trigonométrique.

(8)

x 0 π 6

π 4

π 3

π 2

2π 3

3π 4

5π

6 π

cos(x)

sin(x)

5.4 Formules de trigonom´ etrie

Propriétés (élémentaires du cosinus et du sinus) 1. Pour toutθ∈R:

−1≤cos(θ)≤1 et −1≤sin(θ)≤1.

2. Pour toutθ∈R,k∈Z:

cos(θ+ 2kπ) = cos(θ) et sin(θ+ 2kπ) = sin(θ).

3. Pour toutθ∈R:

cos(−θ) = cos(θ) et sin(−θ) =−sin(θ).

4. Pour toutθ∈R:

cos²(θ) + sin²(θ) = 1.

El´´ ements de preuve :Ces propriétés se déduisent directement de la définition géométrique du cosinus et du sinus. La dernière est une conséquence du théorème de Pythagore.

Propriété (transformation d’un cosinus en sinus et réciproquement) :Soitx∈R.

1. cos π 2 −x

= sin(x) 2. sin π

2 −x

= cos(x)

El´´ ements de preuve : On peut démontrer ces deux propriétés en utilisant :

• la définition géométrique du cosinus et du sinus ;

• la symétrie par rapport à la première bissectrice qui échange abscisse et ordonnée.

Th´eor`eme 6 (formules d’addition) :Soienta, b∈R.

1. cos(a+b) = cos(a) cos(b)−sin(a) sin(b) 2. cos(a−b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b) 3. sin(a+b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b) 4. sin(a−b) = sin(a) cos(b)−cos(a) sin(b)

Idée de preuve :On peut démontrer la formule 2. en utilisant le lien entre cosinus et produit scalaire. On en déduit alors les 3 autres, grâce aux propriétés élémentaires du cosinus et du sinus, et aux transformations de cosinus en sinus et réciproquement.

Propri´et´e (formules de duplication) :Soitx∈R.

1. cos(2x) = cos²(x)−sin²(x) 2. sin(2x) = 2 sin(x) cos(x)

Preuve :Les formules de duplication se d´eduisent des formules d’addition (en posanta=b=xdans la formule ad hoc).

(9)

Remarque :Un des int´erˆets de ces formules de duplication est qu’elles permettent de calculer des primitives de cos² et donc de sin² surR(cf. exercice ci-dessous).

⋄ Exercice 12

1. (a) Exprimer cos²(x) en fonction de cos(2x) pour toutx∈R.

(b) En d´eduire une primitive de la fonction cos² surR.

2. Donner une primitive de la fonction sin² surR.

6 Les nombres complexes de la forme e

^iθ

, avec θ ∈ R

Définition (eîθ, avec θ∈R) :Soitθ∈R. On définit le nombre complexeeîθ par : eîθ= cos(θ) +isin(θ).

Propriété (interprétation géométrique de eîθ, avec θ∈R) :Soit θ∈R. Alors le point du planM(eîθ) associé à eîθ est le point du cercle trigonométrique qui est tel queθ est une mesure de l’angle (−→i ,−−−−−−→

OM(e^iθ)).

C’est aussi le pointm(θ) associé à θpar l’enroulement de la droite réelle autour du cercle trigonométrique.

1

−1

1 2

−1

θ

b

O −→i

−

→j

bM(e^iθ) =m(θ)

⋄ Exercice 13 :Calculer les formes algébriques deeⁱ⁰,eîπ,eⁱ^π² eteⁱ^π³ et placer les points d’affixes correspondantes sur le cercle trigonométrique.

Théorème 7 (propriétés des nombreseîθ, avec θ∈R) 1. Pour toutθ∈R:

Re(e^iθ) = cos(θ) et Im(e^iθ) = sin(θ).

2. Pour toutθ∈R:

|e^iθ|= 1.

3. Pour toutθ∈R:

1

e^iθ =e⁻^iθ. 4. Pour toutθ∈R:

e^iθ=e⁻^iθ. 5. Pour toutθ1, θ2∈R:

eⁱ⁽^θ¹⁺^θ²⁾=e^iθ¹e^iθ².

