2) Conjugué d’un nombre complexe :

www.zribimaths.jimdo.com 1

1) Ensemble des nombres complexes :

Activité 1:

Résoudre dans IN puis dans ℤ l’équation 5+x=1 ; résoudre dans ℤ puis dans ℚ l’équation 3x=2 ; résoudre dans ℚ puis dans IR l’équation : x²=2

Résoudre dans IR l’équation x²+1=0.

Définition :

L’ensemble des nombres complexes est noté ℂ et vérifiant les propriétés suivantes : L’ensemble ℂ contient l’ensemble des nombres réels IR.

Le nombre i de ℂ est tel que i²=-1.

ℂ est muni d’une addition et d’une multiplication qui vérifient les mêmes propriétés de l’addition et multiplication dans IR.

Tout élément z de ℂ s’écrit de façon unique de la forme z=x+iy ou x et y sont dans IR (appelé forme cartésienne).

Application 1:

Déterminer la forme cartésienne des nombres complexes suivants : u=(1-2i)(1+3i)-(1+2i)² ; v= (1-i)²⁰¹⁴ ; 5i(2-5i)(2+5i).

Consequences:

Soit z=x+iy et z’=x’+iy’; x, x’ y et y’ des réels.

z=z’ si et seulement si x=x’ et y=y’.

z=0 si et seulement si x=0 et y=0.

z est réel si et seulement si y=0.

z est imaginaire si et seulement si x=0.

Application 2:

Soit f l’application de ℂ dans ℂ qui à tout z associe z’=iz².

1) Résoudre dans ℂ l’équation f(z)=z.

2) Déterminer l’image par f de u= 1+i 3 . 3) Déterminer l’antécédent par f de v=-5i .

www.zribimaths.jimdo.com 2

2) Conjugué d’un nombre complexe :

Définition :

soit z=x+iy, x et y deux réels. Le conjugué de z est le nombre complexe z =x-iy.

Propriétés :

Pour tous nombres complexes z et z’.

^{z+ = +z' z z' ; . 'z z =z z. ' ;}

( )

^{zn =}

( )

^{z n n∈IN* .}

z’ non nul ; 1 1

' ' ; ' '

z z

z z z z

   

= =

   

    .

z+ =z 2 Re( ) ;z z− =z 2 Im( ) ; .z z z=(Re( ))²z +(Im( ))²z . z= z si et seulement si z est réel.

z= −z si et seulement si z est imaginaire.

Application 3:

1) Déterminer la forme cartésienne des nombres complexes suivants :

2 1 2

3 ; 3 5

v u i

i i

− −

= =

− + .

2) a)Déterminer l’ensemble E des nombres complexes tels que z+ =z 0 b) z∉E ; on considère le nombre complexe 2 z z

Z z z

= +

+ ; prouver que Z est réel.

3) Résoudre dansℂ l’équation 1 z 2

z+ = +i i + . 4) Soit z∈ ℂ^* . montrer que 2 1

² z

z

− est réel si et seulement si z=z ou 2z z= +z z .

3) Affixe d’un point affixe d’un vecteur :

Définition :

Le nombre complexe z=x+iy est appelé affixe du point M(x,y) et noté aff(M) ou zM. Le point M(x,y) est appelé image du nombre complexe z=x+iy.

Soit w

un vecteur , A et B deux points tel que w=AB

. le nombre complexe z_B-z_A est appelé affixe de w

et noté aff(w

) ou zw . Pour tous vecteurs w et k

et tous réels a et b aff aw bk( + )=a aff w. ( ) +b aff k. ( )

www.zribimaths.jimdo.com 3 Application 4:

Dans la figure ci-contre ; le plan est muni d’un repère orthonormé direct

(

^{O u v, ,}

)

; A, B, C, E et F d’affixes respectives a, b, c, e et f.

1) Déterminer l’affixe d du point D tel que ABCD est un parallélogramme.

Placer le point D

2) Déterminer l’affixe k du point K centre de ABCD.

3) Placer le point G d’affixe g tel que e+f=g.

