Soit z un nombre complexe de partie r´ eelle a et de partie imaginaire b. Exprimer avec des fonctions usuelles de a et de b un argument de

1.

lin´ eariser cos

x

2.

Soit z un nombre complexe de partie r´ eelle a et de partie imaginaire b. Exprimer avec des fonctions usuelles de a et de b un argument de

e

3.

Exprimer arctan

r 1 − x 1 + x

`

a l’aide de arccos x

4.

Donner un argument de 1 + i tan α lorsque α ∈] −

, −

[.

5.

Lin´ eariser sin

x cos y

6.

D´ eterminer l’ensemble des x ∈ [−

,

] v´ erifiant sin 5x = 0.

7.

Soit 0 < a < b. Simplifier sh

argch

b + a b − a

8.

D´ eterminer les x ∈ R v´ erifiant

√ 3 cos x − sin x = 1

9.

Calculer les racines carr´ ees de −1 + 2i √ 6.

10.

Soit z = x + iy avec x et y r´ eels (z 6= 0), soit

Z = z

+ 1 z

Quelle est la partie imaginaire de Z ?

11.

La proposition suivante est-elle vraie ?

« Si la partie r´ eelle d’un nombre complexe est strictement positive, ses arguments sont dans

−

,

» ?

12.

Quel est le coefficient de x

y

dans le d´ eveloppement de

(3x

− 7y

)

(puissances et coefficients du binˆ ome)

13.

Calculer les racines carr´ ees de 5 − 12i

14.

En sommant de k = 1 jusqu’` a n l’encadre-

ment 1

2 √

k + 1 ≤ √

k + 1 − √ k ≤ 1

2 √ k former un encadrement de

S

=

n

X

k=1

√ 1 k

15.

R´ esoudre dans ]0, +∞[ l’´ equation d’incon- nue x :

x

√x

= ( √ x)

16.

Soit y ∈ [0, 1]. Pr´ eciser, en fonction de arcsin y, l’ensemble des u ∈ [−π, π] tels que

sin u > y

17.

Soit a un nombre r´ eel. Pr´ eciser, avec une syntaxe ensembliste correcte, l’ensemble des solutions de l’´ equation d’inconnue x

cos x = − sin a

18.

Lin´ eariser

sin (a) sin (b) sin (c)

19.

Soit n un entier naturel non nul, d´ eterminer le nombre de solutions dans [0,

] de l’´ equation sin nx = 0 d’inconnue x.

20.

Expression de

n

X

k=0

k

21.

√ Donner une expression de cos

avec des .

22.

Transformer en produit cos a − cos b

23.

R´ esoudre l’´ equation d’inconnue z z

+ iz + 1 + 3i = 0

24.

Soit n un entier naturel non nul, exprimer

2n n+1

comme un quotient avec seulement (n + 1)! au d´ enominateur.

25.

Soit n et p (p < n) deux entiers naturels non nuls, exprimer

comme un quotient avec seulement p!

au d´ enominateur.

26.

Soit z un nombre complexes de partie r´ eelle a et de partie imaginaire b. Trouver une expression simple de

e

− e

2

`

a l’aide de fonctions trigonom´ etriques.

27.

Soit n un entier naturel non nul, d´ eterminer l’ensemble des x ∈ [0,

] v´ erifiant sin nx = 0.

28.

Calculer les racines carr´ ees de −3 + 4i.

29.

Soit a, b, x r´ eels avec α = arccos a

√ a

+ b

b > 0

Mettre a cos x + b sin x sous la forme A cos(x + ϕ) o` u A et ϕ sont exprim´ es avec a, b, α.

30.

Soit a un nombre r´ eel. Pr´ eciser, avec une syntaxe ensembliste correcte, l’ensemble des solutions de l’´ equation d’inconnue x

sin x = − cos a

31.

Soit n un entier naturel non nul, d´ eterminer l’ensemble des x ∈ [0, π] v´ erifiant cos nx = 0.

32.

Rappeler l’identit´ e remarquable pour x

− y

.

En utilisant b − c = (b − a) + (a − c), factoriser a

(b − c) + b

(c − a) + c

(a − b)

33.

