Exprimer la partie réelle et la partie imaginaire de chacun des complexes suivants en fonction de la partie réelle et de la partie imaginaire de z.

PanaMaths

[1 - 2]

Avril 2016 Soit z = + x iy un complexe.

Exprimer la partie réelle et la partie imaginaire de chacun des complexes suivants en fonction de la partie réelle et de la partie imaginaire de z.

( )

1

1

z = + i z z

2

= + ( ) z i

²

( )( )

z

3

= + z i z i − z

₄

1

= + z i

Analyse

Des manipulations assez classiques de formes algébriques…

Résolution

( )

( )( )

( ) ( )

1 1

1

z i z

i x iy x iy ix y

x y i x y

= +

= + +

= + + −

= − + +

D’où : Re

( )

z1 = − =x y Re

( )

z −Im

( )

z et Im

( )

z1 = + =x y Re

( )

z +Im

( )

z .

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

2 2

2

2

2 2

2 2

1

2 1 1

1 2 1

z z i

x iy i

x i y

x ix y y

x y ix y

= +

= + +

= + +

= + + − +

= − + + +

D’où : Re

( )

z2 =x²− +

(

1 y

)

² =

(

Re

( )

z

)

²− +

(

1 Im

^{( )}

z

)

² et

( )

2

( ) ( ) ( ( ) )

Im z =2x 1+y = ×2 Re z × +1 Im z .

Remarquons que z+ = + = −i z i z i. Ainsi : z3=

(

z+i

)(

z− =i

) (

z+i

)(

z+ = +i

)

z i². Comme ^{z+ = +i x i}

(

^1+y

)

, il vient immédiatement : z3= +z i² =x²+ +

(

1 y

)

².

PanaMaths

[2 - 2]

Avril 2016

D’où : Re

( )

z3 =x²+ +

(

1 y

)

² =

(

Re

( )

z

)

²+ +

(

1 Im

( )

z

)

² et Im

( )

z3 =0.

( )

( )

( )

( )

( )

4

2

2 2

2 2

2 2

1

1 1

1

1 1

z z i

z i z i

x i y

x y

x y

i

x y x y

= +

= − +

− +

= + +

= + − +

+ + + +

D’où :

( )

( ) ( )

( ( ) ) ( ( ) )

4 2 2 2 2

Re Re

1 Re 1 Im

x z z

x y z z

= =

+ + + + et

( ) ( )

( )

( ( ) )

( ( ) ) ( ^{( )} )

4 2 2 2 2

1 1 Im Im

1 Re 1 Im

y z z

x y z z

− + − +

= =

+ + + + .

Résultat final

( )

1

( ( ) ) ( ) ( )

Re z =Re 1+i z =Re z −Im z

( )

1

( ( ) ) ^{( ) ( )}

Im z =Im 1+i z =Re z +Im z

( )

²

( ( )

²

) ^{( ( ) )}

²

^{( ( ) )}

²

Re z =Re z+i = Re z − +1 Im z et

( )

²

( ( )

²

) ^{( ) ( ( ) )}

Im z =Im z+i = ×2 Re z × +1 Im z

( )

3

( ( )( ) ) ( ^{( )} )

²

( ^{( )} )

²

Re z =Re z+i z−i = Re z + +1 Im z

( )

3

( ( )( ) )

Im z =Im z+i z−i =0

( ) ( )

( ( ) ) ( ^{( )} )

4 2 2

1 Re

Re Re

Re 1 Im

z z

z i z z

⎛ ⎞

= ⎜⎝ + ⎟⎠= + +

( ) ( ( ) )

( ( ) ) ( ^{( )} )

4 2 2

1 1 Im

Im Im

Re 1 Im

z z

z i z z

⎛ ⎞ − +

= ⎜⎝ + ⎟⎠= + +