4) Placer le point T d’affixe t tel que e-f=t

Activité 2:

Le plan est munie d’un repère orthonormé direct

(

^{O u v, ,}

)

^{. w et k} deux vecteurs et k≠0 .

1) Montrer que w et k

sont colinéaires si et seulement si ^w

k

z z

est réel.

2) Montrer que w et k

sont orthogonaux si et seulement si ^w

k

z z

est imaginaire.

Théorème :

Le plan est munie d’un repère orthonormé direct

(

^{O u v, ,}

)

^{. w et k} deux vecteurs et k≠0 .

Montrer que w et k

sont colinéaires si et seulement si ^w

k

z z

est réel.

Montrer que w et k

sont orthogonaux si et seulement si ^w

k

z z

est imaginaire.

www.zribimaths.jimdo.com 4 Application 5:

Dans la figure ci-contre ; le plan est muni d’un repère orthonormé direct

(

^{O u v, ,}

)

^.

1) Montrer que la quadrilatère ABCD est un trapèze rectangle.

2) Déterminer et construire l’ensemble des points M d’affixe z tel que 5

1 2 z i

z i

−

+ + est imaginaire.

3) Déterminer et construire l’ensemble ses points M d’affixe z tel que

5 iz i z i

−

− est imaginaire.

4) Module d’un nombre complexe :

Définition :

le plan est muni d’un repère orthonormé direct

(

^{O u v, ,}

)

^.

Le module d’un nombre complexe z d’image M est la distance OM. On note z =OM . Si z=x+iy alors z = x²+ y² .

Conséquence :

M et N deux points d’affixes respectives zM et zN. MN= z_N −z_M . Application 6:

1) a) Le plan est muni d’un repère orthonormé direct

(

^{O u v, ,}

)

; on considères les points A, b, C et I d’affixes respectives 5+i , 4+ −(1 5) , 2i −2 2 et 2+i . montrer que les points A, B et C sont sur un même cercle de centre I.

b) Placer les points B et C.

2) Montrer que pour tout nombre complexe z non nul. 1

1

z si et seulement si z

= = z .

3) Déterminer l’ensemble des points M d’affixe z tels que 1

1

z z

= z = − .

www.zribimaths.jimdo.com 5 Propriétés :

Pour tous nombre complexes z et z’ :

^z =⁰ si et seulement si z=^0; z = z ^; z² =z z^. . z z. ' = z z. ' ; zⁿ = zⁿ (n∈IN^*) ; z+z' ≤ +z z' .

1 1 1 1

' 0 ; ; ; ( )

' ' ' ' 'ⁿ 'ⁿ

z z

z n

z z z z z z

≠ = = = ∈ℤ .

Application :7

1) Calculer le module de

4

1 3

2 2

u i

i

 − 

= +  .

2) Déterminer l’ensemble des points M d’affixe z tel que _{z+ =z z²} . 3) Déterminer l’ensemble des points M d’affixe z tels que (1 ) 1

i z 2 z i + + =

− .

Exercice 1:

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé

(

^{O u v, ,}

)

; on considère les points A, B, C et E d’affixes respectives a=2,b=3, c = +2 i 2et e = −2 i 2.

1) a) déterminer la forme algébrique de c 3 c

− .

b) en déduire que OBC est un triangle rectangle.

c) montrer que E appartient au cercle de diamètre [OB].

2) soit f l’application du plan dans lui-même qui à tout point M d’affixe z associe le point M’ d’affixe z’ tel que z’=z²-4z+6.

a) vérifier que z’-2=(z-2)².

b) en déduire que si M appartient au cercle (C) de centre A et de rayon 2 alors M’

appartient à un cercle (C’) que l’on précisera.

Exercice 2:

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé

(

^{O u v, ,}

)

; on considère les points A, B et C d’affixes respectives 1, -i et -3i.

Atout point M d’affixes z différent de 1 on associe le point M’ d’affixe z’ tel que 3

' 1

z iz z

= −

− .

www.zribimaths.jimdo.com 6

1) Déterminer et construire l’ensemble (E)des points M tels que le nombre complexe z’

est un réel.

2) Vérifier que 3

' ; 1

1

z i i pour tout z

z

+ = − ≠

− .

