Cécile Bertrand Calcul Littéral – 2nde Page 1 sur 2 a
a
b
b
…
… …
…
Calcul Littéral I Les outils
1) Les outils déjà rencontrés
forme factorisée (produit) forme développée (somme)
► Distributivité simple k×(a + b) = k×a + k×b
► Distributivité double (a + b)×(c + d) = a×c + a×d + b×c + b×d
► Identité remarquable (a + b) (a – b) = a2 − b2
2) Deux nouvelles identités remarquables
forme factorisée (produit) forme développée (somme)
► Identité remarquable (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a − b)2 = a2 − 2ab + b2
Illustration géométrique du carré d’une somme :
Agrand carré = A1 + A2 + A3 + A4
(a + b)2 = a2 + ab + ab + b2 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
II Développer et factoriser des expressions
Définitions : ► Réduire, c’est écrire avec le moins de termes possible, ► Développer, c’est transformer une somme en produit, ► Factoriser, c’est transformer une somme en produit.
Exemple : On peut écrire une même expression algébrique sous différentes formes : (-2x + 5) (x – 7) = -2x2 + 14x + 5x – 35 = -2x2 + 19x – 35
forme forme forme
factorisée développée non réduite développée réduite
A1
A2
A3
A4
Cécile Bertrand Calcul Littéral – 2nde Page 2 sur 2
Méthode : Pour réduire une expression, on regroupe les termes de même puissance puis on ordonne selon les puissances décroissantes
Exemple : A = 7 – 3x2 + 5x – 4x3 – 9 + 5x2 – 12x A = – 4x3 – 3x2 + 5x2 + 5x – 12x + 7 – 9
A = – 4x3 + 2x2 – 7x – 2
Méthode : Pour développer une expression, on repère les produits et on les développe avec l’outil approprié en écrivant ceux précédés d’un signe – (ou d’un nombre ou d’une parenthèse) entre parenthèses.
Exemple : B = -5 (x + 3) – (x – 5) (2x + 1) + 3 (x + 5)2
B = -5x – 15 – (2x2 + x – 10x – 5) + 3 (x2 + 10x + 25)
B = -5x – 15 – 2x2 – x + 10x + 5 + 3x2 + 15x + 75 B = x2 + 19x + 65
Méthode : Pour factoriser une expression :
- on fait apparaître un facteur commun dans chaque terme et on utilise la distributivité simple
- s’il n’y a pas de facteur commun, il faut utiliser une identité remarquable
Exemples :
C = 8x2 – 10x D = 27x2 – 18x - 9
C = 2x (4x – 5) D = 9 (3x2 – 2x – 1)
E = 3 (x + 2) + (x + 2) (1 – 3x) F = (x – 1)2 – (x – 1) (2x – 5) E = (x + 2) [3 + (1 – 3x)] F = (x – 1) [(x – 1) – (2x – 5)]
E = (x + 2) (3 + 1 – 3x) F = (x – 1) (x – 1 – 2x + 5)
E = (x + 2) (4 – 3x) F = (x – 1) (-x + 4)
G = x2 + 4x + 4 H = 16x2 – 9
G = (x + 2)2 H = (4x – 3) (4x + 3)
I = (x – 3)2 – 25 J = (x – 1)2 – (3 – 2x)2
I = [(x – 3) – 5] [(x – 3) + 5] J = [(x – 1) – (3 – 2x)] [(x – 1) + (3 – 2x)]
I = (x – 3 – 5) (x – 3 + 5) J = (x – 1 – 3 + 2x) (x – 1 + 3 – 2x) I = (x – 8) (x + 2) J = (3x – 4) (-x + 2)
