Lycée Benjamin Franklin PTSI−2014-2015
D. Blottière Mathématiques
Feuille d’exercices n°10
Fonctions réelles de la variable réelle − partie 1
Exercice 87
1. Étudier la limite éventuelle de
ex−1 x quandxtend vers 0, puis la limite éventuelle de
x2(e1x−1) quandxtend vers+∞.
2. Étudier la limite éventuelle de
ln(1+x2) 2x quandxtend vers 0.
3. Étudier la limite éventuelle de
sin(3x) sin(x) quandxtend vers 0.
Exercice 88
SoientIetJdeux parties non vides deR. Soientf:I→Retg:J→Rdeux fonctions telles que 1. pour toutx∈I,f(x)∈J;
2. f est strictement monotone surI; 3. gest strictement monotone surJ.
Que dire des variations deg◦f ? Exercice 89
On considère la fonctionf définie par
f:x7→ 1 p1−ln(x). 1. Préciser le domaine de définitionDde la fonctionf. 2. Étudier les variations de la fonctionf surD.
Exercice 90
Étudier les variations de la fonctionf définie par
¯
¯
¯
¯
f : R → R
x 7→ cos(x)+sin(x) surR.
Exercice 91
Étudier les variations de la fonctionf définie par
¯
¯
¯
¯
¯
¯
f : R>0 → R
x 7→ ln(x) x surR>0.
1
Exercice 92
Soitn∈Z. Étudier les variations de la fonctionfndéfinie par
¯
¯
¯
¯
fn : R → R
x 7→ x2enx surR.
Exercice 93
Soita∈R>0. On considère la fonctionfadéfinie par
fa:x7→ln³a−x x+a
´.
1. Préciser le domaine de définitionDade la fonctionfa. 2. Étudier les variations de la fonctionfasurDa.
Exercice 94
Étudier les variations de la fonctionf définie par
¯
¯
¯
¯
¯
¯
f : R → R
x 7→ cos(x)−1+x2 2 surR.
Exercice 95
Démontrer que la fonction sin admet des dérivées de tout ordre et que
∀n∈N, ∀x∈R, sin(n)(x)=sin³ x+nπ
2
´.
Exercice 96 Soit l’application
¯
¯
¯
¯
f : R → ]0,+∞[ x 7→ 10x.
1. Démontrer quef est bijective en appliquant le théorème de la bijection.
L’application réciproque de f est par définition la fonction logarithme décimal, notéelogoulog10. 2. Justifier que :
∀x∈R, log(10x)=x.
3. Calculer log(1), log(0,0001) et log(100).
4. Démontrer que :
log: ]0,+∞[→R;x7→ ln(x) ln(10). 5. Étudier la fonction log.
6. Démontrer que :
∀(x1,x2)∈]0,+∞[2, log(x1x2)=log(x1)+log(x2).
7. Démontrer que :
∀x∈]0,+∞[, log µ1
x
¶
= −log(x).
8. Démontrer que :
∀(x1,x2)∈]0,+∞[2, log µx1
x2
¶
=log(x1)−log(x2).
9. Soitx∈]0,+∞[. Exprimer log(p
x3) en fonction de log(x).
Exercice 97
Étudier la fonctionf:x7→xx.
2