3) Montrer, que pour tout M distinct de A ; AM ×BM '= 10.

4) En déduire que si appartient au cercle (C) de centre A et passant par B alors M’

appartient à un cercle que l’en précisera.

Exercice 3:

Dans le plan complexe, rapporté à un repère orthonormal direct (O u v; , ) on appelle A et B les points d’affixes respectives 2 et −2. À tout point M d’affixe z, z différent de 2, on associe le point N d’affixe z et M’ d’affixe z’ tel que ' ^{2 4}

2 z z

z

= −

− . 1) Calculer z’ et z' lorsque z = 5 puis lorsque z = 1 + i.

2) a) Interpréter géométriquement z−2 et z−2 .

b) Montrer que, pour tout z distinct de 2, z' =2. En déduire une information sur la position de M’.

3) Déterminer l’ensemble E des points M d’affixe z (z ≠ 2) tels que M’ = B.

4) Montrer que, pour tout point M distinct de A et n’appartenant pas E , le quotient

' AM BM

Z Z

est un nombre réel. Interpréter géométriquement ce résultat.

5) Un point M distinct de A, n’appartenant pas E , étant donné, proposer une méthode géométrique pour construire le point M’. On illustrera par une figure.

5) Argument d’un nombre complexe non nul :

Définition :

Le plan est muni d’un repère orthonormé direct

(

^{O u v, ,}

)

. z un nombre complexe non nul et M son image, on appelle argument de z et on note arg(z) toute mesure de l’angle

(

^{u OM,}

)

arg(z))

arg

www.zribimaths.jimdo.com 7 Conséquences :

z un nombre complexe non nul.

• ^{arg( )z ≡ −arg( ) 2z}

[ ]

^{π .}

• ^{arg(− ≡ +z) π arg( ) 2z}

[ ]

^{π .}

• K un réel strictement positive, ^{arg(kz)≡arg( ) 2z}

[ ]

^{π .}

• K un réel strictement négative, ^{arg(kz)≡ +π arg( ) 2z}

[ ]

^π

Application 8:

Le plan est muni d’un repère orthonormé direct

(

^{O u v, ,}

)

Le triangle OAB est équilatéral et le triangle OBC est rectangle et isocèle. on désigne par zB et zC

les affixes respectives de B et C.

a) Déterminer le module et un argument de zB et zC.

b) Soit D le milieu du segment [CD] et z_D son affixe. déterminer le module et un argument de z_D.

Définition :

Soit z un nombre complexe non nul de module r et d’argument θ.

La forme trigonométrique de z est z=r(cosθ+isinθ) Conséquence :

Soit z le nombre complexe non nul x+iy ( x et y des réels).

Alors ^{arg( )z ≡θ π}

[ ]

² si et seulement si cos sin

² ² ² ²

x y

x y et x y

θ = θ =

+ +

Application 9:

1) Donner la forme trigonométrique de chacun des nombres complexes suivants :

* *

1+i 3 ; 3−i ; 2− 2 ;i −3 ; 5 ,i x x( ∈IR ) ;iy (y∈IR ) .

2) On considère le nombre complexe z= a(sinθ+icosθ) ou a un réel non nul et θ un réel.

Déterminer la forme trigonométrique dz z.

www.zribimaths.jimdo.com 8 Propriétés :

Pour tous nombres complexes non nuls z et z’.

^{arg(zz')≡arg( )z +arg( ') 2z}

[ ]

^{π ; arg(zn)≡n.arg( ) 2z}

[ ]

^{π ;n∈ℤ .}

^{arg( )1 arg( ) 2}

[ ]

^{; arg( )} arg( ) arg( ') 2

[ ]

'

z z z z

z ≡ − π z ≡ − π ^.

(

^cosθ+isinθ

)

^{n =cos(nθ)+isin(nθ) n∈ℤ} dite formule de Moivre Application 10:

1) Calculer le module et un argument de chacun des nombres complexes suivants :

5

1 3 ; 2 2 ; u7

u i v i

= − + = − − v ^.