Soit a, b, x r´ eels avec α = arcsin a

√

a

+ b

b > 0

Mettre a cos x + b sin x sous la forme A cos(x + ϕ) o` u A et ϕ sont exprim´ es avec a, b, α.

34.

Soit x ∈ [−1, 1]. Pr´ eciser, en fonction de arccos x, l’ensemble des u ∈ [−π, π] tels que

cos u > x

35.

Pour n naturel non nul, on d´ efinit une fonc- tion g par

g(t) = sin(nt) sin

t

Donner une expression simple de g(π − t) en fonction de g(t) et d’une puissance.

36.

Lin´ eariser

sin (x) cos (2 x) sin (3 x)

37.

Pour n naturel non nul, calculer

n

Y

i=1





i

X

j=0

2





38.

Soit z un nombre complexe et θ un argument de z. L’implication suivante est elle vraie ?

Re(z) < 0 ⇒ θ ∈] π 2 , 3π

2 [

39.

Pr´ eciser, dans [−π, π], les intervalles dans lesquels doit de trouver θ pour que sin 2θ et sin(θ +

) soient de mˆ eme signe.

40.

Argument de i + e

e

− e

41.

D´ eterminer l’ensemble des complexes w tels que :

Im w + |w| ≤ 0

42.

Soit x > 1. Quel est le nombre d’entiers pairs dans [1, x] ?

43.

Donner une autre expression de argch 2.

44.

Simplifier

(cos a)e

− i(sin a)e

45.

Donner un argument de i cos 2π

3 e

46.

Donner un argument de cos 2π

3 e

47.

R´ esoudre dans C l’´ equation d’inconnue z : z

+ (1 − i)z − 5i = 0

48.

Ecrire sous forme trigonom´ ´ etrique (ρe

) le nombre complexe

1 + i

√ 3 − i

49.

Soit x > 0 r´ eel, simplifier ln(a) et ln

pour

a = (x

)

50.

Exprimer avec ch t et sh t 1

1 − i e

− 1 1 + i e

51.

Soit a et b deux r´ eels tels que a

+ b

= 1, a < 0

Donner un argument de a + ib en fonction de arcsin b.

52.

Soit z un nombre complexe non nul et θ un nombre r´ eel. ´ Ecrire avec un quantificateur que θ est un argument de z.

53.

Soit x ∈

−π, −

, simplifier arcsin(sin x).

54.

Simplifier

n

pour u

= n

n!

55.

Soit α > 0 et 6= 1, r´ esoudre dans ]0, +∞[

l’´ equation d’inconnue x :

x

= (x

)

56.

Simplifier

n

X

k=0

(u

− 2u

+ u

)

57.

Soit a, b, c des r´ eels, sous quelle condition l’´ equation d’inconnue x r´ eelle

a cos x + b sin x = c admet-elle des solutions ?

58.

R´ esoudre dans C l’´ equation d’inconnue z : z

+ 3(1 + i)z + 5i = 0

59.

Calculer les racines carr´ ees de 5 + 12i.

60.

Soit z complexe non nul. Sous quelle condi- tion sur Re(z) et Im(z) le nombre

arcsin Im(z)

p Re(z)

+ Im(z)

est-il un argument de z ?

61.

Soit a et b deux r´ eels, donner une condition sur a et b assurant que arctan

est un argument de a+ib.

62.

Lin´ eariser sin x sin 2x sin 3x.

63.

Donner une expression de cos

avec des √ sachant que

cos 2π

5 = −1 + √ 5 2

64.

Donner une expression simple de

n

X

k=1

cos (2k − 1)π n

65.

Trouver une autre expression de

n

X

k=1

ln(kx)

66.

Calculer les racines carr´ ees de 1 + 2i √ 6.

67.

Exprimer

arcsin 2x 1 + x

en fonction de arctan x pour x ∈]1, +∞[.

68.

Exprimer

sin θ + sin 2θ + · · · + sin nθ

comme une fraction ne contenant que des sin lorsque θ 6≡ 0(2π).

69.

Exprimer

1 + cos θ + cos 2θ + · · · + cos nθ

comme un quotient de sin et cos lorsque θ 6≡ 0(2π).