⋄ D´emonstration

⋄ Exercice 14 :R´esoudre l’´equation :

eⁱ^π³ z=eⁱ^π⁶ d’inconnuez∈C.

(10)

7 Les formules d’Euler

Théorème 8 (formules d’Euler) :Soitθ∈R. On a ; cos(θ) = eîθ+e⁻îθ

2 et sin(θ) = e^iθ−e⁻^iθ 2i .

⋄ D´emonstration

⋄ Exemple 8

1. (a) Soitx∈R. Lin´eariser cos³(x), i.e. ´ecrire cos³(x) comme une somme de termes du type :acos(kx) et bsin(kx) (a, b∈Q,k∈N).

(b) En d´eduire une primitive de cos³ surR.

2. (a) Soitx∈R. Lin´eariser sin³(x).

(b) En d´eduire une primitive de sin³ surR.

♥ Remarque : Plus généralement, les formules d’Euler permettent de linéariser les puissances de cosinus et de sinus, i.e. d’écrire cosⁿ(x) et sinⁿ(x) (x∈R, n∈N) sous la forme d’une somme de termes du type :acos(kx) et bsin(kx) (a, b∈Q, k∈N). Ceci est d’un grand intérêt dans la recherche de primitives de puissances de cos ou de puissances de sin surR.

8 Les formules de de Moivre

Th´eor`eme 9 (formules de de Moivre) :Soitθ∈R,n∈N. On a ;

cos(nθ) =Re((cos(θ) +isin(θ))ⁿ) et sin(nθ) =Im((cos(θ) +isin(θ))ⁿ).

⋄ D´emonstration

⋄ Exemple 9

1. (a) Soitx∈R. Exprimer cos(4x) comme un polynˆome en cos(x) et en sin(x), i.e. comme une somme de termes du type :acos^k(x) etbsin^k(x) (a, b∈Q,k∈N).

2. (a) Soitx∈R. Exprimer sin(4x) comme un polynˆome en cos(x) et en sin(x).

Remarque : Plus généralement, les formules de de Moivre permettent d’écrire cos(nx) et sin(nx) (x ∈ R, n∈N) comme un polynôme en cos(x) et en sin(x).

9 Nombres complexes de module 1

On admet le théorème suivant qui joue un rôle crucial dans la suite. Il permettra de définir une autre forme que la forme algébrique pour un nombre complexe (non nul) : la forme trigonométrique.

Théorème 10 (revêtement du cercle par la droite) :Soitz un nombre complexe de module 1.

1. Existence

Il existe un r´eelθtel que z=e^iθ.

2. Unicité à un multiple entier de2π près

Si θ1 et θ2 sont deux nombres réels tels que z = eîθ¹ et z =eîθ², alors θ1 et θ2 diffèrent d’un multiple entier de 2π, i.e. : il existek∈Ztel queθ2=θ1+ 2kπ.

(11)

Eclairage g´´ eométrique sur le théorème 10

1. Existence : Soitz un nombre complexe de module 1 et soit z =a+ib(a, b ∈R) sa forme alg´ebrique.

Alors le pointM(a, b) est sur le cercle trigonom´etrique (carOM =√

a²+b²= 1). Siθest une mesure de l’angle (−→i ,−−→

OM), alors on aa= cos(θ) etb= sin(θ) et par suite : z=a+ib= cos(θ) +isin(θ) =e^iθ.

1

−1

1 2

−1

θ

b

O −→i

−

→j

bM(a, b) =m(θ) b

a

2. Unicité à un multiple de 2π près :Soitz un nombre complexe de module 1 et soientθ1 etθ2 deux nombres réels tels que :z=eîθ¹ et z=eîθ².

• Alors les points M(eîθ¹) etM(eîθ²) du cercle trigonométrique sont confondus.

• MaisM(eîθ¹), qui est par définition le point du plan d’affixeeîθ¹, est également le pointm(θ1) du cercle trigonométrique associé au réelθ1par l’enroulement de la droite réelle autour du cercle trigonométrique.

• De mêmeM(eîθ²) est le point m(θ2) du cercle trigonométrique associé au réelθ2 par l’enroulement de la droite réelle autour du cercle trigonométrique.