2) Soit les nombres complexes 1

1 3 ' (1 )

z= +i et z =2 −i et Z=z.z’.

a) Ecrire z, z’ et Z sous forme trigonométrique.

b) Déterminer la forme cartésienne de Z . En déduire cos sin 12π et 12π _. 3) Linéariser sin³x

Activité 3:

Le plan est muni d’un repère orthonormé direct

(

^{O u v, ,}

)

. A et B deux point distincts d’affixes respectives a et b.

1) Montrer que

(

^{u AB,}

)

^{≡arg(b−a) 2}

^{[ ]}

^{π .}

2) C et D deux points distincts d’affixes respectives c et d.

Montrer que

(

^{AB CD,}

)

^≡arg(d_b−⁻_a^{c) 2}

^{[ ]}

^{π .}

Théorème :

Le plan est muni d’un repère orthonormé direct

(

^{O u v, ,}

)

. A et B deux point distincts d’affixes respectives a et b.

(

^{u AB,}

)

^{≡arg(b−a) 2}

^{[ ]}

^{π .}

C et D deux points distincts d’affixes respectives c et d

(

^{AB CD,}

)

^≡arg(d_b−⁻_a^{c) 2}

^{[ ]}

^π

www.zribimaths.jimdo.com 9 Application 11 :

1) Le plan est munie d’un repère orthonormé direct

(

^{O u v, ,}

)

. A, B et C trois points d’affixes respectives a=i, b=1+i et 1 3

(1 )

2 2

c= + −i . a) Calculer le module et un argument de b a

c a

−

− . b) Interpréter géométriquement ces résultats.

c) Quelle est la nature du triangle ABC.

d) Placer alors le point C.

2) Déterminer et construire l’ensemble des points M d’affixe z tels que

[ ]

arg( ) 2

z− ≡i π π3 .

3) Déterminer et construire l’ensemble des points M d’affixe z tels que

[ ]

arg( ) 2

1 2

z i

z ⁻ i ≡π π

− − .

4) Déterminer et construire l’ensemble des points M d’affixe z tels que

[ ]

arg( ) 2

1 3

z i

z ⁻ i ≡π π

− − .

Théorème :

Le plan est muni d’un repère orthonormé direct

(

^{O u v, ,}

)

. A, B, C et D quatre points d’affixes respectives a, b, c, d tels que A≠B et C≠D.

(

) ^{[ ]}

(cos sin ) , 2

d c CD

i ou AB CD

b− =a AB θ + θ θ ≡ π

− .

Application 12:

Le plan est muni d’un repère orthonormé direct

(

^{O u v, ,}

)

. A et B les points d’affixes respectives 2+i, 3-2i.

Déterminer l’affixe du point C tel que le triangle ABC est équilatéral direct.

6) Ecriture exponentielle d’un nombre complexe non nul

Définition :

Pour tout réel θ, on pose e^iθ =cosθ+isinθ ^.

www.zribimaths.jimdo.com 10 Conséquences :

e^io 1;eⁱ 1 ; eⁱ² i ;e ⁱ² i

π π

π ⁻

= = − = = − ^.

Pour tout réel θ ; e^iθ =1 ; e^iθ =e^−iθ; −e^iθ =e^{i(θ π+ )};e^iθ =e^i(θ+2kπ) k∈ℤ . Activité 4:

Soit deux réels θ et θ’ ; montrer que

( )

' ( ') ( ')

'

. ; 1 ; ;

i n

i i i i i i in

i i

e e e e e e e e n

e e

θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ

θ θ

+ − −

= = = = ∈ℤ .

Propriétés :

Soit deux réels θ et θ’ . ^{e eiθ. iθ'} =^{ei(θ θ+ ') ;} _e¹ⁱθ =^{e−iθ ;} _e^eiiθ^θ' =^{ei(θ θ− ') ;}

( )

^{eiθ n} =^{einθ n}∈ℤ . Application 13:

1) Le plan est muni d’un repère orthonormé direct

(

^{O u v, ,}

)

.placer, sans faire de calculs préalables, les point A et B d’affixes respectives : a 1 eⁱ⁶ et b eⁱ³ e ⁱ³

π π ₋π

= + = + ^.