70.

Lin´ eariser

cos (a) cos (b) cos (c)

71.

Soit a, b, c complexes deux ` a deux distincts, simplifier

a

(a − b)(a − c) + b

(b − a)(b − c) + c (c − a)(c − b)

72.

Soit a un nombre r´ eel. Pr´ eciser, avec une syntaxe ensembliste correcte, l’ensemble des solutions de l’´ equation d’inconnue x

cos x = sin a

73.

Soit z un nombre complexes de partie r´ eelle a et de partie imaginaire b. Trouver une expression simple de

e

+ e

2

`

a l’aide de fonctions trigonom´ etriques.

74.

Soit a, p, q strictement positifs. Si on ex- prime

a

(a

)

comme une puissance de a, quel est l’exposant ? 75.

Donner le module de

i + e

76.

Soit x > 0 r´ eel, simplifier ln(a) et ln

pour

a = x

“ x(xx)”

77.

Lorsque x 6= e, trouver une autre expression

de

X

k=0

(ln x)

78.

Quelle est la partie r´ eelle de 2

? 79.

Calculer les racines carr´ ees de

−1 − 2i √

6

80.

Donner un argument de i sin 2π

3 e

81.

Soit x > 0. Quel est le nombre d’entiers impairs dans [0, x] ?

82.

Soit α et β des r´ eels strictement positifs distincts. D´ eterminer les x > 0 v´ erifiant

(x

)(

) = x

83.

Donner un argument de cot α + i lorsque α ∈]π, 2π[.

84.

Soit z un nombre complexe et θ un argument de z. L’implication suivante est elle vraie ?

Re(z) > 0 ⇒ θ ∈] − π 2 , π

2 [

85.

Transformer x

+ 2x cos ψ+ 1 pour x = e

.

86.

D´ eterminer l’ensemble des complexes w tels que :

Im w − |w| = 0

87.

Soit z = e

avec θ r´ eel. Simplifier Z = z

+ 1

z

88.

Pour x > 0, simplifier arctan x + arctan 1

x

89.

Pour tout entier naturel n, on pose c

= cos π

2

, s

= sin π

2

, t

= tan π 2

Exprimer s

en fonction de c

.

90.

Factoriser sin x + cos y

91.

Donner un argument de i + e

92.

D´ eterminer les x ∈ R v´ erifiant

√

3 cos x − sin x = −2

93.

Soit z un nombre complexe d’argument α, de module ρ, de partie r´ eelle a et de partie imaginaire b.

Donner un argument de 2

.

94.

Forme trigonom´ etrique de 1 − i tan θ 1 + i tan θ

95.

Calculer les racines carr´ ees de 1 − 2i √ 6.

96.

Donner un argument de sin 2π

3 e

97.

R´ esoudre cos x + √

3 sin x = 1

98.

Donner un argument de i − e

99.

Calculer les racines carr´ ees de 3 + 4i.

100.

Soit y ∈ [−1, 0]. Pr´ eciser, en fonction de arcsin y, l’ensemble des u ∈ [−π, π] tels que

sin u < y

101.

Lin´ eariser

cos

x sin x

102.

Soit x ∈ [0, 1]. Pr´ eciser, en fonction de arccos x, l’ensemble des u ∈ [−π, π] tels que

cos u < x

103.

Calculer les racines carr´ ees de

−5 + 12i

104.

Transformer en produit sin a + sin b

105.

D´ eterminer les x ∈ R v´ erifiant cos x − sin x = √

2

106.

Quel est le coefficient de x

y

dans le d´ eveloppement de

(3x − 7y)

(puissances et coefficients du binˆ ome)

107.

lin´ eariser sin

x

108.

Trouver une autre expression de

n

X

k=0

e

109.

Soit M un point de coordonn´ ees (x, y).

Porter sur le cercle trigonom´ etrique de la figure ?? l’en- semble des points d’affixe e

tels que

( cos θ ≤ x sin θ ≤ y

110.

Pour tout entier naturel n, on pose c

= cos π

2

, s

= sin π

2

, t

= tan π 2

Exprimer t

en fonction de t

.