• Des trois points précédents, on déduit que les réels θ1 et θ2 diffèrent d’un certain nombre de fois la circonférence du cercle trigonométrique. Enfin, le cercle trigonométrique est de rayon 1, donc de circonférence 2π.

Exemple 10 :Le nombre complexe 3 5+i4

5 est de module 1. Il existe doncθ∈Rtel que 3 5+i4

5 =eîθ, d’après le théorème 10. On verra, dans un prochain chapitre, comment l’on peut donner une valeur approchée d’unθ vérifiant 3

5+i4 5 =e^iθ.

Remarque :Le théorème 10 nous donne un résultat d’existence et d’unicité, modulo un multiple entier de 2π.

En pratique, on rencontrera souvent des nombresaet bv´erifianta²+b²= 1 qui sont des valeurs remarquables de cosinus et de sinus. On pourra alors, dans ces situations concr`etes, donner unθ explicite.

10 Formes trigonom´ etriques et arguments d’un nombre complexe non nul

Théorème/Définition 11 (formes trigonométriques d’un nombre complexe non nul) :Soitz∈C^∗. Alors il exister∈]0,+∞[ et θ∈Rtels que :

z=re^iθ.

1. On dit quere^iθ est une forme trigonom´etrique¹du nombre complexe z.

2. On a r=|z|, i.e.rest ´egal au module dez.

⋄ D´emonstration

Remarque : Soitz ∈C^∗. Alors si z=re^iθ (r∈]0,+∞[ et θ∈ R), alorsr est unique (c’est le module de z), maisθne l’est pas. En effet, on a aussi :

. . .=reⁱ⁽^θ⁻⁴^π⁾=reⁱ⁽^θ⁻²^π⁾=z=reⁱ⁽^θ⁺²^π⁾=reⁱ⁽^θ⁺⁴^π⁾=. . .

Plus généralement, on a z=reⁱ⁽^θ⁺²^kπ⁾, aveck∈Z et ce sont les seules formes trigonométriques dez, comme nous l’assure le théorème suivant.

1. Il existe d’autres terminologies. Ici, on utilise celle de forme trigonom´etrique, mais on peut aussi rencontrer celles de forme exponentielle et de forme polaire.

(12)

Théorème/Définition 12 (arguments d’un nombre complexe non nul) :Soitz∈C^∗.

1. Soientreîθ¹ etreîθ² deux formes trigonométriques dez(r∈]0,+∞[ etθ1, θ2∈R). Alorsθ1etθ2 diffèrent d’un multiple entier de 2π, i.e. il existe k∈Ztel que θ2=θ1+ 2kπ.

2. Soitreîθ (r∈]0,+∞[ etθ∈R) une forme trigonométrique dez. On dit queθest un argument dez et on le note arg(z). Commeθn’est défini qu’à un multiple entier de 2πprès, on écrit :

arg(z) =θ+ 2kπ, aveck∈Z.

⋄ D´emonstration

Propriété (interprétation géométrique d’un argument d’un nombre complexe non nul) :Soitz∈C^∗. Alors arg(z) est une mesure de l’angle (−→i ,−−−−→

OM(z)). Si l’on confond un angle et sa mesure, on a donc : i.e. : arg(z) = (−→

i ,−−−−→

OM(z)) + 2kπ, aveck∈Z.

1 2 3 4 5

−1

1 2 3

−1

arg(z) r=|z|

b

O −→i

−

→j

bM(z)

Méthode pour passer de la forme algébrique à une forme trigonométrique : Soit z = a+ib un nombre complexe donné sous forme algébrique (a, b ∈ R). Pour calculer une forme trigonométrique de z, on peut procéder comme suit.

1. On calcule le module de z. Pour m´emoire, on a|z|=√

a²+b². On connaˆıt donc déjàr=|z|. 2. On calcule un argument de z, en résolvant le système d’équations trigonométriques :

(S) :











cos(θ) = a r sin(θ) = b

r

d’inconnueθ∈R, en utilisant, dans les cas^≪concrets^≫, les valeurs remarquables de cosinus et sinus.

