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o06
Nov. 2020 . . ./. . .
DS 03
Le soin et la rédaction seront pris en compte dans la notation.Faites des phrases claires et précises.
Le barème est approximatif. La calculatrice est autorisée.
Exercice 1 4 points
4 pts Je connais mon cours !
Recopiez et complétez sur votre copie :
a0= 1 eta1=a ax+y=ax×ay
ax ay =ax−y
(ax)n=anx,avecnun entier relatif.
Exercice 2 4 points
4 pts Simplifier les expressions suivantes : 1 A= 11−2×112,5= 11−2+2,5= 110,5 2 B= 1,21,3
1,22−x = 1,21,3−(2−x)= 1,21,3−2+x= 1,2x−0,7 3 B=
24,53
25 =24,5×3
25 = 213,5−5= 28,5 4 B=
72x−43
×77x+9
(7−5x+8)−2 =73×(2x−4)×77x+9
7−2(−5x+8) = 76x−12+7x+9−10x+16= 73x+13
Exercice 3 4,5 points
2 pts 1 Résoudre dansRl’inéquation 5×1,3x≥8
1,3x≥8 ⇐⇒ log(1,3x)≥log (8) en appliquant la fonction log strictement croissante sur ]0; +∞[
⇐⇒ xlog(1,3)≥log(8) car log (an) =nlog(a)
⇐⇒ x≥ log(8)
log(1,3) en divisant par log(1,3)>0
S =
"
log(8) log(1,3); +∞
"
1
2.5 pts 2 On donne les étapes de résolution d’une inéquation. Justifier et compléter chacune des étapes
10×0,8n≥25 ⇐⇒ 0,8n≥ 25
100 endivisant par 100 ; 100>0
⇐⇒ 0,8n≥1 4
⇐⇒ log(0,8n)≥log 1
4
en appliquant la fonction log strictement croissante sur ]0; +∞[
⇐⇒ nlog(0,8)≥ −log(4) car log (an) =nlog(a) et log 1
a
=−log(a)
⇐⇒ n≤ − log(4)
log(0,8) en divisant par log(0,8)<0
Exercice 4 4 points
On considère la fonctionf définie surRparf(x) = 3×0,6x. 1 pt 1 Donner le sens de variation def en le justifiant.
- Si 0< a <1 alorsx7−→0,6xest strictement décroissante surR.
- En particulier poura= 0,6,x7−→0,6xest strictement décroissante surR.
- En multipliant par 3>0, on obtientx7−→axest strictement décroissante surR.
x7−→3×0,6xest strictement décroissante surR.
1 pt 2 Démontrer que la courbe def passe par le pointA(−1; 5) f(−1) = 3×0,6−1= 3× 1
0,6 = 3 0,6=30
6 = 5
f(−1) = 5, donc la courbe def passe par le pointA(−1; 5).
2 pts 3 Résoudre dansRl’équationf(x) = 2
f(x) = 2 ⇐⇒ 3×0,6x= 2
⇐⇒ 0,6x=2 3
⇐⇒ log (0,6x) = log 2
3
⇐⇒ xlog(0,6) = log 2
3
⇐⇒ x= log
2 3
log(0,6)
S =
log
2 3
log(0,6)
Exercice 5 4 points
4 pts Ecrire sous forme d’un nombre décimal
2
1 A= log 104
= 4 log(10) = 4 car log(an) =nlog(a) et log(10) = 1.
2 A= log 10−2
=−2 log(10) =−2 car log(an) =nlog(a) et log(10) = 1.
3 A= log (0,001) = log 10−3
=−3 log(10) =−3 car log(an) =nlog(a) et log(10) = 1.
4 A= log (100000) = log 105
= 5 log(10) = 5 car log(an) =nlog(a) et log(10) = 1.
Exercice 6 4 points
4 pts Ecrire les nombres suivants sous la formealog(2) oùaest un réel : 1 A= log(8) = log
23
= 3 log(2) 2 B= log(16) + log(4) = log
24 + log
22
= 4 log(2) + 2 log(2) = 6 log(2) 3 C= log(48)−log(12) = log
48 12
= log(4) = 2 log(2)
3