M

Fig. 1 – Exercice Ectrigus90

111.

On suppose x ∈ [2, 3] et y ∈ [−3, −2].

Compl´ eter les encadrements suivants

. ≤ x + y ≤ . . ≤ x − y ≤ .

. ≤ xy ≤ . . ≤ x

y ≤ .

112.

Soit z = re

avec r et θ r´ eels (r 6= 0), soit Z = z

+ 1

z

Quelle est la partie imaginaire de Z ?

113.

Pour tout entier naturel n, on pose c

= cos π

2

, s

= sin π

2

, t

= tan π 2

Exprimer c

en fonction de c

.

114.

Soit n un entier naturel non nul, exprimer

2n n−1

comme un quotient avec seulement (n − 1)! au d´ enominateur.

115.

Simplifier

sin αe

+ i cos αe

116.

Lin´ eariser sin x sin y

117.

Simplifier

n

pour u

=

2n n

118.

Soit M un point de coordonn´ ees (x, y).

Porter sur le cercle trigonom´ etrique de la figure ?? l’en- semble des points d’affixe e

tels que

( cos θ ≤ x

sin θ ≥ y

M

Fig. 2 – Exercice Ectrigus91

119.

Soit z un nombre complexe de partie r´ eelle a et de partie imaginaire b. Exprimer avec des fonctions usuelles de a et de b le module de

e

120.

Pour x < 0, simplifier arctan x + arctan 1

x

121.

Lin´ eariser sin

x. En d´ eduire, par simplifi- cation t´ elescopique, une expression de

E =

n

X

k=1

3

sin θ

3

122.

Soit a > 0. D´ eterminer l’ensemble des so- lutions dans C de l’´ equation d’inconnue x :

a

= −2

123.

Une suite (a

)

N

v´ erifie a

= √ a

. Si on exprime

a (

)

n+1

comme une puissance de a

, quel est l’exposant ? 124.

Transformer en produit

cos a + cos b

125.

Exprimer

en fonction de tan

126.

Soit z complexe non nul. Sous quelle condi-

tion sur Re(z) et Im(z) le nombre arccos Re(z)

p Re(z)

+ Im(z)

est-il un argument de z ?

127.

Soit a, b, x r´ eels avec α = arcsin a

√

a

+ b

b < 0

Mettre a cos x + b sin x sous la forme A cos(x + ϕ) o` u A et ϕ sont exprim´ es avec a, b, α.

128.

En utilisant b − c = (b − a) + (a − c), factoriser

a

(b − c) + b

(c − a) + c

(a − b)

129.

R´ esoudre dans C l’´ equation d’inconnue z : z

− 2(1 + 2i)z − 3 + 4i = 0

130.

D´ eterminer l’ensemble des x ∈ [0, π] tels que cos 5x = 0.

131.

Calculer les racines carr´ ees de −4 + 3i.

132.

θ ∈] − π, π[, module et argument de

.

133.

D´ eterminer l’ensemble des complexes w tels que :

Re w + |w| = 0 134.

Lin´ eariser

cos (x) cos (2 x) sin (3 x)

135.

Donner un argument de 1 + i tan α lorsque α ∈] −

,

[.

136.

Lin´ eariser

cos (a) cos (b) sin (c)

137.

Donner un argument de

1 + i tan α

lorsque α ∈]

,

[.

138.

Simplifier

n

pour

u

= 1 × 3 × · · · × (2n − 1) n

139.

Lin´ eariser sin

x cos y sin z

140.

Dans cet exercice, i(α, β) est un nombre r´ eel d´ efini pour tous les entiers α et β. ´ Ecrire l’expression suivante avec le symbole P ´ etendu de k = 0 ` a p :

i(p, a)i(0, b) + p

1 i(p − 1, a)i(1, b) + p × (p − 1)

1 × 2 i(p − 2, a)i(2, b) + · · · + p × (p − 1) × · · · × (1)

1 × 2 × · · · × (p − 1) i(1, a)i(p − 1, b) + i(0, a)i(p, b) 141.

Soit x > 1 et x 6= e, simplifier

(ln x)

142.

Soit a et b deux r´ eels tels que a

+ b

= 1, b < 0

Donner un argument de a + ib en fonction de arccos a.