3. On conclut : une forme trigonom´etrique dez estre^iθ, avecr=|z|et θsolution de (S).

⋄ Exemple 11 :Soient les nombres complexes :

z1= 3 ; z2=−2 ; z3=i ; z4=−3i ; z5= 2 + 2i.

Donner une forme trigonométrique dez1,z2,z3,z4, z5et (z5)². Théorème 13 (propriétés des arguments) :

1. ∀z∈C^∗ arg (z) =−arg(z) + 2kπ, aveck∈Z

2. ∀z1, z2∈C^∗ arg(z1z2) = arg(z1) + arg(z2) + 2kπ, aveck∈Z 3. ∀z∈C^∗ arg

1 z

=−arg(z) + 2kπ, aveck∈Z 4. ∀z1, z2∈C^∗ arg

z1

z2

= arg(z1)−arg(z2) + 2kπ, aveck∈Z

(13)

⋄ D´emonstration

⋄ Exercice 15 :Soient les nombres complexes : z1= 4−4i√

3 ; z2=−1 +i.

1. Déterminer une forme trigonométrique de z1et dez2. 2. En déduire une forme trigonométrique dez1, 1

z2

,z1z2 et z1

z2

.

11 Synth` ese sur trois aspects des nombres complexes

On a vu trois aspects des nombres complexes :

• la forme alg´ebrique ;

• l’interprétation géométrique ;

• les formes trigonom´etriques.

Le diagramme ci-dessous r´esume les liens f´econds qui existent entre ces trois aspects.

b

a

Forme alg´ebrique:z=a+ib, avecaetbr´eels PointM d’affixez6= 0

aest l’abscisse deM best l’ordonn´ee deM

Forme trigonométrique:z=reîθ, avecrdans ]0,+∞[ etθdansR Interprétation géométrique

r=OM

θ= (−→i;−−→OM) [2π]

a=rcos(θ) b=rsin(θ)

r=√ a²+b²

θest solution dansRde











cos(θ) = a a²+b²=a

r sin(θ) = b

a²+b² =b r

b

O −→i

−

→j

bM

r

θ

12 R´ esolution dans C des ´ equations du second degr´ e ` a coefficients r´ eels

Théorème 14 (solution(s) dansC deax²+bx+c= 0, aveca∈R^∗,b, c∈R) :Soit un trinôme du second degré à coefficients réelsax²+bx+c(aveca, b, c∈Reta6= 0 donc), et soit ∆ =b²−4ac son discriminant.

1. Si ∆ = 0, alors l’équationax²+bx+c= 0 a une unique solution :− b 2a. 2. Si ∆>0, alors l’équationax²+bx+c= 0 a deux solutions réelles : −b−√

∆

2a et −b+√

∆ 2a . 3. Si ∆ < 0, alors l’´equation ax² +bx+c = 0 a deux solutions complexes conjugu´ees : −b−i√

−∆

2a et

−b+i√

−∆

2a .

(14)

El´´ ements de démonstration :On commence par mettre le trinôme du second degré sous forme canonique :

ax²+bx+c=a

x+ b 2a

²

− b

2a ²

+c a

!

=a

x+ b 2a

²

−b²−4ac 4a²

!

=a

x+ b 2a

²

− ∆ 4a²

! .

Ensuite, on cherche à écrire ∆, qui est réel, comme un carré dansC.

• Si ∆ est positif, alors√

∆ est bien d´efini et on a :√

∆2

= ∆.

• Si ∆ est n´egatif, alors−∆ est positif et√

−∆ est bien d´efini. On v´erifie que : i√

−∆2

= ∆.

On applique alors la troisi`eme identit´e remarquable :

A²−B²= (A−B)(A+B) avecA=x+ b

2a et

B=











√∆

2a si ∆≥0 i√

−∆

2a si ∆<0

pour obtenir le résultat. La rédaction de la fin de la preuve est laissée en exercice.

⋄ Exercice 16 :R´esoudre dansCl’´equation :

(E) : x²+x+ 1 = 0 et donner une forme trigonom´etrique de chacune des solutions.