2) Déterminer et construire l’ensemble des points M d’affixe ^{z= +1 eiθ ; θ∈}

[ ]

^{0,π .}

Définition :

Tout nombre complexe non nul z de module r et d’argument θ, s’écrit sous la forme re^iθ , cette forme est la forme exponentielle de z

Application 14:

1) Déterminer la forme exponentielle de chacun des nombres complexes suivants :

( )

⁹

3

3 4 5

2013

3

( 1 ) ; 2 ( 3 3) ;

(1 )

i i

u i e v i i z

i

π +

= − + = − + =

+ ^.

2) Le plan est muni d’un repère orthonormé direct

(

^{O u v, ,}

)

. on considère la

transformation f du plan dans lui-même qui à tout point M d’affixe z associe le point M’ d’affixe 1 3

' ( )

2 2

z = − +i z .on considère les points A et B d’affixes respectives

6 6

3 ; 3

i i

a e b e

π ₋π

= = et A’ , B’ leurs images par f

www.zribimaths.jimdo.com 11

a) Déterminer sous forme exponentielle, les affixes a’ et b’ des points A’ et B’ . b) Prouver que les points A, A’, B et B’ sont sur un même cercle de centre O.

c) Déterminer la forme exponentielle de a'

b et montrer que B et A’ sont symétrique par rapport à O.

d) En déduire que AA’B est un triangle rectangle.

Activité 5:

Montrer que , pour tout réel θ, cos sin

2 2

i i i i

e e e e

et i

θ θ θ θ

θ = ^{+ −} θ= ^{− − .}

Théorème : (formules d’Euler)

Pour tout réel θ, cos sin

2 2

i i i i

e e e e

et i

θ θ θ θ

θ = ^{+ −} θ = ^{− − .}

Application 15:

1) a) Pour α∈]0,2π[, déterminer le module et un argument de 1+e^iα et 1−e^iα . b) En déduire le module et un argument de 1

; (1 )(1 )

1

i

i i

i

u e v e e

e

α α α

α

= − = − +

+ .

2) a) Vérifier que

2 3 4

5 5 5 5

5

1 2

1

i i i i

i

e e e e

e

π π π π

+ + + + = π

− .

b) En déduire que 2 3 4

sin sin sin sin cot

5 5 5 5 an10

π ₊ π ₊ π ₊ π ₌ π .

3) a) factoriser le nombre complexe 1 eⁱ par eⁱ²

α α

− puis simplifier.

b) pour tout réel x ≠2kπ et tout entier n ≥ 1 ; on pose S=1+cosx+cos2x+……+cosnx et S’=sinx+sin2x+……..+sin nx .

montrer que S+iS’= ²

sin 1 2 sin 2

i nx

n x

x e

 

 

 

+

 

 

 

  

 

.

c) En déduire S et S’.

4) Linéariser sin³x.

www.zribimaths.jimdo.com 12 Exercice 4:

Le plan P est muni d'un repère orthonormé ( , , )O i j . on considère l'application

{ }

: \

( ) '( ') : ' 2

f P O P

M z M z tel que z i z

→

= −

֏

1) a) soit A(1-i). calculer l'affixe du point A' image de A par f.

b)soit B'(2+i). calculer l'affixe du point B antécédent de B' par f.

2) on pose z= e ^{i θ} ; θ∈IR. Donner la forme exponentielle de z'.

3) a) montrer que OM'=

.

b) en déduire que si M appartient au cercle ζ de centre O et de rayon 1 alors M' appartient à un cercle ζ ' que l'on précisera.

c) montrer que

( , ') ( , ) 2 ; .

i OM = − +π2 i OM + kπ k ∈ℤ .

d) en déduire une construction du point M' à partir d'un point M de ζ. Exercice 5:

Dans le plan P munie d'un repère orthonormé ( , , )O i j on donne A(-i) et B(i). soit l'application :

{ }

: \

( ) '( ') : '

f P Z P

z i M z M z tel que z

z i

→

= −

֏ +

1) déterminer l'ensemble des points M(z) tels que z' est réel.

2) Déterminer l'ensemble des points M(z) tels que |z'|=1.