143.

Donner un argument de cot α + i lorsque α ∈] − π, 0[.

144.

Quelle est la partie imaginaire de 2

? 145.

Donner une expression simple de

n

X

k=1

sin (2k − 1)π n

146.

Expression logarithmique de argch x.

147.

D´ eterminer l’ensemble des complexes w tels que :

Re w − |w| > 0

148.

Donner un argument de j + e

149.

Soit z = x + iy avec x et y r´ eels (z 6= 0), soit

Z = z

+ 1 z

Quelle est la partie r´ eelle de Z ?

150.

Une suite est d´ efinie par son premier terme u

= 2 et par la relation u

= 2u

+ 1. Exprimer u

.

151.

Donner le module de i − e

152.

Soit a, b, c des r´ eels strictement positifs, diff´ erents de 1 et tels que abc 6= 1. Simplifier :

1 ln(abc)

1

ln a ln b + 1

ln b ln c + 1 ln c ln a

153.

Exprimer avec des factorielles et une puis- sance

e

154.

Soit x ∈ [−1, 0]. Pr´ eciser, en fonction de arccos x, l’ensemble des u ∈ [−π, π] tels que

cos u < x

155.

Donner une autre expression de argsh 1.

156.

D´ eterminer les x ∈ R v´ erifiant cos x + sin x = √

2

157.

Donner une autre expression de e

. 158.

Lin´ eariser sin x cos

y

159.

Soit a, b, x r´ eels avec α = arccos a

√

a

+ b

b < 0

Mettre a cos x + b sin x sous la forme A cos(x + ϕ) o` u A

et ϕ sont exprim´ es avec a, b, α.

160.

D´ eterminer l’ensemble des complexes w tels que :

Re w − |w| ≥ 0

161.

Calculer les racines carr´ ees de −5 − 12i.

162.

Trouver une autre expression de

n

Y

k=1

ln(x

)

163.

Expression logarithmique de argsh x.

164.

Forme trigonom´ etrique de j

1 − j

165.

Calculer les racines carr´ ees de 3 − 4i.

166.

Calculer les racines carr´ ees de −3 − 4i.

167.

Soit z un nombre complexe de partie r´ eelle a et de partie imaginaire b. Exprimer avec des fonctions usuelles de a et de b un argument de

e

168.

Soit z = x + iy avec x et y r´ eels (z 6= 0), soit

Z = z

+ 1 z

On note X = Re Z et Y = Im Z. Les propositions sui- vantes sont-elles vraies ou fausses ?

(a) x

− y

= X − 1

(X − 1)

+ Y

(b) 2xy = − Y

(X − 1)

+ Y

(c) 2xy = Y

(X − 1)

+ Y

(d) x

+ y

= X + 1

(X − 1)

+ Y

(e) x

+ y

= 1

p (X − 1)

+ Y

169.

Trouver une autre expression de

n

X

k=0

ln(x

)

170.

Donner une expression de cos

avec des

√ .

171.

Soit a, b, c complexes deux ` a deux distincts, simplifier

1

(a − b)(a − c) + 1

(b − a)(b − c) + 1 (c − a)(c − b)

172.

Soit n un entier naturel non nul, ex- primer

comme un quotient avec seulement n! au d´ enominateur.

173.

Donner une expression simple de

n

X

k=1

e

En d´ eduire la valeur de

n

X

k=1

cos

(2k − 1)π 2n

174.

Pour n naturel non nul, on d´ efinit une fonc- tion g par

g(t) = sin(nt) sin

t

Donner une expression simple de g(−t) en fonction de g(t) et d’une puissance.

175.

Soit a, b, c dans R \ {0, −1}. Factoriser 2

a(a + 1)b(c + 1) − 2 1 a(a + 1)(b + 1)c

176.

Soit z un nombre complexes de partie r´ eelle a et de partie imaginaire b. Trouver une expression simple de

e

− e

2

`

a l’aide de fonctions trigonom´ etriques.

177.

Soit z = re

avec r et θ r´ eels (r 6= 0), soit Z = z

+ 1

z

Quelle est la partie r´ eelle de Z ?

