ECE 1 MATHEMATIQUES
Concours Blanc 1 - durée : 4h 14 janvier 2018 Les documents, la calculatrice, et tout matériel électronique sont interdits.
Le soin, la précision et la qualité de la rédaction seront pris en compte dans la notation.
Cours.
Enoncer la formule des probabilités totales.
Exercice I.
On considère la matrice A=
4 10 10
−5 −11 −5
5 5 −1
1. Calculer M =A2+ 2A−24I3.
2. La matriceA est-elle inversible ? Justier, et si oui, donner son inverse.
Exercice II.
Partie A.
On considère la suite de Fibonacci, dénie par
u0 = 0 u1 = 1
un+2=un+1+un, pourn∈N Déterminer explicitementun en fonction den.
Partie B.
On considère la suite de polynômes(Pn)n∈N, dénie par
P0(x) = 0 P1(x) = 1
Pn+2(x) =xPn+1(x) +Pn(x), pourn∈N 1. Créer un programme Scilab demandant n et x à l'utilisateur, et calculant Pn(x), uniquement en utilisant
les données ci-dessus.
2. Calculer P2(x),P3(x)etP4(x).
3. Montrer par récurrence double que ∀n∈N∗, deg(Pn) =n−1.
4. Soit α(x) = x+√ x2+ 4
2 et β(x) = x−√ x2+ 4
2 .
Calculer (α(x))2 et (β(x))2.
5. Montrer que ∀n∈N, Pn(x) = (α(x))n−(β(x))n α(x)−β(x) . 6. Montrer que ∀x∈R, ∀n∈N, xn=Pn+1(x) +
bn/2c
X
k=1
(−1)k n
k
− n
k−1
Pn+1−2k(x). (On considérera qu'une somme vide est nulle.)
7. Quel est le lien entre la suite de Fibonacci et la suite de polynômes(Pn)n∈N? Exercice III.
Partie A.
Une urne contient également 2 boules bleues et 3 rouges, supposées indiscernables.
On y eectue des tirages avec remise classique, jusqu'à obtenir une boule bleue.
On pose :
-pour n∈N∗, An={une boule bleue apparait pour la première fois au ne tirage}. -pour k∈N∗, Bk={leke tirage donne une boule bleue}, et Rk =Bk.
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1. Calculer P(B1).
2. Exprimer l'évènement An en fonction deB1,B2,... Bn, puis calculer sa probabilité.
3. Décrire par une phrase simple l'évènement En=
n
T
k=1
Bk. 4. Calculer P(En).
5. Calculer lim
n→+∞P(En), et interpréter le résultat.
Partie B.
Une autre urne contient aussi 2 boules bleues et 3 rouges. On y eectue cette fois-ci des tirages avec remise spéciale : si une boule est tirée, on la remet dans l'urne, avec une autre de la même couleur en supplément.
On pose, pour k∈N∗, Bk={leke tirage donne une boule bleue}, et Rk=Bk. 1. Calculer P(B2).
2. Calculer PB2(B1). Problème.
Soitf, dénie sur R∗+ par f(x) = x3
ex−1, et g, dénie surR+ par g(x) = (3−x)ex−3. Si besoin, on donne lim
x→0
ex−1
x = 1, lim
x→+∞
x3
ex = 0, e2 '7.4 Partie A. (étude deg)
1. Calculer g(0).
2. Etudier les variations de g, et dresser son tableau de variations.
3. Montrer que l'équationg(x) = 0admet une unique solution strictement positive, que l'on notera β, et que 2< β <3.
4. Justier que le tableau de signe de g est le suivant :
x 0 β +∞
g(x) 0 + 0 −
Partie B. (étude de f)
1. Justier brièvement la continuité de f surR∗+. 2. Montrer quef est prolongeable par continuité en 0.
3. a. Calculer lim
x→+∞f(x).
b. Que peut-on en déduire graphiquement ? 4. Montrer que ∀x >0, f0(x) = x2g(x)
(ex−1)2. 5. Etudier alors les variations de f.
6. Vérier quef(β) =β2(3−β).
7. On donne β'2.8 : calculer une valeur approchée def(β) à 10−1 près.
8. Tracer approximativement l'allure deCf. Questions.
On s'intéresse à une certaine route départementale.
Si on l'observe pendant 1 minute, on a 70%de chance d'y voir passer au moins une voiture.
On observe cette route pendant 2 minutes. Quelle probabilité a-t-on qu'au moins une voiture y passe ? Et si on l'observe pendant 3 minutes et 24 secondes ?
2
NOM : Prénom :
Annexe (2 carreaux pour une unité)
3
