Partie B – ´ Etude de R

DM de MPSI2

Devoir non surveill´ e

Racines p-i` emes r´ eelles de I

Rd´esigne l’ensemble des nombres r´eels. On consid`erenet pdeux entiers naturels sup´erieurs ou ´egaux `a 2.

On noteraMn(R) l’ensemble des matrices carr´ees d’ordren`a coefficients r´eels, GL_n(R) l’ensemble des matrices inversibles deMn(R), et Dn(R) l’ensemble des matrices diagonales deMn(R).

Ind´esigne la matrice identit´e deMn(R), c’est-`a-dire la matrice diagonale d’ordrendont les termes diagonaux sont tous ´egaux `a 1.

Le but de ce probl`eme est l’´etude des ensembles

Rn(p) ={A∈ Mn(R)|A^p=In}.

Dans la deuxi`eme et la troisi`eme partie,E d´esigne un R-espace vectoriel de dimension 2 muni d’une base B= (e1, e2), et IdE d´esigne l’identit´e deE.

Partie A – G´ en´ eralit´ es

A.1Rn(p) est-il un sous-espace vectoriel deMn(R) ?

A.2SoitA∈ Rn(p). Montrer queA∈GLn(R) et queA⁻¹∈ Rn(p).

A.3SoitA∈ Rn(p) etP ∈GL_n(R). Montrer queP⁻¹AP ∈ Rn(p).

A.4Montrer queRn(p)∩ Dn(R) est un ensemble fini dont on d´eterminera le cardinal.

A.5 On consid`ere qun entier naturel sup´erieur ou ´egal `a 2, et on appelledle plus grand diviseur commun depet q. Montrer queRn(p)∩ Rn(q) =Rn(d).

Partie B – ´ Etude de R

(2)

B.1SoitAun ´el´ement deR₂(2) tel queA6=I₂etA6=−I₂, et soitul’endomorphisme deE dont la matrice dans la baseBestA.

a Montrer que Ker(u−IdE)⊕Ker(u+ IdE) =E.

bEn d´eduire qu’il existe une base deE dans laquelle la matrice deuest

1 0

0 −1

cMontrer qu’il existe quatre r´eels a,b,c etdtels quead−bc6= 0 et

A= 1 ad−bc

ad+bc −2ab

2cd −ad−bc

.

B.2Montrer que R2(2) muni de la multiplication des matrices n’est pas un groupe. Interpr´eter g´eom´etri- quement ce r´esultat.

Partie C – ´ Etude de R

(3)

C.1Dans toute la suite du probl`eme,M d´esigne un ´el´ement deR2(3), etv l’endomorphisme deE dont la matrice dansBestM. On consid`ere les sous-espaces vectoriels deE (ici,v²=v◦v) :

F = Ker(v−Id_E) et G= Ker(v²+v+ Id_E).

a Montrer queF∩G={0}.

bSoitx∈E. Montrer que ¹₃ x+v(x) +v²(x)

∈F et que ¹₃ 2x−v(x)−v²(x)

∈G.

cEn d´eduire queE=F⊕G.

C.2Que peut-on dire deM siF est de dimension 2 ?

C.3 Le but de cette question est de montrer `a l’aide d’un raisonnement par l’absurde que F n’est pas de dimension 1. On suppose donc queF est de dimension 1.

a Montrer qu’il existe une baseG = (g₁, g₂) de E telle queF soit la droite vectorielle engendr´ee par g₁ etGsoit la droite vectorielle engendr´ee parg₂.

bEn consid´erant le vecteurv²(g₂) +v(g₂) +g₂, obtenir une contradiction.

C.4On suppose dans cette question queF est de dimension 0.

a Montrer que (e1, v(e1)) est une base deE.

bEn d´eduire qu’il existe un r´eel aet un r´eel non nulb tels que

M =1 b

ab −1−a−a² b² −ab−b

.