ECE 1 MATHEMATIQUES
DS 7 - Concours Blanc 2 - durée : 4h 9 juin 2015 Les documents, la calculatrice, et tout matériel électronique sont interdits.
Le soin, la précision et la qualité de la rédaction seront pris en compte dans la notation.
Cours.
1. Quand dit-on qu'une application f :A−→B est bijective ? 2. Donner la dénition d'un évènement négligeable.
3. Qu'est-ce qu'une suite minorée ? Exercice I.
Justier la convergence, et calculer l'intégrale impropre I = Z +∞
0
te−t2dt.
Exercice II.
1. On considère la matrice A=
4 5
−6 −9
. a. Calculer A2.
b. Montrer que A2+ 5A= 6I2.
c. En déduire que A est inversible, ainsi que son inverse A−1. (On n'utilisera pas la méthode de Gauss !)
2. On considère l'application f : M2(R) −→ M2(R) X 7−→ AXA−1 . a. Montrer que f est linéaire.
b. Montrer que f est bijective, et déterminer sa réciproquef−1. c. f−1 est-elle linéaire ?
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Exercice III.
Une urne contient5 boules :1 rouge et4 bleues.
On eectue des tirages avec remise dans l'urne.
La partie se termine dès la première obtention d'une boule rouge.
On modélise la situation par une suite innie de tirages dans l'urne, puisque l'on ne sait a priori pas combien de temps va durer la partie.
On considère, pour n∈N∗, les évènements : Rn= {Le ne tirage donne une boule rouge}
Tn= {Une boule rouge apparaît pour la première fois au ne tirage}
On note pn=P(Tn). Partie A.
1. Pourn∈N∗, exprimerTn en fonction des (Rk)1≤k≤n. 2. Calculer p1 etp2.
3. Montrer que ∀n∈N∗, pn= 1 5
4 5
n−1
.
4. Quelle est la nature de la suite(pn)n∈N∗? Préciser ses éléments caractéristiques.
5. Décrire simplement l'évènement T = [
n∈N∗
Tn? 6. Montrer que P(T) = 1.
7. Que cela signie-t-il concrètement ? Partie B.
Deux joueursA etB eectuent, chacun à leur tour, des tirages avec remise dans l'urne.
A commence.A eectuera donc les tiragesno1,3,5, ..., etB les tiragesno2,4,6, ...
Le premier joueur obtenant une boule rouge gagne la partie, et le jeu se termine à cet instant.
On conserve les notations de la Partie A.
1. Décrire par une phrase simple l'évènement F = [
n∈N
T2n+1. 2. Montrer que P(F) = 5
9. 3. A qui le jeu est-il favorable ?
4. Préciser la probabilité de gagner du joueur B.
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Exercice IV. ECRICOME
On considère la famille de fonctions (fn)n∈N∗ dénies sur]−1,+∞[par fn(x) =xnln(1 +x). Partie A. Etude des fonctions fn
Soitn∈N∗ xé.
On notehn la fonction dénie et dérivable (nous l'admettons) sur]−1,+∞[par : hn(x) =nln(1 +x) + x
1 +x.
1. Etudier le sens de variation de la fonctionhn.
2. Calculer hn(0), puis en déduire le signe de hn sur]−1,+∞[. 3. Etude du cas particuliern= 1.
a. Pourx∈]−1,+∞[, exprimerf10(x) en fonction deh1(x). b. En déduire les variations de la fonctionf1 sur]−1,+∞[.
(Il n'est pas demandé de tableau de variations.) 4. Soitn∈N∗\ {1}.
a. Justier brièvement la dérivabilité de fn sur ]−1,+∞[ et exprimer fn0(x) en fonction de hn(x).
b. Dresser le tableau de variations de fn sur]−1,+∞[. (On distinguera les cas npair et n impair.)
Partie B. Etude d'une suite
On considère la suite (Un)n∈N∗ dénie par Un= Z 1
0
fn(x)dx.
I. Calcul de U1
1. Prouver l'existence de trois réels a,b,ctels que ∀x∈[0,1], x2
x+ 1=ax+b+ c x+ 1. 2. En déduire la valeur de l'intégrale Z 1
0
x2 x+ 1dx. 3. Montrer que U1= 1
4. (Une intégration par parties pourra être utilisée lors du calcul.) II. Convergence de la suite (Un)n∈N∗
1. Montrer que la suite (Un)n∈N∗ est décroissante.
2. Montrer que la suite (Un)n∈
N∗ est à termes positifs, et justier sa convergence.
(On ne demande pas sa limite à cette question.) 3. Démontrer que ∀n∈N∗, 0≤Un≤ ln(2)
n+ 1. 4. En déduire la limite de la suite(Un)n∈N∗.
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III. Calcul de Un pour n≥2
Pour x∈[0; 1]etn∈N∗\ {1}, on pose : Sn(x) = 1−x+x2+...+ (−1)nxn=
n
X
k=0
(−1)kxk=
n
X
k=0
(−x)k.
1. Montrer que Sn(x) = 1
1 +x +(−1)nxn+1 1 +x . 2. En déduire, en intégrant de 0à 1, que
n
X
k=0
(−1)k
k+ 1 = ln(2) + (−1)n Z 1
0
xn+1 1 +xdx. 3. En utilisant une intégration par parties dans le calcul deUn, montrer que :
Un= ln(2)
n+ 1+ (−1)n n+ 1
ln(2)−
1−1
2 +...+(−1)k
k+ 1 +...+(−1)n n+ 1
.
IV. Valeur approchée de Un
Créer un programme Scilab demandant un entier naturel non nul n à l'utilisateur, et permettant de calculer Un, par la méthode de votre choix.
Question supplémentaire.
Une étude statistique portant sur une route départementale a montré que si on observe la route en journée pendant 20 minutes, on a99% de chance d'y voir passer au moins une voiture.
On observe cette route pendant 5 minutes. Quelle probabilité a-t-on qu'au moins une voiture y passe ? (On donne √
10'3.2)
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