178.

Exprimer

arctan 2x 1 − x

en fonction de arctan x pour x ∈]1, +∞[.

179.

En sommant de k = 1 jusqu’` a n l’encadre-

ment 1

(k + 1)

≤ 1 k − 1

k + 1 ≤ 1 k

former un encadrement de

S

=

n

X

k=1

1 k

180.

Lin´ eariser sin

x cos y

181.

Lin´ eariser sin x cos y.

182.

Soit a un nombre r´ eel. Pr´ eciser, avec une syntaxe ensembliste correcte, l’ensemble des solutions de l’´ equation d’inconnue x

sin x = cos a

183.

Soit y ∈ [0, 1]. Pr´ eciser, en fonction de arcsin y, l’ensemble des u ∈ [−π, π] tels que

sin u < y

184.

Donner une expression simple de

n

X

k=1

e

185.

Lin´ eariser cos

x sin y 186.

Lin´ eariser sin

x.

187.

Donner une autre expression de e

. 188.

Exprimer

arctan 2x 1 − x

en fonction de arctan x pour x ∈] − 1, 1[.

189.

Lin´ eariser cos x cos y

190.

R´ esoudre

cos 2x − sin x = 0

191.

En sommant l’encadrement suivant : 1

k + 1 ≤ ln(k + 1) − ln(k) ≤ 1 k former un encadrement de

S

= 1 + 1

2 + · · · + 1 n

192.

Lin´ eariser sin

x sin

y.

193.

Simplifier

en utilisant

194.

Pr´ eciser les r´ eels x > 0 v´ erifiant (x

)

= x

195.

Simplifier

cos αe

+ i sin αe

196.

Simplifier

n

pour u

= (2n)!

(n − 1)!n

197.

Donner un argument de

cot α + i

lorsque α ∈]0, π[.

198.

Soit a > 0. D´ eterminer l’ensemble des so- lutions dans C de l’´ equation d’inconnue x :

a

= −1

199.

Expression de

n−1

X

k=0

k

200.

Exprimer arcsin q

2

en fonction de arccos x

201.

R´ esoudre dans C : z + |z| = 8 + 4i

202.

Soit z un nombre complexe de partie r´ eelle a et de partie imaginaire b. Exprimer avec des fonctions usuelles de a et de b :

e

203.

Soit λ, µ deux nombres complexes et a, b deux nombres r´ eels. Lin´ eariser

λ sin a cos b + µ cos a sin b

204.

Pr´ eciser les r´ eels x > 0 v´ erifiant (x

)

= x

205.

Lin´ eariser

sin (x) cos (2 x) sin (3 x)

206.

Pour θ ∈]π, 3π[, module et argument de 1

1 + e

207.

Transformer x

−2x cos ψ + 1 pour x = e

.

208.

Calculer

n

Y

j=2

(1 − 1 j

)

`

a l’aide de deux produits t´ elescopiques

209.

Pour n naturel non nul, on d´ efinit une fonc- tion g par

g(t) = sin(nt) sin

t

Donner une expression simple de g(t + π) en fonction de g(t) et d’une puissance.

210.

D´ eterminer l’ensemble des complexes w tels que :

Re w + |w| > 0

211.

Former une ´ equation du second degr´ e dont les racines sont −1 − i et 1 + 3i.

212.

Soit z un nombre complexes de partie r´ eelle a et de partie imaginaire b. Trouver une expression simple de

e

+ e

2

`

a l’aide de fonctions trigonom´ etriques.

213.

D´ eterminer l’ensemble des complexes w tels que :

Im w + |w| > 0 214.

Simplifier

(sin a)e

− i(cos a)e

215.

Trouver une autre expression de

n

Y

k=1

e

216.

Exprimer

arcsin 2x 1 + x

en fonction de arctan x pour x ∈] − 1, 1[.

217.

Lin´ eariser cos

x.

218.

Soit M un point de coordonn´ ees (x, y).

Porter sur le cercle trigonom´ etrique de la figure ?? l’en- semble des points d’affixe e

tels que

( cos θ ≤ x

sin θ ≤ y

M

Fig. 3 – Exercice Ectrigus89