13 Somme et produit des racines d’un trinˆ ome du second degr´ e ` a coefficients r´ eels

Théorème 15 (somme et produit des racines d’un trinôme du second degré à coefficients réels) : Soitax²+bx+c un trinôme du second degré à coefficients réels. Alors :

x1 etx2 sont solutions de ax²+bx+c= 0 ⇐⇒ x1+x2=−b

a et x1x2= c a.

⋄ D´emonstration

Application typique n˚1 :Connaissant une racine deax²+bx+c= 0 (par exemple une ^≪évidente^≫), on en déduit l’autre, à l’aide dec eta.

Par exemple, on remarque que 1 est solution de 2x²+ 43x−45 = 0. Comme le produit des racines vaut−45 2 (cf. théorème 15), on en déduit,sans calcul, que−45

2 est l’autre racine.

Application typique n˚2 :R´esolution de syst`emes du type

x1+x2=S

x1x2=P d’inconnue (x1, x2), où S et P sont des réels donnés.

D’après le théorème 15,x1 etx2 sont solutions de

x1+x2=S

x1x2=P si et seulement six1 et x2 sont racines de x²−Sx+P. On est donc ramené à résoudre une équation du second degré à coefficients réels, ce que l’on sait faire (cf. théorème 14).

Etudions par exemple le syst`eme (S´ ) :

x1+x2= 15 x1x2= 26 .

(15)

On a :

x1+x2= 15

x1x2= 26 ⇐⇒ x1et x2 solutions dex²−15x+ 26 = 0

⇐⇒ (x1= 2 etx2= 13) ou (x1= 13 etx2= 2).

14 Equations trigonom´ ´ etriques

14.1 Cas d’´ egalit´ e de cosinus, cas d’´ egalit´ e de sinus

Théorème 16 (cas d’égalité de cosinus, cas d’égalité de sinus) :Soientxet adeux nombres réels.

• cos(x) = cos(a) ⇐⇒







x=a+ 2kπ, aveck∈Z ou

x=−a+ 2kπ, aveck∈Z

• sin(x) = sin(a) ⇐⇒







x=a+ 2kπ, aveck∈Z ou

x=π−a+ 2kπ, aveck∈Z

Remarque :Ces résultats peuvent se retrouver à l’aide du cercle trigonométrique.

⋄ Exercice 17

1. R´esoudre l’´equation

(E1) : sin(3x) =−

√3 2 d’inconnuex∈]−π, π].

2. R´esoudre l’´equation

(E2) : cos²(x)−sin²(x) = 1 2 d’inconnuex∈R.

14.2 Etude de l’´ ´ equation a cos(x) + b sin(x) = c, avec a, b ∈ R

^∗

et c ∈ R

Soita, b, c∈R, aveca, b∈R^∗ etc∈R.

Une méthode de résolution de l’équation acos(x) +bsin(x) =c d’inconnue x∈R 1. On introduit le nombre complexez=a+ib.

2. On calcule une forme trigonom´etrique du nombre complexe (∗) z=a+ib

donné sous forme algébrique. En suivant la méthode exposée page 12, on écritz sous la forme (∗∗) z=reîθ

avecr∈]0,+∞[ et θ∈R. Dere^iθ =r(cos(θ) +isin(θ)), (∗) et (∗∗), on d´eduit : a=rcos(θ) et b=rsin(θ).

3. On injecte ces expressions deaetben fonction deretθdans l’équation initiale et on applique une formule d’addition (cf. théorème 6).

acos(x) +bsin(x) =c ⇐⇒ rcos(θ) cos(x) +rsin(θ) sin(x) =c

⇐⇒ cos(θ) cos(x) + sin(θ) sin(x) = c

r (division parr6= 0 de chacun des membres)

⇐⇒ cos(x−θ) = c

r (cf. formule d’addition)

En pratique, c

r est souvent une valeur remarquable de cosinus et on est alors ramené à un cas d’égalité de deux cosinus, que l’on sait traiter (cf. théorème 16).

(16)

⋄ Exercice 18 R´esoudre l’´equation

(E) : √

6 cos(x) +√

2 sin(x) =√ 2 d’inconnuex∈R.