3) a) vérifier que (z'-1)(z+i)=-2i.

b) montrer que si M∈ζ(A,1) alors M' appartient à un cercle ζ' que l'on caractérisera.

4) on pose z=e ^iθ avec θ∈ , 2 2 π π

 

− 

 .

a) vérifier que 2 sin ^{2 4}

2 4

i i

e i i e

θ π θ θ π  ^ ^{− }

− =  − 

  ^{et que}

2 4

2 cos

2 4

i i

e i e

θ π θ θ π ^ ^{− }

+ =  − 

  ^.

b) en déduire la forme exponentielle de z'.

www.zribimaths.jimdo.com 13 Exercice 6:

I) 1) on pose z'=1+ie ^{i θ} et z''= -1+ie ^{i θ}; écrire z' et z'' sous forme exponentielle et montrer que z''

itg( )

z' 2 4

=

θ π

+ ^.

2) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct ( , , )O i j ; on considère les points M' et M'' d'affixes respectives z' et z''. déterminer θ pour que le triangle OM'M'' soit rectangle en O.

II) 1) le plan P est munie d'un repère orthonormé ( , , )O i j , on désigne par M₁ et M₂ les points d'affixes respectives z₁= +1 e^iθ et z₂ =i( 1 e )+ ^iθ . Déterminer et construire l'ensemble des points M1 et M2 lorsque θ décrit ]0,π [.

2) a) montrer que OM1M2 est un triangle rectangle et isocèle en O.

b) soit B le point d'affixe 2i. Déterminer le réel θ pour que OM₁BM₂ soit un carré.

Exercice 7:

le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormé ( , , )O i j . on considère le point A d'affixe z=i-ie ^{i θ} ; ou θ∈]0,π [.

1) déterminer l'ensemble des point A lorsque θ décrit ]0,π [.

2) Soient B et C les points d'affixes _{1 2} z² z z et z

= = z ^. a) écrire z1 et z2 sous forme exponentielle.

b) Vérifier que A et B sont distincts.

c) Montrer que AC=AB.

d) Déterminer en fonction de θ une mesure de l'angle ( AB, AC ). e) Déterminer θ pour que le triangle ABC soit équilatéral.

7) racines n-ième d’un nombre complexe :

Activité 6:

A) Il s’agit de résoudre dans

ℂ

l’équation (E) : z³=1.

1) Montrer que z est solution de (E) si et seulement si

i2k

z e 3 ;k

π

= ∈ℤ . 2) En déduire que l’équation (E) admet dans

ℂ

trois solutions distinctes.

3) On désigne par M₀, M₁, et M₃ les images des solutions de (E) ; montrer que M₀,M₁M₃ est un triangle équilatéral.

www.zribimaths.jimdo.com 14

B) Soit n un entier naturel non nul ; justifier que l’équation zⁿ =1 admet dans n solutions distinctes.

Théorème :

L’équation zⁿ=1 , n un entier naturel non nul, admet dans

ℂ

n solutions distinctes définies par zk e^i2kn ; k

{

0,1,2,...,n 1

}

π

= ∈ − ; appelés racine nièmes de l’unité.

Représentation géométrique :

Le plan est muni d’un repère orthonormé direct

(

^{O u v, ,}

)

^.

n>2 ; les points images des racines nièmes de l’unité sont les sommets d’un polygone régulier inscrit dans le cercle

trigonométrique.

Les images des racines cinquièmes de l’unité sont représentées sur la figure ci-contre.

Application 16:

1) Déterminer les racines cinquièmes de l’unité . 2) Vérifier que , pour

5

3 4 1

1; 1 ²

1

z z z z z z

z

≠ + + + + = −

− . 3) Résoudre dans

ℂ

1+ + + +z z² z³ z⁴ =0 .

4) Justifier que la somme des racines cinquièmes de l’unité est nulle.

Activité 7:

1) a) Soit l’équation (E) :z³=8i. montrer que z est solution de (E)si et seulement si z

−2i est racine cubique de l’unité.

b) en déduire les solutions de (E).

c) placer les images des solutions de (E) et vérifier qu’ils constituent un polygone régulier 2) il s’agit de résoudre dans ℂ l’équation (E) : zⁿ=a ou a un nombre complexe non nul

et n un entier naturel non nul.

