Université Paris-Sud • Centre d’Orsay • L2 Physique Math 255 : Calcul différentiel pour la physique (2013-2014)
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Devoir 1
à rendre avant 12h du vendredi 18 octobre 2013
Exercice 1. Parmi les assertions suivantes, démontrer celles qui sont justes et donner un contre-exemple pour celles qui sont fausses.
1. Si A et B sont deux matrices n×n réelles telles que le produit AB est une matrice inversible, alorsAetBsont inversibles.
2. Pour tous vecteurs~x,~y ∈Rn et toute matricen×nréelle Aon a : (A~x)·~y=~x·(At~y).
3. Soientλ ∈ R, n∈ N∗ fixés,n ≥2. Alors il existe une infinité de matricesn×ndont le déterminant estλ.
4. Pour toute matriceAde la taillen×n,n ≥2, on a det
(detA)At
= (detA)2. Exercice 2.
1. Soienta,b,c ∈R, non tous nuls. On considère la matrice
A=
0 −a −b a 0 −c
b c 0
.
(a) Calculer les valeurs propres deA.
(b) La matriceAest-elle diagonalisable dansR3? dansC3?
2. Soit~p = (p1,p2,p3) ∈ R3, ~p 6=~0. On considère l’application linéaire f : R3 → R3 définie par :
f(~x) =~p∧~x.
(a) Calculer la matrice de f dans la base canonique deR3. (b) L’application f est-elle diagonalisable dansR3?
Exercice 3.
1. Trouver la solution du système différentiel
x0(t) =2x(t)−y(t) +2z(t), y0(t) = x(t) +2z(t),
z0(t) =−2x(t) +y(t)−z(t) vérifiant la condition initialex(0) = y(0) = 1,z(0) = 0.
2. Décrire toutes les solutions réelles du système différentiel
x0(t) = 2x(t) +y(t)−4t, y0(t) = x(t) +2y(t)−2t.
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