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DS3 TSTI2D Fonctions exponentielles de base a et fonction log décimal

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Nom : . . . .

Prénom : . . . . Devoir n

o

06

Nov. 2020 . . ./. . .

DS 03

Le soin et la rédaction seront pris en compte dans la notation.Faites des phrases claires et précises.

Le barème est approximatif. La calculatrice est autorisée.

Exercice 1 4 points

4 pts Je connais mon cours !

Recopiez et complétez sur votre copie :

a0= 1 eta1=a ax+y=ax×ay

ax ay =axy

(ax)n=anx,avecnun entier relatif.

Exercice 2 4 points

4 pts Simplifier les expressions suivantes : 1 A= 112×112,5= 112+2,5= 110,5 2 B= 1,21,3

1,22x = 1,21,3(2x)= 1,21,32+x= 1,2x0,7 3 B=

24,53

25 =24,5×3

25 = 213,55= 28,5 4 B=

72x43

×77x+9

(75x+8)2 =73×(2x4)×77x+9

72(5x+8) = 76x12+7x+910x+16= 73x+13

Exercice 3 4,5 points

2 pts 1 Résoudre dansRl’inéquation 5×1,3x≥8

1,3x≥8 ⇐⇒ log(1,3x)≥log (8) en appliquant la fonction log strictement croissante sur ]0; +∞[

⇐⇒ xlog(1,3)≥log(8) car log (an) =nlog(a)

⇐⇒ x≥ log(8)

log(1,3) en divisant par log(1,3)>0

S =

"

log(8) log(1,3); +∞

"

1

(2)

2.5 pts 2 On donne les étapes de résolution d’une inéquation. Justifier et compléter chacune des étapes

10×0,8n≥25 ⇐⇒ 0,8n≥ 25

100 endivisant par 100 ; 100>0

⇐⇒ 0,8n≥1 4

⇐⇒ log(0,8n)≥log 1

4

en appliquant la fonction log strictement croissante sur ]0; +∞[

⇐⇒ nlog(0,8)≥ −log(4) car log (an) =nlog(a) et log 1

a

=−log(a)

⇐⇒ n≤ − log(4)

log(0,8) en divisant par log(0,8)<0

Exercice 4 4 points

On considère la fonctionf définie surRparf(x) = 3×0,6x. 1 pt 1 Donner le sens de variation def en le justifiant.

- Si 0< a <1 alorsx7−→0,6xest strictement décroissante surR.

- En particulier poura= 0,6,x7−→0,6xest strictement décroissante surR.

- En multipliant par 3>0, on obtientx7−→axest strictement décroissante surR.

x7−→3×0,6xest strictement décroissante surR.

1 pt 2 Démontrer que la courbe def passe par le pointA(−1; 5) f(−1) = 3×0,61= 3× 1

0,6 = 3 0,6=30

6 = 5

f(−1) = 5, donc la courbe def passe par le pointA(−1; 5).

2 pts 3 Résoudre dansRl’équationf(x) = 2

f(x) = 2 ⇐⇒ 3×0,6x= 2

⇐⇒ 0,6x=2 3

⇐⇒ log (0,6x) = log 2

3

⇐⇒ xlog(0,6) = log 2

3

⇐⇒ x= log

2 3

log(0,6)

S =









 log

2 3

log(0,6)









Exercice 5 4 points

4 pts Ecrire sous forme d’un nombre décimal

2

(3)

1 A= log 104

= 4 log(10) = 4 car log(an) =nlog(a) et log(10) = 1.

2 A= log 102

=−2 log(10) =−2 car log(an) =nlog(a) et log(10) = 1.

3 A= log (0,001) = log 103

=−3 log(10) =−3 car log(an) =nlog(a) et log(10) = 1.

4 A= log (100000) = log 105

= 5 log(10) = 5 car log(an) =nlog(a) et log(10) = 1.

Exercice 6 4 points

4 pts Ecrire les nombres suivants sous la formealog(2) oùaest un réel : 1 A= log(8) = log

23

= 3 log(2) 2 B= log(16) + log(4) = log

24 + log

22

= 4 log(2) + 2 log(2) = 6 log(2) 3 C= log(48)−log(12) = log

48 12

= log(4) = 2 log(2)

3

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