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2 n π

n θ

On pose a = a e^iθ on considère le rél r >0 tel que rⁿ = a . a) montrer que z est solution de (E) si et seulement si

in

z re

θ est racine nième de l’unité.

b) En déduire que zⁿ=a , a∈^ℂ* admet dans ℂ exactement n solutions distinctes.

Théorème :

Soit a un nombre complexe non nul d’argument θ et n un entier naturel non nul.

L’équation zⁿ=a admet dans ℂ n solutions distinctes définies par

{ }

2

0,1, 2..., 1

i k

n n

zk re k n

θ π

 

 + 

 

= ∈ − ou r est le réel strictement positive tel que rⁿ = a . Ces solutions sont appelées les racines nièmes de a.

Représentation géométrique : Le plan est muni d’un repère orthonormé direct

(

^{O u v, ,}

)

^.

n>2 ; les points images des racines nièmes d’un nombre complexe non nul a sont les sommets d’un

polygone régulier inscrit dans le cercle de centre O et de rayon r tel que rⁿ = a .

Application 17:

Soit u=1-i.

1) Calculer u³.

2) Déterminer les racines cubiques de -2(1+i).

3) Résoudre dans ℂ l’équation

3

2 2 0

z i z i i +

 

+ + =

 

−

  .

M0

M2 M1

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8) Equation de second degré à coefficients complexes :

Activité 8:

Soit le nombre complexe u= -3+4i ; il s’agit de déterminer les racines carrées de u.

On pose z=x+iy.

1) Montrer que z²=u si et seulement si

² ² 3

2

² ² 5

x y

xy

x y

− = −



=

 + =



. 2) En déduire les racines carrées de u.

3) Déterminer les racines carrées de 5-12i ; -8+15i.

Activité 9:

a, b et c trois nombre complexes tel que a≠0 .

Il s’agit de résoudre dans ℂ l’équation (E) : az²+bz+c=0 . 1) Posons f(z)=az²+bz+c ; justifier que

² 4 ²

( ) 2 4 ²

b ac b

f z a z

a a

  − 

=  +  + 

 

 

 

. 2) Posons ∆=b²-4ac ( appelé discriminant de (E)) ;

a) Montrer que si ∆=0 ; (E) admet une unique solution que l’on précisera.

b) On suppose que ∆≠0 ; soit δ une racine carrée de ∆. Montrer que

( ) ( ')( '') ' ''

2 2

b b

f z a z z z z avec z et z

a a

δ δ

− + − +

= − − = = .

3) En déduire les solutions de (E) dans ℂ . Théorème :

a, b et c trois nombre complexes tel que a≠0 .

L’équation az²+bz+c=0 admet dans ℂ deux solutions (éventuellement confondues) :

' ''

2 2

b b

z et z

a a

δ δ

− + − +

= = δ une racine carrée de ∆=b²-4ac

www.zribimaths.jimdo.com 17 Conséquences

Si z’ et z’’ sont les solutions de l’équation az²+bz+c=0 (a≠0) alors az²+bz+c=a(z-z’)(z-z’’).

' '' c ' '' b

z z et z z

a a

= + = − .

Applications 19:

Résoudre dans ℂ chacune des équations suivantes : 1) z²+z+1=0

2) z²− +(1 2 )z+ 2 =0 . 3) z²-(1-i)z+2-2i=0.

4) z²+(3+i)z+2-3i=0

5) z²-2zcosθ+1=0 ; θ un réel.

9) Exemples d’équations de degré supérieur ou égal à3 :

Activité 10:

n>2 ; a0 , a1 , a2 ,……,an des nombres complexes et an≠0 .

1

1 1 0

( ) _n ⁿ _n ⁿ ...

P z =a z +a ₋z ⁻ + +a z+a .( un polynôme à coefficients complexes de degré n) 1) Montrer que z0 est un zéro de P si et seulement si

1 1

0 1 0 1 0

( ) _n( ^{n n}) _n ( ^{n n} ) ... ( ) P z =a z −z +a ₋ z ⁻ −z ⁻ + +a z−z ^.

