NOM :
Prénom : MATHEMATIQUES
DS 4 - Concours Blanc 1 - durée : 4 h ECE 1 19 janvier 2010 Les documents, la calculatrice, et tout matériel électronique sont interdits.
Le soin, la précision et la qualité de la rédaction seront pris en compte dans la notation.
Si un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et poursui- vra sa composition, en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.
Cours.
Enoncer le théorème des valeurs intermédiaires.
Exercice I.
1. Créer un programme Turbo Pascal qui demande un entiern≥0 et calcule
n
X
k=0
1 1 + 2n. 2. Donner la complexité de cet algorithme, en fonction den.
Exercice II.
On considère la fonction f dénie parf(x) = ln(x) x−ln(x). 1. a. Montrer que ∀x >0, x−ln(x)>0.
b. En déduire l'ensemble de dénition Df def. 2. a. Calculer la limite de f en +∞.
b. Que peut-on en déduire pour la courbe représentative de f? 3. a. Expliquer pourquoi f est continue sur ]0; +∞[.
b. Calculer la limite de f en 0.
c. Justier le fait que l'on puisse prolonger f en une fonction continue surR+. 4. a. Montrer que f0(x) = 1−ln(x)
x−ln(x)2 pour x >0.
b. Dresser le tableau de variations de f.
5. On rappelle qu'au centième près e≈2.72, ln(1.5)≈0.41 et ln(5)≈1.61 a. Montrer que 1
2 < 1 e−1 < 2
3.
b. Déterminer le nombre de solutions sur Rde l'équationf(x) = 1. c. Déterminer le nombre de solutions sur Rde l'équationf(x) = 1
2. Les localiser au mieux.
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Exercice III.
1. a. ∀n∈N, calculer 1
n+ 1− 1
n+ 2, et en déduire la valeur simpliée deSn=
n
X
k=0
1
(k+ 1)(k+ 2). b. La série de terme général 1
(n+ 1)(n+ 2) converge-t-elle ? Si oui, calculer sa somme.
2. Après avoir justié leur existence, calculer les sommes : S=
+∞
X
n=2
n(n−1) 6n−2
, T =
+∞
X
n=1
n×2n−(−1)n 5n
et U =
+∞
X
n=1
2
(n+ 1)! + 3 2n−2
.
Exercice IV.
Les formules littérales du cours utilisées dans les calculs devront être nommées et apparaître clairement.
A l'instantt= 0 :
Une boiteA contient deux jetons portant leno0. Une boiteB contient deux jetons portant leno1.
A cet instant, on tire au hasard un jeton dans chaque boite et on les échange.
On recommence cette opérationnfois, et on suppose que tous les tirages eectués sont indépendants.
On s'intéresse à la somme des numéros contenus dans la boite A à l'instantt=n. Pour cette étude, on se servira éventuellement des évènements :
Pn={la somme des numéros contenus dans la boiteA à l'instantt=nvaut 0}
Qn={la somme des numéros contenus dans la boite Aà l'instant t=nvaut1} Rn= {la somme des numéros contenus dans la boiteA à l'instantt=nvaut 2} An={le no0est tiré dans la boite A à l'instantt=n}
Bn= {leno0 est tiré dans la boiteB à l'instantt=n}
On pose égalementpn=P(Pn), qn=P(Qn) etrn=P(Rn).
On a donc, d'après la composition initiale des boites, p0 = 1 et q0=r0 = 0. 1. Que valentp1,q1,r1? Justier brièvement.
2. Pourn∈N, montrer que qn+1=pn+rn+1 2qn. 3. Pourn∈N, exprimer pn+1 etrn+1 en fonction de qn. 4. Montrer que ∀n∈N, qn+1= 1−qn
2 .
5. En déduire l'expression deqn en fonction denpuis celle depn et dern. 6. Déterminer les limites des trois suitesp,q etr.
7. Comment interpréter ce résultat ? Pouvez-vous en donner une explication ? 8. Comment pourrait-on vérier ce fait ?
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