2) En déduire que z0 est un zéro de P si et seulement si P(z)=(z-z0)Q(z) et d°(Q(z))=n-1 Théorème :

Soit P(z) un polynôme à coefficients complexes de degré n>1.

z₀ une racine de P(z) si et seulement si, il existe un polynôme Q(z) de degré (n-1) tel que P(z)=(z-z0)Q(z).

www.zribimaths.jimdo.com 18 Exemple 1 :

Soit P(z) =z³-(2+i)z²+(1+9i)z+10+2i.

1) Montrer que P(z)=0 admet une solution imaginaire que l’on déterminera.

2) Factoriser P(z).

3) Résoudre alors P(z)=0.

Exemple 2 :

Soit f(z)=z⁴-2z³+3z²-2z+2.

1) Montrer que si z est solution de l’équation f(z)=0 alors z aussi est solution de cette équation.

2) Calculer f(i).

3) Résoudre dans ℂ l’équation f(z)=0.

Exercice 8:

I/ soit l'équation (E): z²-(2+i)z+1+i=0; on désigne par z et z' les solutions de(E).

1/ sans calculer z' et z'':

a) mettre a= 1 1

z ' +z '' sous forme cartésienne.

b) Déterminer Arg(z'z'').

2/ résoudre l'équation (E).

II/ soit θ∈[0, ] 2

π et soit l'équation (E_θ): z²-(i+2cosθ)z+1+ie ^-iθ=0.

1/ a) vérifier que e ^-iθ est une solution de (E_θ).

b) en déduire l'autre solution de (E_θ) et la mettre sous la forme exponentielle.

2/ dans le plan complexe P rapporté à un repère orthonormé( O , i , j ) , on considère les point A(i) et B(i+e^iθ).

a) déterminer AB.

b) Déterminer et construire F={B(i+e^iθ); θ∈[0, ] 2 π _}.

Exercice 9:

on considère l’équation (E) : z³+(√3-i)z²+(1-i√3)z-i=0

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1) a) montrer que l’équation (E) admet une racine imaginaire pure z0 que l’on déterminera b) résoudre alors l’équation (E) ; on note z1 et z2 les deux autres racines ; Im(z1)>0

c) écrire z0, z1, z2 sous forme trigonométrique

2) le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct

(

^{O u v, ,}

)

^.

On désigne par A, B, C les points d’affixes respectives z₀, z₁, z₂ a) montrer que OB et AC

sont orthogonaux.

b) en déduire que le quadrilatère OABC est un losange

c) placer les points A, B, C dans le plan complexe et déterminer une mesure de (

OA ,OB )

d) vérifier que z0, z1, z2 sont les racines sixième de –1 et déterminer les autres racines de l’équation z⁶=-1.

Exercice 10:

Pour tout nombre complexe z, on pose f(z)=z³-(5+6i)z²+(18i-5)z+13.

1) a) montrer que l'équation f(z)=0 possède une racine imaginaire pur que l'on déterminera.

b) résoudre dans ℂ l'équation f(z)=0.

2) dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct

(

^{O u v, ,}

)

. On considère les points A, B et C d'affixes respective z0=i, z1=2+3i et z2=3+2i.

a) montrer que ^{2 1}

0 1

1 i 2

z z z z

− =

− .

b) En déduire la nature du triangle ABC.

3) a) résoudre dans ℂ l'équation z³=1.

b) calculer (2+i)³; en déduire les solutions dans ℂ de l'équation z³=2+11i.

Exercice 11:

1) résoudre dans ℂ l'équation z²+6z+12=0.

2) dans le plan complexe P rapporté à un repère orthonormé direct

(

^{O u v, ,}

)

on considère les point A et B d'affixes respectives zA= -3-i√3 et zB= -3+i√3.

a) mettre z_A et z_B sous forme exponentielle.

b) Déterminer une mesure de l'angle ( OA ,OB ). c) Montrer que le triangle OAB est équilatéral.

3) soit z'=

e

ⁱ₄

z

_A

− π .

a) écrire z' sous forme trigonométrique et sous forme algébrique.

b) En déduire 11 11

cos et sin

12 12

π π

.